2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷及答案

2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷

1. （2020·上海黄浦区·模拟）设集合 𝐴={𝑥∣ (𝑥+1)(𝑥−2)<0}，集合 𝐵={𝑥∣ 1<𝑥<3}，则 𝐴∪𝐵= ．

2. （2020·上海黄浦区·模拟）已知 𝑧=(𝑎−i)(1+i)（𝑎∈𝐑，i 为虚数单位）为纯虚数，则

𝑎= ．

3. （2020·上海黄浦区·模拟）抛物线 𝑥2=8𝑦 的焦点到准线的距离为 ．

4. （2020·上海黄浦区·模拟） (𝑥2−1𝑥)8 的展开式中 𝑥 的系数为 ．（用数字作答）

5. （2020·上海黄浦区·模拟）设 𝜃 为第二象限的角，sin𝜃=35，则 tan2𝜃 的值为 ．

6. （2020·上海黄浦区·模拟）母线长为 3，底面半径为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．

7. （2020·上海黄浦区·模拟）若无穷等比数列 {𝑎𝑛} 满足：𝑎2𝑎3=𝑎4，𝑎5=116，(𝑛∈𝐍∗)，则数列

{𝑎2𝑛−1} 的所有项的和为 ．

8. （2020·上海黄浦区·模拟）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 ．（结果用数字作答）

9. （2020·上海黄浦区·模拟）已知 𝐴，𝐵 为双曲线 𝐸 的左、右顶点，点 𝑀 在 𝐸 上，△𝐴𝐵𝑀 为等腰三角形，且顶角为 120∘，则 𝐸 的两条渐近线的夹角为 ．

10. （2020·上海黄浦区·模拟）已知函数 𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑔(𝑥) 的图象关于直线 𝑦=𝑥 对称，若

𝑓(𝑥)=𝑥+log2(2𝑥+2)，则满足 𝑓(𝑥)>log23>𝑔(𝑥) 的 𝑥 的取值范围是 ．

11. （2020·上海黄浦区·模拟）设函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的定义域为 𝐷，若对任意的 𝑥1∈𝐷，总存在 𝑥2∈𝐷，使得 𝑓(𝑥1)⋅𝑓(𝑥2)=1，则称函数 𝑓(𝑥) 具有性质 𝑀．下列结论：①函数 𝑦=𝑥3−𝑥 具有性质

𝑀；②函数 𝑦=3𝑥+5𝑥 具有性质 𝑀；③若函数 𝑦=log8(𝑥+2)，𝑥∈[0,𝑡] 具有性质 𝑀，则

𝑡=510；④若 𝑦=3sin𝑥+𝑎4 具有性质 𝑀，则 𝑎=5．其中正确结论的序号是 ．

12. （2020·上海黄浦区·模拟）已知正六边形 𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6 的边长为 2，点 𝑃 是该正六边形边上的动点，记 𝜎=𝐴1𝑃⋅𝐴2𝑃+𝐴2𝑃⋅𝐴3𝑃+𝐴3𝑃⋅𝐴4𝑃+𝐴4𝑃⋅𝐴5𝑃+𝐴5𝑃⋅𝐴6𝑃+𝐴6𝑃⋅𝐴1𝑃，则 𝜎 的取值范围是 ．

13. （2020·上海黄浦区·模拟）方程 ∣∣∣2𝑥13𝑥∣∣∣=5 的解集是 (  )

A． {2} B． {2,−2} C． {1,−1} D． {i,−i}

14. （2020·上海黄浦区·模拟）将函数 𝑦=sin(4𝑥+π3) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 π3 个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为 (  )

A． 𝑥=−π12 B． 𝑥=π16 C． 𝑥=π4 D． 𝑥=π2

15. （2020·上海黄浦区·模拟）若函数 𝑓(𝑥) 的定义域为 𝐑，则“𝑓(𝑥) 是偶函数”是“𝑓(∣𝑥∣)=𝑓(𝑥) 对切 𝑥∈𝐑 恒成立”的 (  )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16. （2020·上海黄浦区·模拟）设曲线 𝐸 的方程为 4𝑥2+9𝑦2=1，动点 𝐴(𝑚,𝑛)，𝐵(−𝑚,𝑛)，𝐶(−𝑚,−𝑛)，𝐷(𝑚,−𝑛) 在 𝐸 上，对于结论：①四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积的最小值为 48；②四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 外接圆的面积的最小值为 25π，下面说法正确的是 (  )

A．①错，②对 B．①对，②错 C．①②都错 D．①②都对

17. （2020·上海黄浦区·模拟）在三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 中，已知 𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶 两两垂直，𝑃𝐵=3，𝑃𝐶=4，且三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 的体积为 10．

(1) 求点 𝐴 到直线 𝐵𝐶 的距离．

(2) 若 𝐷 是棱 𝐵𝐶 的中点，求异面直线 𝑃𝐵，𝐴𝐷 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18. （2020·上海黄浦区·模拟）在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝑎，𝑏，𝑐 分别是角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边，且 𝑎cos𝐶=(2𝑏−𝑐)cos𝐴．

(1) 若 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=3，求 △𝐴𝐵𝐶 的面积．

(2) 若 ∠𝐵<∠𝐶，求 2cos2𝐵+cos2𝐶 的取值范围．

19. （2020·上海黄浦区·模拟）某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度 𝑦（微克/毫升）与给药时间 𝑥（小时）之间的若干组数据，并由此得出 𝑦 与 𝑥 之间的一个拟合函数 𝑦=40(0.6𝑥−0.62𝑥)(𝑥∈[0,12])，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：

(1) 求药峰浓度与药峰时间（精确到 0.01 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；

(2) 求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到 0.01 小时）．

20. （2020·上海黄浦区·模拟）已知椭圆 𝐶 的中心在坐标原点焦点在 𝑥 轴上，椭圆 𝐶 上一点

𝐴(2√3,−1) 到两焦点距离之和为 8．若点 𝐵 是椭圆 𝐶 的上顶点，点 𝑃，𝑄 是椭圆 𝐶 上异于点

𝐵 的任意两点．

(1) 求椭圆 𝐶 的方程；

(2) 若 𝐵𝑃⊥𝐵𝑄，且满足 3𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的点 𝐷 在 𝑦 轴上，求直线 𝐵𝑃 的方程；

(3) 若直线 𝐵𝑃 与 𝐵𝑄 的斜率乘积为常数 𝜆(𝜆<0)，试判断直线 𝑃𝑄 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

21. （2020·上海黄浦区·模拟）对于数列 {𝑎𝑛}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 {𝑎𝑛} 为 𝑃 数列．

(1) 若 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和 𝑆𝑛=3𝑛+2，试判断 {𝑎𝑛} 是否是 𝑃 数列，并说明理由．

(2) 设数列 𝑎1，𝑎2，𝑎3，⋯，𝑎10 是首项为 −1，公差为 𝑑 的等差数列，若该数列是 𝑃 数列，求 𝑑 的取值范围．

(3) 设无穷数列 {𝑎𝑛} 是首项为 𝑎，公比为 𝑞 的等比数列，有穷数列 {𝑏𝑛}，{𝑐𝑛} 是从 {𝑎𝑛} 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 𝑇1，𝑇2，求 {𝑎𝑛} 是 𝑃 数列时 𝑎 与 𝑞 所满足的条件，并证明命题“若 𝑎>0 且 𝑇1=𝑇2，则 {𝑎𝑛} 不是 𝑃 数列”．

答案

1. 【答案】 (−1,3)

【解析】因为 𝐴={𝑥∣ −1<𝑥<2}，𝐵={1<𝑥<3}，

所以 𝐴∪𝐵=(−1,3)．

【知识点】交、并、补集运算

2. 【答案】 −1

【解析】因为 𝑧=(𝑎−i)(1+i)=(𝑎+1)+(𝑎−1)i 为纯虚数，

所以 {𝑎+1=0,𝑎−1≠0,

即 𝑎=−1．

【知识点】复数的乘除运算

3. 【答案】 4

【解析】抛物线 𝑥2=8𝑦，所以 𝑝=4，抛物线 𝑥2=8𝑦 的焦点到准线的距离是：4．

【知识点】抛物线的概念与方程

4. 【答案】 −56

【解析】 (𝑥2−1𝑥)8 的展开式通项为 𝑇𝑟+1=C8𝑟(𝑥2)8−𝑟(−1𝑥)𝑟=(−1)𝑟C8𝑟𝑥16−3𝑟，

令 16−3𝑟=1，可得 𝑟=5，

所以在 (𝑥2−1𝑥)8 的展开式中，𝑥 的系数是 (−1)5C85=−56．

【知识点】二项式定理的通项

5. 【答案】 −247

【解析】因为 𝜃 为第二象限的角，sin𝜃=35，

所以 cos𝜃=−√1−sin2𝜃=−45，

所以 tan𝜃=sin𝜃cos𝜃=−34，

则 tan2𝜃=2tan𝜃1−tan2𝜃=−247．

【知识点】二倍角公式

6. 【答案】 2π3

【解析】由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长 2π，半径为圆锥的母线长为 3，

由弧长公式有圆心角为 2π3，

故所求扇形的圆心角为 2π3．

【知识点】弧度制

7. 【答案】 43

【解析】根据题意，设等比数列 {𝑎𝑛} 的公比为 𝑞，

若 𝑎2𝑎3=𝑎4，𝑎5=16，则有 {𝑎1𝑞×𝑎1𝑞2=𝑎1𝑞3𝑎1𝑞4=116.

解可得 𝑎1=1，𝑞=12，

则数列 {𝑎2𝑛−1} 的首项为 𝑎1=1，其公比为 𝑞2=14，

则数列 {𝑎2𝑛−1} 的所有项和 𝑆=11−14=43；

故答案为：43．

【知识点】等比数列的前n项和

8. 【答案】 144

【解析】根据题意，分 2 步进行分析：

①、将 2 名女生全排列，有 A22=2 种情况，排好后，有 3 个空位，

②、从 4 位男生中选 2 位，看成一个整体，考虑其顺序，有 C42A22=12 种情况，再将这个整体与其他 2 名男生全排列，安排在女生的 3 个空位中，有 A33=6 种情况，

则一共有 2×12×6=144 种排法．

【知识点】条件排列模型

9. 【答案】 90°

【解析】设双曲线的方程为 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，

设 𝑀(𝑚,𝑛) 在第一象限，𝐴(−𝑎,0)，𝐵(𝑎,0)，

由题意可得 ∣𝐴𝐵∣=∣𝐵𝑀∣=2𝑎，∠𝑀𝐵𝐴=120∘，

则 𝑚=2𝑎cos60∘+𝑎=2𝑎，𝑛=2𝑎sin60∘=√3𝑎，

即 𝑀(2𝑎,√3𝑎)，可得 4𝑎2𝑎2−3𝑎2𝑏2=1，

即为 𝑎=𝑏，则双曲线的渐近线方程为 𝑦=±𝑥，

可得两条渐近线的夹角为 90∘．

【知识点】双曲线的简单几何性质