对勾函数的性质

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x

“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号） 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、类对勾函数性质探讨

函数xbaxy，在时或00ba为简单的单调函数，不予讨论。

第1页，－共4页 对勾函数的性质及

【2

】运用

一、对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质：

1. 界说域：),0()0,(

2. 值域：),2[]2,(abab

3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(xfxf

4. 图像在一.三象限, 当0x时,byaxxab2（当且仅当bxa取等号）,即)(xf在x=ab时,取最小值ab2

由奇函数性质知：当x<0时,)(xf在x=ab时,取最大值ab2

5. 单调性：增区间为（,ab）,（ab,）,减区间是（0,ab）,（ab,0）

二、对勾函数的变形情势

类型一：函数byaxx)0,0(ba的图像与性质

1.界说域：),0()0,(

2.值域：),2[]2,(abab

3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.

4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(xf在x=ab时,取最小值ab2;当0x时,)(xf在x=ab时,取最大值ab2

5.单调性：增区间为（0,ab）,（ab,0）减区间是（,ab）,（ab,）, 第2页，－共4页 类型二：斜勾函数byaxx)0(ab

①0,0ba作图如下

1.界说域：),0()0,(2.值域：R

3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.

5.单调性：增区间为（-,0）,（0,+）.

②0,0ba作图如下：

1.界说域：),0()0,(2.值域：R

3.奇偶性：奇函数 4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.

5.单调性：减区间为（-,0）,（0,+）.

类型三：函数)0()(2acxcbxaxxf.

此类函数可变形为bxcaxxf)(,可由对勾函数xcaxy高低平移得到

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。

中文名

对勾函数

别 称

耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数

表达式

f(x)=ax+b/x (a>0)

1定义

定义

所谓的对勾函数（双曲函数），是形如

（a>0)的函数。

名称

由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2性质

图像

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线

最值

当x>0时，

有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。 奇偶性、单调性

奇偶性 双勾函数是奇函数。

单调性

令k=，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0

变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一

对勾函数

点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

3对勾函数最小值与均值不等式

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道 展开，得

，即

两边同时加上2ab，整理得，

两边开平方，就得到了均值定理的公式：

将中看做a，看做b代入上式，得

这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

4导数求解

其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x²，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用哪个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。[1]

对勾函数详细分析 1 / 6

一、对勾函数 y ax b

x

1. 定义域： ( ,0)

对勾函数的性质及应用

( a 0, b 0) 的图像与性 质：

(0, )

2. 值域： ( , 2 ab ] [ 2 ab , )

3. 奇偶性：奇函数， 函数图像整体呈两个“对勾” 的形状，

且函数图像对于原点呈中心对称，即 f (x) f ( x) 0

4. 图像在一、 三象限 , 当 x 0 时， y ax b 2 ab（当

x

且仅当 x b 取等号），即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab

a a

由奇函数性质知：当 x<0 时， f ( x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab

a

5. 单一性：增区间为（ b ），（ , b ） ,减区间是（ 0， b ），（ b ,0） ,

a a a a

二、对勾函数的变形形式

种类一： 函数 y ax b (a 0, b 0) 的图像与性质

x

1.定义域： ( ,0) (0, )

2. 值域： ( , 2 ab ] [ 2 ab , )

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 .

4.图像在二、四象限 , 当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取

a

最小值 2 ab ；当 x 0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab

a

5.单一性：增区间为（ 0， b ），（ b ,0）减区间是（ b , ），（ , b ） ,

a a a a

种类二： 斜勾函数 y ax b (ab 0)