高中数学 综合测试题3 新人教A版选修2-2
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高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1．函数2yx在区间[12]，上的平均变化率为（ ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
答案：Ｂ
2．已知直线ykx是lnyx的切线，则k的值为（ ）
Ａ．1e Ｂ．1e Ｃ．2e Ｄ．2e
答案：Ａ
3．如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm（在弹性限度内）所耗费的功为（ ）
答案：Ａ
4．方程2(4)40()xixaiaR有实根b，且zabi，则z（ ）
Ａ．22i Ｂ．22i Ｃ．22i Ｄ．22i
答案：Ａ
5．ABC△内有任意三点不共线的2002个点，加上ABC，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ）
Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000
答案：Ａ
6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ）
Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11
答案：Ｃ
7．在证明()21fxx为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21fxx满足增函数的定义是大前提；④函数()21fxx满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（ ）
Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③
答案：Ｃ
8．若abR，，则复数22(45)(26)aabbi表示的点在（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
答案：Ｄ
9．一圆的面积以210πcm/s速度增加，那么当圆半径20cmr时，其半径r的增加速率u为（ ）
Ａ．12cm/s Ｂ．13 cm/s Ｃ．14 cm/s Ｄ．15 cm/s
答案：Ｃ
10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224nnnn”时的过程中，由nk到1nk时，不等式的左边（ ）
Ａ．增加了一项12(1)k Ｂ．增加了两项11212(1)kk
Ｃ．增加了两项11212(1)kk，又减少了一项11k
Ｄ．增加了一项12(1)k，又减少了一项11k
答案：Ｃ
11．在下列各函数中，值域不是[22]，的函数共有（ ）
（1）(sin)(cos)yxx
（2）(sin)cosyxx
（3）sin(cos)yxx
（4）(sin)(cos)yxx·
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
答案：Ｃ
12．如图是函数32()fxxbxcxd的大致图象，则2212xx等于（ ）
Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．83 Ｄ．123
答案：Ｃ
二、填空题
13．函数3()31fxxx在闭区间[30]，上的最大值与最小值分别为 ．
答案：3，17
14．若113zi，268zi，且12111zzz，则z的值为 ．
答案：42255i
15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数na与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 ．
答案：21nan
16．物体A的运动速度v与时间t之间的关系为21vt（v的单位是m/s，t的单位是s），物体B的运动速度v与时间t之间的关系为18vt，两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A物体的运动路程为 ．
答案：72m
三、解答题
17．已知复数1z，2z满足2212121052zzzz，且122zz为纯虚数，求证：123zz为实数．
证明：由2212121052zzzz，得22112210250zzzz，
即221212(3)(2)0zzzz，那么222121212(3)(2)[(2)]zzzzzzi， 由于，122zz为纯虚数，可设122(0)zzbibbR，且，
所以2212(3)zzb，从而123zzb，
故123zz为实数．
解：设该容器底面矩形的短边长为xcm，则另一边长为(0.5)xm，此容器的高为14.8(0.5)3.224yxxx，
于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)22.21.6Vxxxxxxx，其中01.6x，
即2()64.41.60Vxxx，得11x，2415x（舍去），
因为，()Vx在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x，时，()0Vx，函数()Vx递增；
(11.6)x，时，()0Vx，函数()Vx递减；
所以，当1x时，函数()Vx有最大值3(1)1(10.5)(3.221)1.8mV，
31.8m．
19．如图所示，已知直线a与b不共面，直线caM，直线bcN，又a平面A，b平面B，c平面C，求证：ABC，，三点不共线．
证明：用反证法，假设ABC，，三点共线于直线l，
ABC，，∵，l∴．
clC∵，c∴与l可确定一个平面．
caM∵，M∴．
又Al，a∴，同理b，
∴直线a，b共面，与a，b不共面矛盾．
所以ABC，，三点不共线．
20．已知函数32()31fxaxxx在R上是减函数，求a的取值范围．
解：求函数()fx的导数：2()361fxaxx．
（1）当()0()fxxR时，()fx是减函数．
23610()0axxxaR且36120a3a．
所以，当3a时，由()0fx，知()()fxxR是减函数；
（2）当3a时，33218()331339fxxxxx，
由函数3yx在R上的单调性，可知当3a时，()()fxxR是减函数；
（3）当3a时，在R上存在使()0fx的区间，
所以，当3a时，函数()()fxxR不是减函数．
综上，所求a的取值范围是(3)，∞．
21．若0(123)ixin，，，，，观察下列不等式：121211()4xxxx≥，123123111()9xxxxxx≥，，请你猜测1212111()nnxxxxxx满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．
解：满足的不等式为21212111()(2)nnxxxnnxxx≥≥，证明如下：
1．当2n时，结论成立；
2．假设当nk时，结论成立，即21212111()kkxxxkxxx
2221(1)kkk≥．
显然，当1nk时，结论成立．
22．设曲线2(0)yaxbxca过点(11)，，(11)，．
（1）用a表示曲线与x轴所围成的图形面积()Sa；
（2）求()Sa的最小值．
解：（1）曲线过点(11)，及(11)，，故有1abcabc，
于是0b且1ca，令0y，即2(1)0axa，得1axa，
记1aa，1aa，由曲线关于y轴对称，
有2300()2[(1)]2(1)3aSaaxadxxax|
31114(1)2(1)33aaaaaaaaaa·．
（2）34(1)()3aSaa，令3(1)()(0)afaaa，
则223221(1)()[3(1)(1)](21)afaaaaaaa．
令()0fa，得12a或1a（舍去）．
又12a，∞时，()0fx；
102a，时，()0fx．
所以，当12a时，()fa有最小值274，此时()Sa有最小值4272334．
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数cossinyxxx的导数为 （ ）
（A）cosxx （B）sinxx （C）sinxx （D）cosxx
2．下列说法正确的是 （ ）
（A）当0()0fx时，0()fx为()fx的极大值
（B）当0()0fx时，0()fx为()fx的极小值
（C）当0()0fx时，0()fx为()fx的极值
（D）当0()fx为()fx的极值时， 0()0fx
3．如果z是34i的共轭复数，则z对应的向量OA的模是 （ ）
（A）1 （B）7 （C）13 （D）5
4．若函数3()yaxx的递减区间为33(,)33，则a的取值范围是 （ ）
（A）(0,) （B）(1,0) （C）(1,) （D）(0,1)
5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ）
(1)sinyx;(2) sycox; (3)4x;(4) 4x
(A)2 (B)22 (C)0 (D)22
6．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ）
（A）合情推理 （B）演绎推理 （C）类比推理 （D）归纳推理
7．复数abi与cdi的积是实数的充要条件是 （ ）
（A）0adbc （B）0acbd （C）0adbc （D）0acbd
8．已知函数1sin2sin2yxx，那么y是 （ ）
（A）仅有最小值的奇函数 （B）既有最大值又有最小值的偶函数
（C）仅有最大值的偶函数 （D）非奇非偶函数
9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
10．用数学归纳法证明：22111(1)1nnaaaaaa，在验证n＝1时，左端计
