陕西省西工大附中2010届高三第三次适应性训练(数学理)

2010年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练

数 学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．复数3)31(i的值是

A．-8 B．8 C．i8 D．i8

2．命题甲：若Ryx,，则1||||yx是1||yx是充分而不必要条件；命题乙：函数2|1|xy的定义域是),3[]1,(，则

A．“甲或乙”为假 B．“甲且乙” 为真

C．甲真乙假 D．甲假乙真

3．两正数yx,，且4yx，则点),(yxyxP所在平面区域的面积是

A．4 B．8 C．12 D．16

4．双曲线)0(116222mxmy的一个顶点到它的一条渐近线的距离是51，则m的值是

A．1 B．2 C．3 D．4

5．甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是7.0，则恰有一人投中的概率是

A．42.0 B．49.0 C．7.0 D．91.0

6．若向量a、b的夹角为3，且4||b，72)3()2(baba，则||a是

A．2 B．4 C．6 D．12

7．正项等比数列}{na中，1621116351aaaaaa，则63aa的值为

A．3 B．4 C．5 D．6

8．在边长为4的正方形ABCD中，沿对角线AC将其折成一个直二面角DACB，则点B到直线CD的距离为

A．22 B．32 C．23 D．222

9．函数)(xg中Rx，其导函数)('xg的图象如图1，则函数)(xg

A．无极大值，有四个极小值点

B．有两个极大值，两个极小值点

C．有三个极大值，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

10．有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成（如图2），则这个几何体含有的正方体的个数是

A． 7 B．6 C．5 D．4

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11．)1()2(210xx展开式中10x的系数是 ；

12．在程序框图（图3），若输入xxfcos)(，则输出的是 ；

13．对于偶函数]2,2[2)1()(2xxmmxxf，其值域为 ；

14．若n22132xdx，则nxx)2(展开式中含2x项的系数为 ；

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

（1）．（选修4—4坐标系与参数方程）若NM,分别是曲线cos2和22)4sin(上的动点，则NM,两点间的距离的最小值是 ；

（2）．（选修4—5 不等式选讲）不等式1|12|xx的解集是 ；

（3）．(选修4—1 几何证明选讲）如图4，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接BEAE,，APE的平分线与BEAE,分别交于点DC,，若030AEB，则PCE ；

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）

16．若向量1),1,3(),cos,(sinbaba，且)2,0(

（1）求；

（2）求函数xxxfsincos42cos)(的值域

17．将10个白小球中的3个染成红色，3个染成兰色，试解决下列问题：

（1） 求取出3个小球中红球个数的分布列和数学期望；

（2） 求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率

18．如图5，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，PDAD，FE,分别为PBCD,的中点

（1）求证：EF面PAB；

（2）若BCAB2，求AC与面AEF所成角的余弦值

19．若函数xxaxxfln68)(2在点))1(,1(fM处的切线方程为by

（1） 求ba,的值；

（2） 求)(xf的单调递增区间；

（3）若对于任意的]4,1[x，恒有)ln()ln(7)(2emmexf成立，求实数m的取值范围

20．在以O为原点的直角坐标系中，点)3,4(A为OAB的直角顶点，若||2||OAAB，且点B的纵坐标大于0

（1）求向量AB的坐标；

（2）是否存在实数a，使得抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两个点？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，说明理由；

21．在各项均为正数的数列}{na中，前n项和nS满足*)12(12NnaaSnnn，。

(1)证明}{na是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；

(2)在平面直角坐标系xoy面上，设点),(nnnyxM满足nnnnynSnxa2，，且点nM在直线C上，nM中最高点为kM，若称直线C与x轴、直线bxax、所围成的图形的面积为直线C在区间],[ba上的面积，试求直线C在区间],[3kxx上的面积；

（3）求出圆心在直线C上的圆，使得点列nM中任何一个点都在该圆内部

2010年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案 A D D C A C B B B

C

二、填空题:

（一）必做题

11．179； 12．xsin.； 13．]2,2[； 14．40．

（二）选做题

15．12； 16．)2,0(； 17．075．

三、解答题：

16．解：（1）依题意：1cossin3AAnm,

所以1)6sin(2A

，即21)6sin(A

又A为锐角，易得66A，故3A…………(6分)

（2）由（1）可知21cosA，

所以xxxxxfsin2sin21sin22cos)(2

23)21(sin22x…………………………(8分)

因为Rx，则]1,1[sinx

所以，当21sinx时，)(xf有最大值23

当1sinx时，)(xf有最小值-3

故函数)(xf的值域是]23,3[……(12分)

17．解（1）因为从10个球中任取3个，其中恰有k个红球的概率为

)3,2,1,0(,)(310373kCCCXPkk

所以随机变量X的分布列是

OGFEABCDPX的数学期望：109120134072402112470EX …（6分）

（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，“恰好1个红球和两个兰球”为事件1A，“恰好2个红球”为事件2A，“恰好3个红球”为事件3A；由题意知：321AAAA

又1201)3()(,407)2()(,403)(3231023131XPAPXPAPCCCAP

故120311201407403)()()()(321APAPAPAP………（12分）

18．解：方法一：

（1）取PA中点G, 连结FG, DG

//////1212BFFPFGABFGDECEEDDEAB//DEFGEFDG四边形为平行四边形

PDABCDPADABCDABPADABAD平面平面平面平面又

PABPADPDADAGPADGPABEFPABPGGAAGPADEFDG平面平面平面平面平面 ……(6分)

⑵设AC, BD交于O，连结FO.

//12PFBFFOPDFOABCDBOODPDABCD平面平面

设BC=a, 则AB=2a, ∴PA=2a, DG=22a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

设C到平面AEF的距离为h. ∵VC－AEF=VF－ACE, ∴11113232EFAFhCEADFO

即22222aaahaa ∴2ah

∴AC与平面AEF所成角的正弦值为/2363haACa.

即AC与平面AEF所成角为3arcsin6 …（12分）

方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设,0,0Ea，其中0a，则112,0,0,0,1,0,2,1,0,0,0,1,,,22CaABaPFa，

110,,,2,1,1,2,0,0,0,22EFPBaABaEFPBEFPB，

0,ABEFABEF

又,,PBPABABPABPBABB平面平面，

EFPAB平面 …（6分）

（2）解：由2,ABBC得22a，

可得2,1,0,2,1,1ACPB

3cos,6ACPBACPBACPB，

则异面直线AC，PB所成的角为3arccos6，

211,,,0,222AFAFPBAFPB，

又PBEF，AF为平面AEF内两条相交直线，

PBAEF平面，

AC与平面AEF所成的角为33arccosarcsin266，

即AC与平面AEF所成的角为3arcsin6 …（12分）

xFEABCDPyz