整群抽样
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第七章 整群抽样
第一节 整群抽样概述
一、整群抽样的概念
整群抽样是先将总体各单元划分成若干群（组），然后以群为单位，从中随机抽取一部分群，对中选群内的所有单元进行全面调查。确切地说，这种抽样组织形式应称为单级整群抽样。
采用整群抽样的两个理由：抽选群能大大降低数据收集的费用，当总体的分布比较广且调查采用面访时更是如此；从总体中直接抽选个体在实际中并不总是可行的（没有关于个体的抽样框）；有时，抽选单元组成群体组更简便易行（如整个住户）。
二、群的划分问题
关于群的划分，有两个问题：一是如何定义群，即当群并非是一个自然形成的单位时，确定每个群的组成；二是如何确定群的规模即群的大小。
群的划分应该是：尽量扩大群内差异，而缩小群间差异。这样，每个群都具有足够好的代表性。如果所有的群都相似，那么抽少数群就可获得相当好的精度；反之，若群内的单元比较相似，而群与群之间的差别较大，则整群抽样的效率就低。所以分群的原则使“群内差异大、群间差异小”与分层的原则使“层内差异小，层间差异大”是恰好相反的。
至于群的规模的选择，一是取决于精度与费用之间的平衡，二是从抽样实施的组织管理等因素来考虑。
三、整群抽样的特点
同其他抽样组织形式相比较，整群抽样具有如下特点：整群抽样则不需要编制庞大的抽样框；在样本单元数相同的条件下，整群抽样与简单随机抽样相比，样本单元的分布相对较集中，组织实施过程更加便利，同时还可以大大地节省调查费用；整群抽样的随机性体现在群与群间不重叠，也无遗漏，群的抽选按概率确定；如果把每一个群看作一个单位，则整群抽样可以被理解为是一种特殊的简单随机抽样；整群抽样也是多阶段抽样的前提和基础；整群抽样有特殊的用途；整群抽样要求分群后各群所含次级单元数目应该确知，否则会给抽样推断带来不便。
第二节 等概率整群抽样的情形
一、群的大小相等时
(一)估计量
1、总体均值Y的估计
niiYnyY11ˆ 2、总体总和Y的估计
ynNYnNyNMYnii•1ˆ
3、总体比例Ｐ的估计
niiniinMPnpP1111ˆ
(二)估计量的方差及其估计
由于群是按简单随机方法抽取的，因此，估计量YYˆ,ˆ与Pˆ的方差及方差的无偏估计量可直接按第三章的方法构造：
1)(1)(122NYYnMfyVNii
22221])1(1[1)1,1(1)1(1[)1(1bCCSnMfMSnMfNMNMNNNMSNMnMf••
21211)(1)(ˆbniisnMfnyYnfyV•
1)()1()()ˆ(ˆ12222•NYYnfNyVMNYVNii
≈22)1(bSnfMN
1)()1()(ˆ)ˆ(ˆ21222••nyYnfNyVMNYVnii
≈22)1(bsnfMN 1N)P(Pnf1)Pˆ(VN1i2i
1n)PˆP(nf1)Pˆ(Vˆn1ii
三、群的大小不等时
(一)简单估计
如果群的抽取是简单随机的，则可将每个群的总和iY看作是第i群的指标，于是总体总和N1iiYY的简单估计可依照简单随机抽样的情形来做，即：
yNYnNYˆn1ii
可以证明，Yˆ是Y的无偏估计，其方差为：
1N)YY(n)f1(N)Yˆ(VN1i2i2•
方差估计量为：
11NYˆ(Vˆ122nyYnfnii）（）（）
)Yˆ(Vˆ为)Yˆ(V无偏估计。
有了总体总和的估计量，则可得出总体均值的无偏估计量。
（二）比估计
当群的大小不等时，在对群进行简单随机抽样的情况下，NiiNiiMYY11，我们注意到它同比率NiiNiiXYR11形式上完全相同，只不过在这里是将各群的大小iM作为辅助变量。因此，可采用比估计的方法得出有关参数的比估计量。按前面的论述，比估计量是有偏的，但当n充分大时，其偏差可以很小，近似无偏。
所以，Y的近似无偏估计量为 niiniiRMYyY11ˆ
RYˆ的近似无偏估计量为
niiniiRRMYMYMY1100ˆˆ
根据比估计的原理，可相应推导出上述估计量的近似方差为：
)ˆ(RYV≈1)(1122•NMYYMnfNiii
]2[11)(122221222mymyNiiiRSSRSMnfNYYMMnf•
)ˆ(RYV≈1)()1()ˆ(122220••NYYMnfNYVMNiiiR
其方差估计量为：
,1)ˆ(1)ˆ(ˆ1222•nYYMmnfYVniRiR )1(1niiMnm
1)ˆ()1()ˆ(ˆ122222•nYYMmNfMNYVniRiiR
1)ˆ()1(1222•nYYMnfNniRii （当mM）
第三节 不等概率整群抽样的情形
一、 放回的不等概率抽样
不等概率抽样通常是按与群的大小成比例进行抽样。当采用放回（重复）抽样时（PPS抽样），其估计量可按汉森—赫维茨方法构造。即 yMYnMMYnMZYniiniiiniii010101HHn1Yˆ
故
niiHHYnyMY1011ˆ
其中HHYˆ与HHYˆ分别为Y与Y的无偏估计。
估计量的方差为：
2102N1iiHH)()(Zn1)Yˆ(VYYMnMYZYiNiiii
21020)(1)ˆ(1)ˆ(YYMNMYVMYVNiiiHHHH
方差的无偏估计量为：
212021)()1()ˆ()1(1)ˆ(ˆyYnnMYZYnnYVniiHHniiiHH，
niiHHyYnnYV12)()1(1)ˆ(ˆ
二、不放回的不等概率抽样
若群的抽取是用严格的PS抽样方法进行的，则Y的估计应该用霍维茨－汤普森方法。即：
niiiHTYY1ˆ
21))(()ˆ(ˆjjiiijjNiNijiHTYYYV(n固定时)
21)()ˆ(ˆjjiininijijijjiHTYYYV(n固定时)
HTYˆ是Y的无偏估计;)Yˆ(VˆHT是)Yˆ(VHT的无偏估计。
第四节 设计效应
一、设计效应
仍用总体均值估计量的方差进行讨论，并且考虑等概率抽样的情形。由前面的分析可知，Y的估计量y的方差为 ])1M(1[SnMf1)y(VC2
如果按简单随机抽样从总体中抽取nM个次级单元，则：
2srsSnMf1)y(V
所以，整群抽样的设计效应为：
)y(V)y(VDeffsrs≈2C2SnMf1])1M(1[SnMf1
≈C)1M(1
当0C时，1Deff,则整群抽样的精度较简单随机抽样在相同样本量时要差一些。当0c时，1Deff，则整群抽样的精度较相同样本量的简单随机抽样要高。
二、最佳群大小的确定
如果样本大小固定，虽然调查费用随着群大小的增加和群数的减少而变小，但从前面的结果看出，抽样误差将随着群大小的增加和群数的减少而变大。因此，就要考虑求得最佳的群数或群的大小以便在给定费用条件下使抽样误差最小，或在给定抽样误差条件下使费用最省。为此，需要先分析整群抽样的方差函数和费用函数。根据前面的讨论，整群抽样的方差是总体群数N、总体方差2S、群内相关系数C、群的大小M以及样本群数n的一个函数，其费用函数可以简单地表示为
210nMCnCCC
其中210C,C,C,C分别为总费用、固定费用、平均每个群的调查费用和平均每个单元的调查费用。在一般情况下，2C会比1C小得多。
如果总费用C固定为C，则由费用函数可得
210MCCCCn
代入方差函数得
])1M(1[SMCCCCMf1)y(VC2210 =])1M(1[S)CC(M)MCC)(f1(C2021
当N比n大得多或以放回方式抽样时，上式可进一步整理成
)]M)1M(1)(CCM1[(CCSC)y(VC12021
由此可知，使方差)y(V得极小值的最佳M值可用方括号内的项对M的图形来决定。各种不同M值下的C值，可由对研究变量与其它的辅助变量作部分事先普查或试查得到，1C和2C的值也通过试调查得到。
同理，当误差控制要求确定时，也可以导出使费用极小化的最佳M值。
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