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对勾函数讲解与例题解析

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1 对勾函数

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+ 错误！未找到引用源。 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号）

2 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，错误！未找到引用源。。

当x<0时，错误！未找到引用源。。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、均值不等式(基本不等式）

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数01xxxy最小值的解法

1. 均值不等式

0x，21xxy，当且仅当xx1，即1x的时候不等式取到“=”。当1x的时候，2miny

2. 法

0112yxxxxy

若y的最小值存在，则042y必需存在，即2y或2y（舍） y

X O

y=ax

3 找到使2y时，存在相应的x即可。通过观察当1x的时候，2miny

3. 单调性定义

设210xx 21212121211111xxxxxxxxxfxf2121211xxxxxx

当对于任意的21,xx，只有21,xx1,0时，21xfxf0，此时xf单调递增；

当对于任意的21,xx，只有21,xx,1时，21xfxf0，此时xf单调递减。

当1x取到最小值，21minfy

4. 复合函数的单调性

2112xxxxy

xxt1在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增

又x1,00,t x,1,0t 原函数在1,0上单调递减；在,1上单调递增

即当1x取到最小值，21minfy

四、例题解析：

例1、已知函数 ，

练习：2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值.

7fxxx(1).1,2,.xfx求的值域(2).2,4,.xfx求的最小值(3).7,3,.xfx求的值域7:(),,7,0,,,7fxxx解函数在07递减 在7递增().1,2(2)()(1)1()8 , 82xffxffx1在是减函数

1 即 值域为2().72,4, ()(7)()2,47xfxffxx2分析知的最小值为 在最小值为2(3).7,3(7)()(3)168()7,38,-3xffxffxx在是增函数

16 即- 值域为 32254xfxx

4 五、重点（窍门）

其实对勾函数的一般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0)

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a

当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1

下面分情况讨论

⑴当x10,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）

⑵当-根号a0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数

⑶当00，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数

⑷当根号a0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）

解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

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3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修

3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修

3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题：

科目： 班级： 课时：计划3课时

教师： 单位：

一、课程基本信息

1. 课程名称：数学人教A版（2019）必修第一册

2. 教学年级和班级：2023-2024学年高一上学期

3. 授课时间：第16周第3节

4. 教学时数：45分钟

二、教学目标

1. 理解对勾函数的概念和图象特征。

2. 掌握对勾函数的性质，并能运用性质解决问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

三、教学内容

1. 对勾函数的概念和图象特征。

2. 对勾函数的性质。

3. 对勾函数性质的应用。

四、教学重点

1. 对勾函数的概念和图象特征。

2. 对勾函数的性质。

五、教学难点

1. 对勾函数的性质的理解和运用。

2. 对勾函数性质在实际问题中的应用。

六、教学过程

1. 引入：通过实际问题引入对勾函数的概念，引导学生理解对勾函数的图象特征。

2. 新课：讲解对勾函数的性质，通过例题让学生掌握对勾函数性质的应用。

3. 练习：布置练习题，让学生巩固对勾函数性质的理解和运用。

4. 总结：总结本节课的主要内容，强调对勾函数性质的重要性。

七、教学评价

1. 学生对对勾函数概念和图象特征的理解程度。

2. 学生对对勾函数性质的掌握程度。

3. 学生对对勾函数性质应用的熟练程度。

二、核心素养目标 1. 提高学生的逻辑思维能力：通过对勾函数的概念、图象特征和性质的学习，培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用逻辑推理解决实际问题。

2. 培养学生的数学建模能力：通过对勾函数性质的应用，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，并运用数学知识解决实际问题。

3. 提升学生的数学应用能力：通过对勾函数性质的深入理解，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

4. 培养学生的合作交流能力：通过小组合作讨论对勾函数的性质和应用，提高学生的合作交流能力，培养学生的团队协作精神。

三角函数经典例题讲解【精品】

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龙文学校个性化辅导教案提纲

教师：

学生： 时间： 年_ 月 日 段

授课目的与考点分析：

三角函数式是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍

1. 求函数)6cos(sinsin2xxxy 的周期和单调增区间．

解 )sin6sincos6(cossinsin2xxxxy

xxxcossin23sin232xx2sin43)2cos1(43

)2cos432sin43(43xx)32sin(2343x．

∴ 函数的周期 22T．

当 22k≤32x≤22k，即 125k≤x≤12k (k∈Z) 时函数单调增加，即函数的增区间是 [125k，12k] (k∈Z)．

2. 已知函数235cos35cossin5)(2xxxxf

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间.

解：（Ⅰ）235cos35cossin5)(2xxxxf

)3sin2cos3cos2(sin52cos352sin2523522cos1352sin25xxxxxx

)32sin(5x

∴最小正周期T=22

（Ⅱ）由题意，解不等式kxk223222 得

)(12512Zkkxk

)(xf的递增区间是)](125,12[Zkkk

3. 已知函数)(,2cossin8cos23)(42xfxxxxf求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

解：xxxxxxxf2cossin8sin212cossin8)sin1(23)(4242

抽象函数的解析式例题讲解

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已知f（x）对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)且f（1）=1求f（x）的解

解法一：

令x=1，y=-1，代入：

f(0)=f(1)=1;

令y=1，代入原式：

f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时，这个式子不成立）

移项后：

f(x+1)-f(x)=2x+2

这个显然是个递推式，下面用n代替x进行演绎：

显然

f(2)-f(1)=2*1+2

f(3)-f(2)=2*2+2

…………………

f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2

以上等式分别相加起来

f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1)

将f(1)=1代入，得：

f(n)=n^2+n-1

将n换成x，则得到分段函数：

f(x)=x^2+x-1(x>0)

f(0)=1（x=0）

解法二：

令x=1,

f(y+1)=f(1)+2y(y+1)=2y^2+2y+1

令x=y+1，y=x-1

f(x)=2(x-1)^2+2(x-1)+1

即f(x)=2x^2-2x+1

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

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1 / 24 高考数学复习典型题型与知识点专题讲解

4 函数的基本性质

一、典型例型解题思维（名师点拨）

知识点1 ()(0)afxxax的单调性

知识点2 二次函数区间求最值

知识点3 已知一半求另一半（奇偶性）

知识点4单调奇偶联袂

二、题型归类练专练

一、典型例型解题思维（名师点拨）

知识点1 ()(0)afxxax的单调性

例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()fxxx.

（1）判断()fx的奇偶性；

（2）判断函数()fx在(2,)的单调性并用定义证明.

【答案】

（1）函数()fx为奇函数；

（2）fx在区间2,上是增函数；证明见详解.

（1）解：由题可知，4()fxxx，

则函数()fx的定义域为|0xx ，关于原点对称， 2 / 24 又44()()()fxxxfxxx，

所以函数()fx为奇函数.

（2）解：fx在区间2,上是增函数，

证明：12,(2,)xx且12xx，

有12121244()()()()fxfxxxxx

121244()()xxxx121212(4)xxxxxx，

122xx，1212124,40,0xxxxxx,

121212(4)0xxxxxx，即12()()fxfx，

函数()fx在区间2,上是增函数.

名师点评：对于函数()(0)afxxax主要性质如下：

①定义域(,0)(0,)；

②奇偶性：奇函数；

③单调性：当0x时；()(0)afxxax在(0,]a上单调递减；在[,)a的单调增；

④值域与最值：当0x时；()(0)afxxax值域为[2,)a，当xa时，取到最小值2a。 3 / 24

特别提醒同学们函数()(0)afxxax我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a这个大前提，当0a时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。