二次根式典型题
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二次根式典型题
一、二次根式有意义的条件
1. 当x取何值时，二次根式√(x - 3)有意义？
- 解析：对于二次根式√(a)，被开方数a≥slant0时才有意义。所以在√(x - 3)中，x-3≥slant0，解得x≥slant3。
2. 若√(2x + 1)+√(1 - 2x)有意义，则x的取值范围是多少？
- 解析：要使√(2x + 1)和√(1 - 2x)都有意义，则<=ft{begin{array}{l}2x + 1≥slant01-2x≥slant0end{array}right.。解2x+1≥slant0得x≥slant-(1)/(2)，解1 - 2x≥slant0得x≤slant(1)/(2)。所以x的取值范围是x=(1)/(2)。
二、二次根式的性质
3. 化简√((-5)^2)。
- 解析：根据二次根式的性质√(a^2)=| a|，所以√((-5)^2)=| - 5| = 5。
4. 已知a<0，化简√(4a^2)。
- 解析：因为a<0，根据√(a^2)=| a|=-a（当a<0时），所以√(4a^2)=√(4)×√(a^2) = 2| a|=-2a。
三、二次根式的运算
5. 计算√(12)+√(27)。 - 解析：先将二次根式化为最简二次根式，√(12)=√(4×3)=2√(3)，√(27)=√(9×3)=3√(3)。所以√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。
6. 计算√(8)-√(frac{1){2}}。
- 解析：√(8)=√(4×2)=2√(2)，√(frac{1){2}}=(√(1))/(√(2))=(√(2))/(2)。则√(8)-√(frac{1){2}}=2√(2)-(√(2))/(2)=(4√(2)-√(2))/(2)=(3√(2))/(2)。
7. 计算(√(3)+1)(√(3)-1)。
- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=√(3)，b = 1，所以(√(3)+1)(√(3)-1)=(√(3))^2-1^2=3 - 1=2。
8. 计算(√(5)+√(2))^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，这里a=√(5)，b=√(2)。所以(√(5)+√(2))^2=(√(5))^2+2√(5)×√(2)+(√(2))^2=5 + 2√(10)+2=7+2√(10)。
四、分母有理化
9. 把(1)/(√(2))分母有理化。
- 解析：分母有理化就是把分母中的根号去掉。(1)/(√(2))=(√(2))/(√(2)×√(2))=(√(2))/(2)。
10. 把(3)/(√(5)-√(2))分母有理化。 - 解析：利用平方差公式(a - b)(a + b)=a^2-b^2，(3)/(√(5)-√(2))=(3(√(5)+√(2)))/((√(5)-√(2))(√(5)+√(2)))=(3(√(5)+√(2)))/(5 - 2)=√(5)+√(2)。
五、二次根式的化简求值
11. 已知x=√(3)+1，y=√(3)-1，求x^2-y^2的值。
- 解析：先将x^2-y^2分解因式为(x + y)(x - y)。x + y=√(3)+1+√(3)-1 = 2√(3)，x - y=√(3)+1-(√(3)-1)=√(3)+1-√(3)+1 = 2。所以x^2-y^2=(x + y)(x -
y)=2√(3)×2 = 4√(3)。
12. 已知a=√(2)+1，求a^2-2a + 1的值。
- 解析：先将a^2-2a + 1变形为(a - 1)^2。当a=√(2)+1时，a-1=√(2)+1 -
1=√(2)，所以(a - 1)^2=(√(2))^2=2。
六、比较大小
13. 比较√(3)与1.7的大小。
- 解析：因为(√(3))^2=3，1.7^2=2.89，由于3>2.89，所以√(3)>1.7。
14. 比较√(5)-√(3)与√(3)-√(1)的大小。
- 解析：√(5)-√(3)=((√(5)-√(3))(√(5)+√(3)))/(√(5)+√(3))=(5 - 3)/(√(5)+√(3))=(2)/(√(5)+√(3))；√(3)- 1=((√(3)-1)(√(3)+1))/(√(3)+1)=(3 - 1)/(√(3)+1)=(2)/(√(3)+1)。因为√(5)+√(3)>√(3)+1，所以(2)/(√(5)+√(3))<(2)/(√(3)+1)，即√(5)-√(3)<√(3)-1。 七、二次根式方程
15. 解方程√(x+3)=2。
- 解析：两边同时平方得x + 3=4，解得x=1。经检验，当x = 1时，√(x+3)=√(1 + 3)=√(4)=2，所以x = 1是原方程的解。
16. 解方程√(2x-1)-√(x)=0。
- 解析：移项得√(2x - 1)=√(x)，两边同时平方得2x-1=x，解得x = 1。经检验，当x = 1时，√(2x-1)=√(2×1-1)=√(1)=1，√(x)=√(1)=1，所以x = 1是原方程的解。
八、二次根式在实际问题中的应用
17. 一个正方形的面积为18，求这个正方形的边长。
- 解析：设正方形的边长为x，根据正方形面积公式S=x^2，已知S = 18，则x=√(18)=√(9×2)=3√(2)，所以这个正方形的边长为3√(2)。
18. 直角三角形的两条直角边分别为√(3)和√(6)，求斜边的长。
- 解析：根据勾股定理c^2=a^2+b^2（c为斜边，a、b为直角边），所以斜边c=√((sqrt{3))^2+(√(6))^2}=√(3 + 6)=√(9)=3。
九、综合题
19. 已知m=√(5)+2，n=√(5)-2，求(m)/(n)+(n)/(m)的值。 - 解析：先求mn的值，mn=(√(5)+2)(√(5)-2)=5 - 4 = 1；m + n=√(5)+2+√(5)-2 = 2√(5)。
- (m)/(n)+(n)/(m)=frac{m^2+n^2}{mn}=frac{(m + n)^2-2mn}{mn}，把mn = 1，m + n=2√(5)代入得frac{(2√(5))^2-2×1}{1}=20 - 2=18。
20. 化简(√(3)+√(2))/(√(3)-√(2))+(√(3)-√(2))/(√(3)+√(2))。
- 解析：先分别对两个分式分母有理化。
- (√(3)+√(2))/(√(3)-√(2))=frac{(√(3)+√(2))^2}{(√(3)-√(2))(√(3)+√(2))}=(3
+ 2√(6)+2)/(3-2)=5 + 2√(6)；
- (√(3)-√(2))/(√(3)+√(2))=frac{(√(3)-√(2))^2}{(√(3)+√(2))(√(3)-√(2))}=(3-2√(6)+2)/(3 - 2)=5-2√(6)。
- 所以(√(3)+√(2))/(√(3)-√(2))+(√(3)-√(2))/(√(3)+√(2))=(5 + 2√(6))+(5-2√(6))=10。
