26.1.2反比例函数的图象和性质
第二课时
一、教学目标
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质．
2．能灵活运用函数图象和性质解决一些综合问题．
3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．
二、教学重难点
重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题．
难点：学会从函数图象上分析、解决问题．
教学过程（教学案）
一、问题引入
我们已经学过正比例函数和反比例函数，试填写下表，并说说正比例函数与反比例函数的区别．
正比例函数 反比例函数
函数解析式
图象
性质：k＞0
性质：k＜0
学生交流、讨论后，教师予以评析．
二、互动新授
【例3】 已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．
(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
(2)点B(3，4)，C(－212，－445)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
学生先独立完成练习，再小组交流、讨论，教师评讲．
【解】 (1)因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
(2)设这个反比例函数的解析式为y＝kx，因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足y＝kx，即6＝k2，解得k＝12. 所以，这个反比例函数的解析式为y＝12x.因为点B，C的坐标都满足y＝12x，点D的坐标不满足y＝12x，所以点B，C在函数y＝12x的图象上，点D不在这个函数的图象上．
教材图26.1－4
【例4】 如教材图26.1－4，它是反比例函数y＝m－5x图象的一支，根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
让学生展开交流讨论，教师适时予以评析．
【解】 (1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限，因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限．
人教版课程标准实验教科书八年级下册
《17.1.2反比例的图象和性质》第一课时
教 学 设 计
武陟县阳城一中 王先锋
二〇一三年三月二十二日 1 17.1.2反比例的图象和性质（第一课时）
课题名称 17.1.2反比例函数的图象和性质
科 目 数学 年级 八年级 授课人 王先锋
教学时间 一课时(40分钟)
学情分析 学生在第14章已经学习了如何用描点法画一次（正比例）函数的图象，这为本节学习奠定了一定的基础。通过本小节的学习，要使学生能够描点画出反比例函数的图象，并能结合图象分析反比例函数的性质。
教
学
目
标 知识技能 1.会用描点的方法画反比例函数的图象。
2.理解反比例函数的性质
数学思考 通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。
解决问题 会画反比例函数的图象，并能根据反比例函数图象探究其性质。
情感态度 在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性。
重点 画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质。
难点 理解反比例函数的性质，并能灵活应用。
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1创设情境，引入课题
活动2类比联想，探究交流 回顾画一次函数图象的过程，引入课题。
师生互动，画出反比例函数的图象。 2 活动3探索比较，发现规律
活动4运用新知，拓展训练
活动5归纳总结，布置作业 归纳比较，探索反比例函数的性质。
拓展训练，加深对反比例函数性质的理解，并能灵活运用。
回顾学习内容，增强学生学习数学的热情。
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
【活动1】
问题：
一次函数y=6x的图象是什么形状？反比例函数6yx的图象会是什么形状呢？请大家猜猜看，我们可以采用什么方法画？ 教师提出问题
学生思考、交流、回答问题。教师根据学生活动情况进行补充和完善。
在活动中教师应重点关注：
1．学生能否正确使用“描点”的方法画函数图象；
第 1 页 共 4 页 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)
3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)
一、情境导入
如图所示，对于反比例函数y＝kx(k>0)，在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点，并连接OP.
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝kx(k≠0)中k值的几何意义．
二、合作探究
探究点一：反比例函数解析式中k的几何意义
如图所示，点A在反比例函数y＝kx的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
解：∵点A在反比例函数y＝kx的图象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝12·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝4x.
方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用
【类型一】 利用反比例函数的性质比较大小
若M(－4，y1)、N(－2，y2)、P(2，y3)三点都在函数y＝kx(k＜0)的图象上，则y1，
第 2 页 共 4 页 y2，y3的大小关系为( )
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
解析：∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．∵M(－4，y1)、N(－2，y2)是双曲线y＝kx(k＜0)上的两点，∴y2>y1>0.∵2＞0，P(2，y3)在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3.故选B.
1 反比例函数知识点归纳和典型例题
知识点归纳
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；
在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；
在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）在双曲线的另一支上．
2
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
