少量数据的统计处理
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7.3 少量数据的统计处理
7.3.1 t 分布曲线
正态分布是无限次测量数据的分布规律。
当测量数据不多时，其分布服从t 分布规律。
对于有限次测量，用s 代替?，用t 代替u ，t 的定义是：
t 分布图如右。
由图可知，t 分布曲线与正态分布曲线相似，纵坐标仍为概率密度，但横坐标为统计量t 。
t 分布曲线随自由度改变f 而改变，当f 趋近∞时，t 分布趋近正态分布。
置信度（P ）表示测定值在x tS μ±范围内的概率，当f ??，t 即为u 。
显着性水平（?）=1-P ：表示测定值在x tS μ±范围之外的概率。
t 值与置信度及自由度有关，一般表示为,f t α。
?例如：t 0.05,10 表示置信度为 95%，自由度为 10 时的 t 值。
7.3.2 平均值的置信区间
实际工作中，往往是由样本平均值来估计总体平均值可能存在的区间，根据t 分布可知，
x t
μ=±
此式表示在一定的置信度下，以平均值x 为中心，包括总体平均值?的范围。
此范围称为平均值的置信区间。
选定置信度P ，根据P （或?）与f 即可查出t ?，f 值，从样本的平均值和标准偏差，即可求出相应的置信区间。
例2：分析某尾矿中铁含量得如下结果：x =15.78%，s=0.03%，n=4，求（1）置信度为95%时平均值的置信区间；（2）置信度为99%时平均值的置信区间。
解：置信度为95%，查表得t 0.05，3=3.18，那么
15.78 3.1815.780.05%
x t
μ=±=±=±
置信度为99%，查表得t 0.05，3=5.84，那么15.78 5.8415.780.09%
x t
μ=±=±=±
对此例可知，置信度越高，置信区间越大。
例3：下列有关置信区间的定义中，正确的是：
a.以真值为中心的某一区间包括测定结果的平均值的几率；
b.在一定置信度时，以测量值的平均值为中心的包括总体平均值的范围；
c.真值落在某一可靠区间的几率；
d.在一定置信度时，以真值为中心的可靠范围。
解：答案为b 。
因为真值是客观存在的，是用有限次的测量的平均值来估计它所在的范围，不能说它落在某一区间的概率为多少，
7.3.3显着性检验 判断两组分析结果是否存在系统误差，换句话来说，是否存在显着性差异，可用t 检验和F 检验
法。
1.t 检验
（1）平均值与标准值的比较：为了检验分析方法或者分析人员的分析数据是否存在系统误差，可对标准试样进行若干次分析，然后用t 检验法判断是否存在显着性差异。
具体的做法是：首先按下式计算t 值，
t =
然后查出统计值t ?，f ；若t > t 表，则有显着差异，
否则无。
（2）两组平均值的比较：为了检验两组数据间是否存在显着性差异，也可使用t 检验法。
设两组数据的平均值分别为12x x 与，标准偏差分别为s 1与s 2， 先用F 检验法检验两组数据的度是否有显着性差异，若无差异，则按下式计算。
然后在一定置信度时，查表得到t 表，t 表中的自由度f =n 1+n 2-2，若t > t 表，则两组数据的平均值有显着差异，否则无。
2．F 检验
F 检验是通过比较两组数据的方差s 2
，以确定它们的精密度是否存在显着性差异的方法。
统计量F 的定
义为两组数据的方差的比值，大方差为分子，小方差为分母，即
22s F s =
大小。
若F 计算>F 表，有显着差异，否则无。
例4.用两种不同的方法测得合金中铝的含量，其结果如下:方法1：11142.340.105x s n ===，，;方法2：
22242.440.124x s n ===，，，试判断两种方法是否存在显着性差异。
解：先用F 检验s 1与s 2有无显着差异：
()()
2
222
0.12 1.44
0.10s F s =
==大计算小
查表得F 表=6.59，因F 计算< F 表，因此 s 1与s 2无显着差异。
再用t 检验法检验两种方法的平均值12x x 与是否存在显着性差异：
查表，当f =5+4-2=7，P=95%，得：t 表=2.36，则 t < t 表，因此，无显着差异。
7.3.4 异常值的取舍
一组分析测量数据中的异常值的取舍，可按统计学方法进行处理。
1.d 4法
依据：随机误差超过3?的测量值出现的概率小于0.3%，故这些测量值通常可以舍去。
又因为?＝0.80?，3??4?，即偏差超过4?的个别测定值可以舍去。
对于少量实验数据，用s 代替σ。
用d 代替?，所以可以粗略地认为，偏差大于d 4的个别测量值可以舍去。
方法特点：简便，不需查表，但不够准确，当此法与其他检验方法结论有悖时，应以其他方法为准。
步骤：（1）剔除异常可疑值后，计算其余数据的平均值x 与平均偏差d ；（2）考察异常可疑值与x 的差是否大于d 4，若
d
x x 4>-，则测定值x 应该舍去，否则保留。
2.格鲁布斯（Grubbs ）法
步骤：（1）将数据由小到大排列， x 1，x 2……x n-1,x n 。
求出平均值x 与标准偏差s ；（2）按下式计算统计
量T ，
s x x T 1-=
(x 1为可疑值)或s x
x T n
-= （xn 为可疑值）；(3)将T 与表值T ?,n 比较，若T >T a ,n ，则可
疑值舍去，否则保留。
方法特点：可靠性高，计算略为麻烦。
3．Q 检验法
步骤：（1）数据由小到大排列。
x 1，x 2……x n-1,x n ，设x n 或x 1为可疑值；（2）计算统计量
11
Q x x x x n n n --=
-（x n
为可疑值时）或11
2Q x x x x n --=
（x n 为可疑值时）；（3）比较Q 和Q 表的大小，若Q >Q 表，则对应的疑值舍
去，否则保留。
例5. 某药物中钴的分析结果为：1.25，1.27， 1.31，1.40μg/g,用d 4法和Grubbs 法判断，在显着性水准为0.05时，数据1.40是否应保留？
解：按d 4法判断，先除去1.40，计算平均值和平均偏差得： (1.40-1.28)/0.023 = 5>4， 所以1.40此数据应舍去。
按Grubbs 法，先求全组数据的平均值和标准偏差:
T <T ?,n ,所以1.40不应舍去。
