简单的线性规划问题二

简单的线性规划问题(附答案) 简单的线性规划问题

[学习目标]

知识点一 线性规划中的基本概念

名 称 意 义

约束条件 关于变量x，y的一次不等式(组)

线性约束条件 关于x，y的一次不等式(组)

目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式

线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式

可行解 满足线性约束条件的解(x，y)

可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

知识点二 线性规划问题

1．目标函数的最值

线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；

当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．

2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．

(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．

(4)答：写出答案．

知识点三 简单线性规划问题的实际应用

1．线性规划的实际问题的类型

(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？

1 3.3.2简单的线性规划问题(2)

教材分析

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.

课时分配

本课时是简单的线性规划问题的第二课时，主要解决的是线性规划的应用问题.

教学目标

重点: 掌握约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

难点：理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.

知识点：图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

能力点：函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想的运用.

教育点：结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.

自主探究点：培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力.

考试点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.

易错易混点：线性规划问题和非线性规划问题的区分于解决.

拓展点：非线性规划问题.

教具准备 实物投影机和粉笔

课堂模式 诱思探究

一、复习引入

简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

富县高级中学集体备课教案

年级：高三 科目：数学 授课人：

课题 简单的线性规划 第55课时

教学

目标 1、能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力

2、培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会数形结合的数学思想.

重点 可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.

中心发言人

难点 如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点

教法 讨论与讲授法相结合 学法 课前预习、课堂合作探究

个人主页

教具 教材、练习册 课型 常规课 课时安排 1课时

教

学

过

程

主要知识及主要方法：

线性规划：(1)对变量x，y的约束条件若都是关于x,y的一次不等式，则称为线性约束条件z=f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的一次解析式，叫作线性目标函数

(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域.分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫作这个问题的最优解.

(3)设目标函数z=ax+by+c,当b＞0时，把直线l0:ax+by=0向上平移时，所对应的z随之增大；把l向下平移时，所对应的z随之减小.

(4)在约束条件下，当b＞0时，求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为：①作出可行域；②作直线l0:ax+by=0;③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解方程组求最优解，进而得到目标函数的最小值或最大值.

例题分析：

巩固练习：

课后作业：

备课组长签字： 年 月 日

27.简单的线性规划问题（二）

教学目标 班级______ 姓名____________

1.能熟练运用线性规划求最值.

2.理解线性规划问题中构造的几何意义，体会数形结合思想的奥妙.

教学过程

1.构造几何意义：（数形结合思想）

（1）二元一次式byaxz通常构造成“截距”：原式化为bzxbay，

z表示直线bzxbay在y轴上的截距“bz”的b倍.

（2）分式axbyz通常构造成“斜率”：原式化为)()(axbyz，

z表示点),(yx和),(ba连线的斜率.

（3）平方和式22)()(byaxz通常构造成“两点距离”：原式化为222))()((byaxz，z表示点),(yx和点),(ba之间距离的平方.

（4）绝对值式||cbyaxz通常构造成“点到直线的距离”：2222||bacbyaxbaz，z表示点),(yx到直线0cbyax的距离的22ba倍.

052yx

例1：变量x，y的线性约束条件为 02yx ，求目标函数142xyz的最大值.

0x

052yx

练1：已知 053yx，求22)1()1(yx的最大值和最小值.

052yx

02yx

作业：已知 22yx，求（1）261022yyxz的最小值；（2）11xyz的

0x

取值范围.