二次根式例题讲解

专题07 复合二次根式的化简

【例题讲解】

阅读材料：若想化简

2mn±，只要我们找到两个正数ab，

，使abmabn+==，，即

22

()()abmabn+=×=，

，那么便有：2

2()()mnababab±=±=±>．

例：化简

743+．

解：首先把

743+

化为

7212+，这里712mn==，

，由于4374312+=´=，．

即22

(4)(3)74312+=´=，

．2

7437212(43)23\+=+=+=+．

请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：

(1)

填空：

423-=___________

，

526-=___________；

(2)

化简：

19415-；写出计算过程

(3)

化简：

32252672122121nnnn-+-+-+¼++-+．为正整数

【详解】（1）这里4m=

，3n=

134+=Q，133´= 即：2

2

314+=，

313´=

2

4233131\-=-=-

2

4233131\-=-=-（）

这里5m=

，6n= 235+=Q

，236´= 即：2

2

325+=，

236´=

2

5263232\-=-=- 故答案为：

31-；

32-

（2）

1941519260-=-Q \

这里19m=

，60n=

15419+=Q

，15460´= 即：22

15419+=，

15460´=

2

19260154\-=-

19415154152\-=-=-

（3）

32221-=-Q

52632-=-

72124323-=-=-

．．．．．．，



21211nnnnn+-+=+-

\

原式

21323=-+--+．．．

111nnn++-=+-

【综合解答】1．观察下列各式及其化简过程：

222

3222221222112121+=++=+´+=+=+（）（）（），

222

5263262323223232-=-+=-´+=-=-（）（）（）．

(1)

按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将

31106-化简；

(2)

化简

358743-+；

(3)

针对上述各式反映的规律，请你写出

第1页—总10页 《二次根式》分类练习题

二次根式的定义：

【例1】下列各式.1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a

2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子13x有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式43xx有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、使代数式221xx有意义的x的取值范围是

3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

第2页—总10页 【例3】若y=5x+x5+2009，则x+y=

举一反三：

1、若11xx2()xy，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值

3、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。

已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

若17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值.

知识点二：二次根式的性质

【例4】若22340abc，则cba ．

举一反三：

1、若0)1(32nm，则mn的值为 。

《第二章7 二次根式》讲解与例题

1．二次根式的概念

一样地，咱们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号，a叫做被开方数．

【例1－1】

以下式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

2，33，1x，x2＋1，0，42，－2，1x＋y，x＋y.

解：二次根式有：2，x2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x，42，1x＋y，x＋y.

析规律 二次根式的条件

二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0.

【例1－2】 当x是多少时，3x－1在实数范围内成心义？

分析：由二次根式的概念可知，被开方数必然要大于或等于0，因此3x－1≥0时，3x－1才成心义．

解：由3x－1≥0，得x≥13.

因此当x≥13时，3x－1在实数范围内成心义．

点技术 二次根式成心义的条件

二次根式成心义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数必然要大于或等于0.

2．积的算术平方根

用“＞，＜或＝”填空．

4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.

依照上面的计算咱们可得出：ab＝a·b(a≥0，b≥0)

即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积．

【例2】 化简：

(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54.

分析：利用ab＝a·b(a≥0，b≥0)直接化简即可．

解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12.

(2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90.

(4)54＝9×6＝32×6＝36.

点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．

3．商的算术平方根

填空：

(1)916＝__________，916＝__________；

(2)1636＝__________，1636＝__________；

试卷第1页，总4页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

二次根式专项练习题

组卷人: 张莉

第I卷（选择题）

一、选择题

1．9的算术平方根是（ ）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．±9

2．下列运算中正确的是 （ ）

A、525 B、552

C、222）（ D、212414

3．下列各式中正确的是( )

A.16=±4 B.3-27=－9 C.2(-3)=－3 D.112=142

4．9的算术平方根为（ ）

A．3 B．±3 C．-3 D．81

5．与3是同类二次根式的是（ ）

A．2 B．9 C．18 D．13

6．若代数式12xx有意义，则x的取值范围是（ ）

A．21xx且 B．1x C．2x D．21xx且

7．若2(1)1mm，则m的取值范围是 （ ）

A．m≥1 B．m≤1 C．m=1 D．一切实数

8．下列四个等式：①2(4)4；②2(4)16；③2(4)4；④2(4)4．正确的是（ ）

A．①② B.③④ C.②④ D.①③

9．二次根式23-）（的值是（ ）

A. -3 B. 3或-3 C. 9 D. 3

10．在函数y=13x中，x的取值范围是（ ）