几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件

3.2.1常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

班级： 姓名： 编者：陆祖银 高二数学备课组

学习目标

1.能根据导数定义，求四种常用函数,y=的导数；

2.掌握基本初等函数的导数公式并会利用其求简单函数的导数。

自主探究

互动探究

例题1、求函数1yx在点(1,1)处的切线方程．

例题2、求下列函数的导数：

(1)xye；(2)10xy；(3)lgyx

(4)12logyx；(5)34yx；(6).

当堂检测

1．()0fx的导数为 ( )

A．0 B．1C．不存在D．不确定

2．32yx的导数为 ( )

A．23x B．213x C．1323xD．1323x

3．若3()fxx 则/(1)f等于 ( )

A．0 B．13C．3 D．13

4．求下列函数的导数

⑴12yx； ⑵yxx； ⑶41yx； ⑷53yx．

知识拓展

如何记忆求导公式?

对于/()0c，/1()nnxnx，/(sin)cosxx，/(cos)sinxx要根据常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数的结构特征加以记忆．其中/1()nnxnx的nN推广到nN或nR仍然成立．/(cos)sinxx不要漏掉负号．

对于公式/1(ln)xx和/()xxee很好记，但对于公式/1(log)lnaxxa和/()lnxxaea的记忆就较难，特别是两个常数1lna和lna很容易混淆．如果记不住，可以利用/1(ln)xx和/()xxee推导如下：

///ln(ln)1(log)()lnlnlnaxxxaaxa，lnlnlnxaxeaea．

作业

课本85页习题3.2 A组 第1题和当堂检测第4题

自我评价

你对本节课知识掌握的如何（ ）

Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

青龙一中 导学案 高淑玲

几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

一新知导学 思维导航

(一)怎样用定义求函数y＝f(x)的导数？

牛刀小试

1．自己依据导数的定义求函数：①y＝c；②y＝x；③y＝x2；④y＝1x的导数并对照教材检查，然后自己求函数y＝x的导数．

二）基本初等函数的导数公式

1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.

2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝__________.

3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝___________．

若f(x)＝ex，则f ′(x)＝__________.

4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝___________________．

若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝__________.

牛刀小试

2．函数f(x)＝0的导数是( )

A．0 B．1 C．不存在 D．不确定

3．已知函数f(x)＝1x，则f ′(－2)＝( )

A．4 B．14 C．－4 D．－14

4．若f(x)＝tanx，f ′(x0)＝1，则x0的值为__________.

二．例题分析

例1求下列函数的导数．

(1)y＝a2(a为常数)； (2)y＝x12；(3)y＝x－4；

青龙一中 导学案 高淑玲

练习：求下列函数的导数

(1)y＝1x2； (2)y＝3x；(3)y＝2x；(4)y＝log3x.

例2 求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。