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对勾函数图象性质

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对勾函数图象性质

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+

𝐛𝐱 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+𝐛𝐱（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，f(x)=ax+bx≥2√ab(当且尽当ax=bx时取等号)，此时x=√ba。

当x<0时，f(x)=ax+bx≤−2√ab(当且尽当ax=bx时取等号)，此时x=−√ba。

即对勾函数的定点坐标：A:(√ba,2√ab)、B:(−√ba,−2√ab)

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

定义域：{x|x≠0}；值域：{y|y>2√ab或y<−2√ab}

(四) 对勾函数的单调性

对于函数f(x)=ax+bx：单调增区间：(−∞,−√ba]∪[√ba,+∞)；单调减区间：(−√ba,0)∪(0,√ba)

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：对于函数f(x)=ax+bx，它的渐进线有两条：y=ax；y=0；

(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、类对勾函数性质探讨

函数xbaxy，在时或00ba为简单的单调函数，不予讨论。 y

X O

y=ax 在时且00ba有如下几种情况：(1)0,0ba (2)0,0ba (3)0,0ba (4)0,0ba

设axy1，xby2，则xbaxyyy21，其定义域为0,|xRxx且

(1)0,0ba时，axy1，xby2在),0(),0,(上分别单调递增。

故xbaxyyy21在),0(),0,(为单调递增函数。

(2)0,0ba时，axy1，xby2在),0(),0,(上分别单调递减。

故xbaxyyy21在),0(),0,(为单调递减函数

(3)0,0ba 图像略

1当0x时，01axy，02xbyabxbaxxbaxyyy2221。当且仅当xbax，即abx取等号。

2当0x时 01axy，02xbyabxbaxxbaxxbaxyyy22)(21，当且仅当xbax，即abx（因为0x，故舍掉abx）取等号。

4)0,0ba

1当0x时，01axy，02xbyabxbaxxbaxxbaxyyy22)(21。当且仅当xbax，即abx取等号。

2当0x时 01axy，02xbyabxbaxxbaxyyy2221，当且仅当xbax，即abx取等号。

四、对勾函数练习：

1．若 x>1.求11xxy的最小值

2. 若 x>1. 求1222xxxy的最小值

3. 若 x>1. 求112xxxy的最小值

4. 若 x>0. 求xxy23的最小值

5.已知函数)),1[(22xxaxxy

（1） 求的最小值时，求)(21xfa

(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围

6.: 方程sin2x－asinx+4=0在[ 0 ,2 ]内有解 ，则a的取值范围是__________

7. 函数1027yxxx的最小值为____________；函数1027yxxx的最大值为_________。

8.函数xxy432的最大值为 。

9、若14x，则22222xxxy的最值是 。

10.函数xxy22sin4sin9的最小值是 。

11.若不等式2229ttatt在2,0t上恒成立，则a的取值范围是 。

12. 求函数111612xxxxxxf的最值。

13. 的值域时，求，当142)()10(xxxfx

14. 的值域求31)(22xxxxxf

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对勾函数

对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。

中文名

对勾函数

别 称

耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数

表达式

f(x)=ax+b/x (a>0)

1定义

定义

所谓的对勾函数（双曲函数），是形如

（a>0)的函数。

名称

由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2性质

图像

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线

最值

当x>0时，

有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。 奇偶性、单调性

奇偶性 双勾函数是奇函数。

单调性

令k=，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0

变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一

对勾函数

点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

3对勾函数最小值与均值不等式

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道 展开，得

，即

两边同时加上2ab，整理得，

两边开平方，就得到了均值定理的公式：

将中看做a，看做b代入上式，得

这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

4导数求解

其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x²，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用哪个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。[1]

对勾函数的图象及性质

对勾函数的图象及性质

对勾函数

一、定义

对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，

其标准形式为

f(x)=ax+（其中ab>0）。由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对

勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。在许多情况下，

为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为

f(x)=x+。研究初等函数的一般路径，背景—概

念—图象—性质—应用二、图象及性质

图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y轴和直线y=ax为渐近线的两支曲线。

2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘

积。3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。值域：。

单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。x12

2严禁复制三、题型

1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。2.、图像结合题

根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。3.、综合应用题

求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如

ax+（ab>0）的函数的最值问题。

不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。

实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾

函数的应用。4、参数变化分析：探讨参数a和b变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。

5、复杂函数组合

将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。

四、解题步骤

1、对勾函数求最值问题的解题步骤

（1）理解函数形式

确认函数

f(x)=ax+的形式，注意a和b都是正数且不相等。

（2）确定研究区间

对勾函数 2

对勾函数 2

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号） 当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

(六) 对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数， y

X O

y=ax

对勾函数绝对经典

对勾函数绝对经典

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1 / 4 对勾函数f(x)=ax+的图象与性质

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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号） 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

2 / 4 出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

(六) 对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数，