2014-2015学年高中数学 综合检测 新人教A版选修2-2
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word 1 / 19 【成才之路】2014-2015学年高中数学 综合检测 新人教A版选修2-2
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·某某鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，
∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D.
2．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
[答案] D
[解析] y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，
∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图象是( )
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝2x＋b为增函数，∴排除B、D；
又f(x)的顶点在第四象限，
∴－b2>0，∴b<0，排除C，故选A.
4．(2013·某某嘉祥一中高二期中)曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为( )
A．4 B．8
C．10 D．9
[答案] B
[解析] 由 y＝x3－3x，y＝x，解得 x＝0，y＝0，或 x＝2，y＝2，或 x＝－2，y＝2.
∵y＝x3－3x与y＝x都是奇函数，
∴围成图形的面积为 word
2 / 19 S＝202[x－(x3－3x)]dx＝202(4x－x3)dx＝ 2·2x2－14x4|20＝8，故选B.
5．(2013·某某余姚中学高二期中)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2013，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1＝fn′(x)，则f2014(x)＝( )
A．sinx＋ex B．cosx＋ex
C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex
[答案] C
[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2013x2012，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2013×2012x2011，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2013×2012×2011x2010，……，∴f2014(x)＝－sinx＋ex.
6．(2014·某某湄潭中学高二期中)函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.12 B．－1
C．0 D．1
[答案] D
[解析] 由f ′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±12，∵x∈[0,1]，∴x＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x)>0，当x∈[12，1]时，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x＝12时，f(x)取到极大值也是最大值，f(12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.
7．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5，
∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i
＝－3＋5i.
∴复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.
8．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
[答案] A
[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k－2条侧棱形成k－2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k－1个对角面，∴f(kword
3 / 19 ＋1)＝f(k)＋k－1.故选A.
9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y＝asinx＋13sin3x在x＝π3处有极值，则a的值为( )
A．－6 B．6
C．－2 D．2
[答案] D
[解析] y′＝acosx＋cos3x，由条件知，acosπ3＋cosπ＝0，∴a＝2，故选D.
10．(2014·某某市临淄区检测)下列求导运算正确的是( )
A．(2x)′＝x·2x－1 B．(3ex)′＝3ex
C．(x2－1x)′＝2x－1x2 D．(xcosx)′＝cosx－xsinxcosx2
[答案] B
[解析] 对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，(x2－1x)′＝2x＋1x2；对于D，(xcosx)′＝cosx＋xsinxcosx2；综上可知选B.
11．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…12n－1
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
[答案] D
[解析] n＝k＋1时，左边为：
1＋12＋13＋…＋12k＋1－1
＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋2k－1，
故共增加了2k项，故选D.
12．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(0,1] D．[－1,0)∪(0,1]
[答案] A
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x， word
4 / 19 由f
′(x)≤0及x>0得，0
[点评] 利用导数判断函数单调性的一般步骤
①求导数f ′(x)；
②在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0；
③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．(2013·某某嘉祥一中高二期中)在等比数列{an}中，若前n项之积为Tn，则有T3n＝(T2nTn)3.那么在等差数列{bn}中，若前n项之和为Sn，用类比的方法得到的结论是________．
[答案] S3n＝3(S2n－Sn)
[解析] 由等比数列前n项积，前2n项的积，前3n项的积类比得到等差数列前n项的和，前2n项的和，前3n项的和，由等比数列中(T2nTn)3类比得等差数列中3(S2n－Sn)，故有S3n＝3(S2n－Sn)．
14．已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值X围是________．
[答案] [－1,7)
[解析] f ′(x)＝3x2＋4x－a，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a)(7－a)<0，∴－1
15．(2014·天门市调研)若复数z＝21＋3i，其中i是虚数单位，则|z－|＝________.
[答案] 1
[解析] 因为z＝21＋3i＝21－3i1＋3i1－3i＝21－3i4＝12－32i，所以|z－|＝122＋－322＝1.
16．(2013·某某一中高三月考)已知不等式1－3x＋a<0的解集为(－1,2)，则02(1－3x＋a)dx＝________.
[答案] 2－3ln3
[解析] 由条件知方程1－3x＋a＝0的根为－1或2，∴a＝1. word
5 / 19 ∴02(1－3x＋a)dx＝02(1－3x＋1)dx
＝ |[x－3lnx＋1]20＝2－3ln3.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)(2014·某某市高二期中)已知z1、z2为复数，i为虚数单位，z1·z－1＋3(z1＋z－1)＋5＝0，z2＋3z2－3为纯虚数，z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求点Q的轨迹方程；
(3)写出线段PQ长的取值X围．
[解析] (1)设z1＝x＋yi，(x、y∈R)，由z1·z－1＋3(z1＋z－1)＋5＝0得x2＋y2＋6x＋5＝0，整理得(x＋3)2＋y2＝4，
∴点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.
(2)设z2＝x＋yi，(x、y∈R)，
z2＋3z2－3＝x＋3＋yix－3＋yi＝x2＋y2－9－6yix－32＋y2，
∵z2＋3z2－3为纯虚数，∴x2＋y2＝9且y≠0，
∴点Q的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．
(3)PQ长的取值X围是[0,8)．
∵两圆相交，∴PQ长的最小值为0，
又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ长的最大值为8，但点Q的轨迹方程中y≠0，∴|PQ|<8，
∴线段PQ长的取值X围是[0,8)．
[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ长的取值X围”可以不写解答过程．
18．(本题满分12分)(2014·某某文，21)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a、b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e－2
[解析] (1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f ′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增．
