北京市朝阳区2024届高三上学期期末数学含答案
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第1页/共12页 2024北京朝阳高三（上）期末
数 学
2024.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|03}Axx=≤≤，3{|log1}Bxx=，则AB=
（A）[0,3] （B）[0,3) （C）(0,3) （D）(0,3]
（2）设aR，若复数(2i)(2i)a−+在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=
（A）4− （B）1− （C）1 （D）4
（3）若01a，则
（A）11
32aa （B）23aa
（C）11
loglog
23aa （D）sincosaa
（4）在ABC△
中，若π1
2,,cos
63aAC===−
，则c=
（A
）3
3 （B）2
3 （C）83
9 （D）8
3
（5）在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,1),(2,1)AB，动点P满足0PAPB
=，则||OP的最大值为
（A）1 （B）2 （C）2 （D）21+
（6）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E是平面1111ABCD内一点，且//EB平面1ACD，则
1tanDED的最大值为
（A
）2
2 （B）1
（C）2 （D）2
（7）设函数()()
2m
fxxm
x=+
−R
的定义域为(1,2)−，则“30m−≤”是“()fx在区间(1,2)−内有且
仅有一个零点”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
第2页/共12页 （8）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若30PEF=，则
sinPFE=
（A
）3
4 （B
）3
3
（C）2
2 （D
）3
2
（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q表示产量，L表
示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示为QAKL=，其中
0,0,0,01,01AKL
．当A不变，K与L均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是
（A）存在1
2和1
2，使得Q不变
（B）存在1
2和1
2，使得Q变为原来的2倍
（C）若1
4=，则Q最多可变为原来的2倍
（D）若221
+
2=，则Q最多可变为原来的2倍
（10）在ABC△中，42ABAC==，当R时，||ABBC
+
的最小值为4．若AMMB
=，
22sincosAPABAC=
+
，其中ππ
[,]
63
，则||
MP
的最大值为
（A）2 （B）4
（C）25 （D）42
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11
）在52
()x
x+
的展开式中，x的系数为________．（用数字作答）
（12）已知等差数列{}
na的公差为2，nS为其前n项和，且428,,aaa
成等比数列，则4a=________，nS=
________．
（13
）已知双曲线222
21(0,0)xy
ab
ab−=
的一条渐近线过点(2,1)−，则其离心率为________．
（14
）设函数21,[1,1],
()
2||2,(1,3].xx
fx
xax−−
=
−−当0a=时，()fx
的最大值为________；若()fx
无最大值，则实
数a的一个取值为________．
（15）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出
第3页/共12页 一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数N，取一正数1a
作为N的第一个近似值，定义
1
1
2,,
,,n
n
nnN
n
a
a
aa
n+
−
+
=
为奇数
为偶数
则12,,,,
naaa
是N的一列近似值．当1310,Na==时，给出下列四个
结论：
① 2
310a；
② 4510aa；
③ 2n≥，2121nnaa
−+；
④ 2n≥，22
221|10||10|
nnaa
−−−．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数2()cos3sincos()fxxxxmm=++R
的图象过原点．
（Ⅰ）求m的值及()fx的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()fx在区间[0,]t上单调递增，求正数t的最大值．
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥PABCD−中，//902ABDCABCABDC==,,，侧面PBC⊥底面ABCD，E是
PA的中点．
（Ⅰ）求证：//DE
平面PBC；
（Ⅱ）已知2ABBC==，PBPC=，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使
四棱锥PABCD−唯一确定，求二面角EBDC−−的余弦值．
条件①：22AP=；
条件②：APBC⊥；
条件③：直线AP与平面ABCD
所成角的正切值为15
5．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分．
ABCDP
E第4页/共12页 （18）（本小题13分） 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息．教师甲、乙这七
天的步数情况如图1所示．
图1
图2
（Ⅰ）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
（Ⅱ）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为X，求X的分布列
及数学期望；
（Ⅲ）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2
所示．已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221
名，判断这是哪一天的数据．（只需写出结论）
（19）（本小题15分）
已知函数()ln1()fxxaxa=−−R．
（Ⅰ）若曲线()yfx=
在点(1,0)
处的切线为x轴，求a的值；
（Ⅱ）讨论()fx
在区间(1,)+
内的极值点个数； 832717961
12982
6890760310937
589021034
643018763
806818245
658129874
050001000015000200002500030000
11月4日11月5日11月6日11月7日11月8日11月9日11月10日
甲乙
0.02频率/组距
步数（单位：千步）0.06
0.04
0.03
0.01
302502015105
第5页/共12页 （Ⅲ）若()fx在区间(1,)+内有零点t，求证：2ta．
（20）（本小题15分）
已知椭圆22
22:1(0)xy
Eab
ab+=
的左顶点为A，上顶点为B，原点O到直线AB
的距离为25
5，
AOB△的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点(2,1)P−的直线l与椭圆E交于不同的两点,CD，过点C作x轴的垂线分别与直线,ADAB交于
点,MN．判断点N是否为线段CM的中点，说明理由．
（21）（本小题15分）
已知{}
na
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*kN，定义集合*{|}
kiBiak=N，设kb
为集合
kB
中的元素个数，若kB=
时，规定0
kb=
．
（Ⅰ）若2n
na=，写出213,,bbb
及10b
的值；
（Ⅱ）若数列{}
nb
是等差数列，求数列{}
na
的通项公式；
（Ⅲ）设集合**{|,}{|,}
nnSssnanTttnbn==+==+NN,，求证：*ST=N且ST=．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
