(完整版)对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用

一、对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质：

1. 定义域：),0()0,(

2. 值域：),2[]2,(abab

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf

4. 图像在一、三象限, 当0x时，byaxxab2（当且仅当bxa取等号），即)(xf在x=ab时，取最小值ab2

由奇函数性质知：当x<0时，)(xf在x=ab时，取最大值ab2

5. 单调性：增区间为（,ab），（ab,）,减区间是（0，ab），（ab,0）

二、对勾函数的变形形式

类型一：函数byaxx)0,0(ba的图像与性质

1.定义域：),0()0,(

2.值域：),2[]2,(abab

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.

4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(xf在x=ab时，取最小值ab2；当0x时，)(xf在x=ab时，取最大值ab2

5.单调性：增区间为（0，ab），（ab,0）减区间是（,ab），（ab,）,

类型二：斜勾函数byaxx)0(ab

①0,0ba作图如下

1.定义域：),0()0,( 2.值域：R

3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.

②0,0ba作图如下：

1.定义域：),0()0,( 2.值域：R

3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.

类型三：函数)0()(2acxcbxaxxf。

此类函数可变形为bxcaxxf)(，可由对勾函数xcaxy上下平移得到

练习1.函数xxxxf1)(2的对称中心为

类型四：函数)0,0()(kakxaxxf

此类函数可变形为kkxakxxf)()(，则)(xf可由对勾函数xaxy左右平移，上下平移得到

练习 1.作函数21)(xxxf与xxxxf23)(的草图

2.求函数421)(xxxf在),2(上的最低点坐标

3. 求函数1)(xxxxf的单调区间及对称中心

类型五：函数)0,0()(2babxaxxf。此类函数定义域为R，且可变形为xbxaxbxaxf2)(

a.若0a，图像如下：

1．定义域：),( 2. 值域：]21,21[baba

3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当0x时，)(xf在bx时，取最大值ba2，当x<0时，)(xf在x=b时，取最小值ba2

5. 单调性：减区间为（,b），（b,）；增区间是],[bb

练习1.函数1)(2xxxf的在区间2,上的值域为

b.

若0a，作出函数图像：

1．定义域：),( 2.

值域：]21,21[baba

3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.

当0x时，)(xf在bx时，取最小值ba2，

当x<0时，)(xf在x=b时，取最大值ba2

5. 单调性：增区间为（,b），（b,）；减区间是],[bb

练习1.如2214xax1,2x，则的取值范围是

类型六：函数)0()(2amxcbxaxxf.可变形为)0()()()()(2atsmxtmxamxtmxsmxaxf，

则)(xf可由对勾函数xtaxy左右平移，上下平移得到

练习1.函数11)(2xxxxf由对勾函数xxy1向 （填“左”、“右”）平移 单位，向

（填“上”、“下”）平移 单位.

2.已知1x ，求函数1107)(2xxxxf的最小值；

3.已知1x ，求函数199)(2xxxxf的最大值

类型七：函数)0()(2acbxaxmxxf

练习1.求函数21)(2xxxxf在区间),1(上的最大值；若区间改为),4[则)(xf的最大值为

2.求函数232)(22xxxxxf在区间),0[上的最大值

类型八：函数axbxxf)(.此类函数可变形为标准形式：)0()(abaxabaxaxabaxxf

练习1.求函数13)(xxxf的最小值；

2．求函数15)(xxxf的值域；

3.求函数32)(xxxf的值域

类型九：函数)0()(22aaxbxxf。此类函数可变形为标准形式：)()()(22222oabaxabaxaxabaxxf

练习 1.求函数45)(22xxxf的最小值；

2. 求函数171)(22xxxf的值域

三、关于求函数01xxxy最小值的十种解法

1. 均值不等式

0x，21xxy，当且仅当xx1，即1x的时候不等式取到“=”。当1x的时候，2miny

2. 法

0112yxxxxy

若y的最小值存在，则042y必需存在，即2y或2y（舍）

找到使2y时，存在相应的x即可。通过观察当1x的时候，2miny

3. 单调性定义

设210xx 21212121211111xxxxxxxxxfxf2121211xxxxxx

当对于任意的21,xx，只有21,xx1,0时，21xfxf0，此时xf单调递增；

当对于任意的21,xx，只有21,xx,1时，21xfxf0，此时xf单调递减。

当1x取到最小值，21minfy

4. 复合函数的单调性

2112xxxxy

xxt1在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增

又x1,00,t x,1,0t 原函数在1,0上单调递减；在,1上单调递增

即当1x取到最小值，21minfy

5. 求一阶导

2'111xyxxy 当1,0x时，0'y，函数单调递减；当,1x时，0'y，函数单调递增。

当1x取到最小值，21minfy

6.

三角代换

令tanx，2,0，则cot1x

2sin2cottan1xxy 2,0,02

当4，即22时，12sinmax，2miny，显然此时1x

7. 向量

baxxxxy1111， 1,1,1,bxxa

bacosbacos2a

根据图象，a为起点在原点，终点在xy10x图象上的一个向量，cosa的几何意义为a在b上的投影，

显然当ba时，cosa取得最小值。此时，1x，222miny

8．图象相减

xxxxy11，即y表示函数xy和xy1两者之间的距离

求miny，即为求两曲线竖直距离的最小值

平移直线xy，显然当xy与xy1相切时，两曲线竖直距离最小。

xy1关于直线xy轴对称，若xy与xy1在1x处有一交点，根据对称性，在10x处也必有一个交点，即此时xy与xy1相交。显然不是距离最小的情况。

所以，切点一定为1,1点。 此时，1x，2miny

9.平面几何

依据直角三角形射影定理，设xEBxAE1,，则xxADAB1

显然，xx1为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间的距离时，xx1取得最小值。即四边形ABCD为矩形。

此时，xx1，即1x，2miny

10. 对应法则

设txfmin 2xf221xx

,0x，,02x，对应法则也相同

txfmin2

211222xxxfxxxf

左边的最小值右边的最小值

122ttt（舍）或2t 当2xPx，即1x时取到最小值，且2miny

对勾函数练习：

1．若 x>1.求11xxy的最小值. 11.若2229ttatt在2,0t上恒成立，则a的取值范围是

2. 若 x>1. 求1222xxxy的最小值 12. 求函数111612xxxxxxf的最值。

3. 若 x>1. 求112xxxy的最小值 13. 的值域时，求，当142)()10(xxxfx

4. 若 x>0. 求xxy23的最小值 14. 的值域求31)(22xxxxxf

5.已知函数)),1[(22xxaxxy

（1） 求的最小值时，求)(21xfa

(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围

6.: 方程sin2x－asinx+4=0在[ 0 ,2 ]内有解 ，则a的取值范围是__________

7. 函数1027yxxx的最小值为____________；函数1027yxxx的最大值为_________。

8.函数xxy432的最大值为 。

9、若14x，则22222xxxy的最值是 。