2019-2020学年上海市黄浦区高三年级一模考试数学试卷
- 格式：docx
- 大小：1002.21 KB
- 文档页数：9
2019-2020学年上海市黄浦区高三年级一模考试数学试卷
2020.01
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合{|(1)(2)0}Axxx，集合{|13}Bxx，则ABU
【答案】(1,3)
【解析】由题集合{12}Ax，集合{|13}Bxx，所以(1,3)ABU
2. 已知()(1)zaii（aR，i为虚数单位）为纯虚数，则a
【答案】1
【解析】由题复数(1)(1)zaai，为纯虚数，即11a，所以1a
3. 抛物线28xy的焦点到准线的距离为
【答案】4
【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x，易得焦点到准线的距离为4
4. 281()xx的展开式中4x的系数为
【答案】70
【解析】由题二项式展开中含4x的项为444248170Cxxx，故4x的系数为70
5. 设为第二象限的角，3sin5，则tan2的值为
【答案】247
【解析】由为第二象限的角，3sin5可得3tan4，所以22tan24tan21tan7
6. 母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为
【答案】2π3
【解析】由底面半径为1可知圆锥展开图中的弧长为2，展开图中半径为3，由Lr得23
7. 若无穷等比数列{}na满足：234aaa，5116a，且naR（*nN），
则数列21{}na的所有项的和为
【答案】 43 【解析】由234aaa，5116a可得111,2aq，所以 数列21{}na的所有项的和为212(1)4lim13nnaqSq，故答案为43
8. 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是
（结果用数字作答）
【答案】144
【解析】由题：23432144PP
9. 已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角
为120o，则E的两条渐近线的夹角为
【答案】π2
【解析】由题意可知::1:1:3,2,3,ABBMAMMaa代入双曲线方程得2222431,,aaabab则渐近线方程为yx，故夹角为π2。
10. 已知函数()yfx与()ygx的图像关于直线yx对称，
若2()log(22)xfxx，则满足2()log3()fxgx的x的取值范围是
【答案】2(0,log15)
【解析】22223()log(22)log3log(22)log02xxxfxxx
由题意得2()log(22)xfxx单调递增，故反函数单调递增，22(log3)log15f，
112222log3()log3(log15)()log15gxffxx
11. 设函数()yfx的定义域为D，若对任意的1xD，总存在2xD，使得
12()()1fxfx，则称函数()fx具有性质M，下列结论：① 函数3yxx具有性质M；
② 函数35xxy具有性质M；③若函数8log(2)yx，[0,]xt具有性质M，则
510t；④若3sin4xay具有性质M，则5a；其中正确结论的序号是
【答案】②③
【解析】①函数3yxx，由于(0)0f，故不成立
②函数35xxy值域(0,)，所以具有性质M ③函数8log(2)yx，[0,]xt单调递增，1(0)3f，故()3510ftt
④若3sin4xay具有性质M，则5a，故不成立
12. 已知正六边形123456AAAAAA的边长为2，点是P该正六边形上的动点，
记12APAPuuuruuur2334455661APAPAPAPAPAPAPAPAPAPuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，
则的取值范围是
【答案】[30,36]
【解析】以正六边形的中心为坐标原点建立坐标系，123(1,3),(1,3),(2,0),AAA
456(1,3),(1,3),(2,0)AAA，设(,3),(11)Pxx，
12APAPuuuruuur2334455661APAPAPAPAPAPAPAPAPAPuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2630x，故的取值范围是[30,36]
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 方程2153xx的解集是（ ）
【A】{2}
【B】{2,2}
【C】{1,1}
【D】{i,i}
【答案】B
【解析】2235,2xx，解集是{2,2}
14. 将函数sin(4)3yx的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3个
单位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为（ ）
【A】12x
【B】16x
【C】4x
【D】2x 【答案】A
【解析】横坐标伸长为原来的2倍，sin(2)3yx，向右平移3个
单位，sin2()sin2633yxx，对称轴为5,1,12212kxkx
15. 若函数()fx的定义域为R，则“()fx是偶函数”是“(||)()fxfx对一切xR恒成立”的（ ）
【A】充分不必要条件
【B】必要不充分条件
【C】充分必要条件
【D】既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若()fx是偶函数，则()()()fxfxfx
必要性：若()()()fxfxfx，则()()fxfx，定义域为R，即偶为偶函数。
16. 设曲线E的方程为22491xy，动点(,)Amn、(,)Bmn、(,)Cmn、(,)Dmn在
E上，对于结论：① 四边形ABCD的面积的最小值为48；② 四边形ABCD外接圆的面
积的最小值为25；下面说法正确的是（ ）
【A】①错②对
【B】①对②错
【C】①②都错
【D】①②都对
【答案】D
【解析】由题意可知22491,mn
22491636163644248ABCDnmnmSmnmnmnmnmn，当且仅当46nm时等号成立，故①正确；
222222222249941325mnmnmnmnnm，当且仅当23nm时等号成立，
2222minmin,S25,rmnmn故②正确
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在三棱锥PABC中，已知PA、PB、PC两两垂直，3PB，4PC，
且三棱锥PABC的体积为10.
（1）求点A到直线BC的距离；
（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB、
AD所成角大小（结果用反三角函数值表示）.
【答案】（1）7695
（2）35arccos25
【解析】（1）因为PAPBPAPC，，PBPCP，所以AP平面PBC， ……1分
由11(34)1032PABCVAP，可得5AP． ………………………………………3分
过P作PEBC于E，连AE，由AP平面PBC，可得,APPEAPBC，
由BCPE，BCAP，可知BC平面APE，故BCAE，………………………4分
又125PE=，所以22127695()55AE，
所以点A到直线BC的距离为7695．………6分
（2）设F为棱PC的中点，连,DFAF，由,DF
分别是棱,BCPC的中点，可得DF∥PB，所以
AD与DF的夹角即为异面直线PB与AD所成
的角． ……………………………………8分
因为AP平面PBC，所以APPD，
又1322FDPB，2229AFAPPF+，2222555()522ADAPPD+，
所以22235cos225ADDFAFADFADDF+， …………………………………………12分
故异面直线,PBAD所成的角为35arccos25． ………………………………………14分
18. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos(2)cosaCbcA.
（1）若3ABACuuuruuur，求△ABC的面积；
（2）若BC，求222coscosBC的取值范围.
【答案】（1）332 （2）39(,)44
【解析】（1）由cos(2)cosaCbcA，可得sincos(2sinsin)cosACBCA，……1分
即sin()2sincosACBA，故sin2sincosBBA， 又sin0B，故1cos2A，因(0,π)A，故π3A．
……………………………4分
因为3ABACuuuruuur，所以πcos33cb，得6bc， ……………………………………6分
△ABC的面积为13sin322bcA． ……………………………………………………8分
（2）由π3A，可得2π3BC，
所以221cos22coscos1cos22CBCB …………………………………9分
34π133cos(2)cos2sin223222CCC， ………………………………11分
又BC，故π2π(,)33C，即2π4π2(,)33C，所以33sin2(,)22C，
所以22coscosBC3339sin2(,)2244C．
即222coscosBC的取值范围是39(,)44． …………………………………………14分
19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数240(0.60.6)xxy（[0,12]x），其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：
（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；
（2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）
【答案】（1）见解析 （2）2.40小时
【解析】（1）令0.6xt，则2240(0.60.6)40()xxytt，……………………2分
240(0.5)1010yt，当且仅当0.5t，即0.6log0.5[0,12]x时，10y，
