现代控制理论作业题答案

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精品资料 第九章 线性系统的状态空间分析与综合

9-1 设系统的微分方程为

uxxx23

其中u为输入量，x为输出量。

⑴ 设状态变量xx1，xx2，试列写动态方程；

⑵ 设状态变换211xxx，2122xxx，试确定变换矩阵T及变换后的动态方程。

解：⑴ uxxxx1032102121，2101xxy；

⑵ 2121xxTxx，2111T；11121T；ATTA1，BTB1，CTC；

得，2111T；uxxxx1110012121，2111xxy。

9-2 设系统的微分方程为

uyyyy66116

其中u、y分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A为友矩阵)及可观标准型(即A为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。

解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，

xyuxx0061006116100010；xyuxx1000066101101600；

可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，

9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x、2x、3x。试求动态方程，并画出状态变量图。

解：由图中信号关系得，31xx，uxxx232212，32332xxx，1xy。动态方程为

uxx020120302100，xy001；

状态变量图为 6 6 11 s-1 s-1 s-1 6 3x 2x 1x 1x u

- y

6 11 6 s-1 s-1 s-1 6 3x 2x 1x 1x u

- y - - 2x 3x

32s

)1(2ss

s X1(s)=Y(s) X2(s)

X3(s) - - U(s) ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料

9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程

23213213212161162uxxxxuuxxuxx，32122112xxxyxxy，

写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。

解：状态方程 uxx1012016116100010，xy112011；

状态变量图为

9-5 已知系统传递函数为

3486)(22sssssG，

试求出可控标准型(A为友矩阵)、可观标准型(A为友矩阵转置)、对角型(A为对角阵)动态方程。

解：135.015.113452)(2ssssssG；可控标准型、可观标准型和对角型依次为

uxyuxx25104310；uxyuxx10254130；uxyuxx115.05.13001。

9-6 已知系统传递函数为

)2()1(5)(2sssG，

试求约当型(A为约当阵)动态方程。

解：2)1(5)1(525)(ssssG；uxx555100110002，xy011。

9-7 已知系统的状态方程为

uxx111101， - y - - 2x 3x 1x u 2x 3x

3 2 s-1 2 s-1 s-1

3

2

s-1 s-1 s-1

6 2

11 3x 1x 1x

-

y1 2x u2

y2 - u1

x2 x3

- - ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 初始条件为1)0(1x，0)0(2x。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解法1：

ttteteessLt01101)(11；

tttttttttttttteeteeteedeeteeteex212111)(00100。

解法2：

ssssssssssxsBuAssx21)1(111)1(11)1(1)}0()({)I()(22221；

ttteesxLx212)]([1。

9-8 已知系统的状态转移矩阵

tttttttteeeeeeeet222232332223)(，

试求该系统的状态阵A。

解：4321)(0ttA。(注：原题给出的)(t不满足A)0(及AttAt)()()(。)

9-9 已知系统动态方程

uxx210311032010，xy100，

试求传递函数)(sG。

解：BAsCsG1)I()(，

210231503620396710021031103201100)(22231sssssssssssssssG；

67372)(32sssssG。

9-10 试求所示系统的传递函数矩阵。

uxx1012016116100010，xy112011。

解：2222311611666161166116161161001)I(sssssssssssssssAs； ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 1012016116661611611201161161)(22223sssssssssssssG；

442845429461161)(22223ssssssssssG。

9-11 已知差分方程

)(3)1(2)(2)1(3)2(kukukykyky，

试列写可控标准型(A为友矩阵)离散动态方程，并求出1)(ku时的系统响应。给定0)0(y，1)1(y。

解：系统的脉冲传递函数为

2332)(2zzzzG，1)(zzzU；)(10)(3210)1(kukxkx，)(23)(kxky。

)2(32)1(2)1(65)2)(1)(1(32)}0(3)1()0()(){()(232zzzzzzzzzzzyzyzyzUzGzY；

322)1(65)(1kkky。

9-12 已知连续系统动态方程为

uxx102010，xy01，

设采样周期sT1，试求离散化动态方程。

解：设)()(kutu，TktkT)1(；

)2/(10)]2(/[1/1201)(11ssssssAsI，tteet220)1(5.01)(；

220)1(5.01)(eeT，)1(5.0)3(25.010)(220eetdtTT；

)()1(5.0)3(25.0)(0)1(5.01)1(2222kueekxeekx，)(01)(kxky。

9-13 判断下列系统的状态可控性：

⑴ uxx100041020122； ⑵ uxx010110010011；

⑶ uxx011000010010011； ⑷ uxx121100040004； ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 ⑸ uxx11100000000000012111； ⑹ uxx11000000000100012111。

解： ⑴

101000210U，nU2rank； 状态不完全可控；

⑵

210111210U，nU2rank； 状态不完全可控；

⑶

1101101010001U，3rank1U； 状态完全可控；

⑷

11132821641U，nU2rank； 状态不完全可控；

⑸

3222231211312112111113210U，nU3rank； 状态不完全可控；

⑹

322223121121111132103100U，4rankU； 状态完全可控；

9-14 已知bcad，试计算100dcba？

解：矩阵A的特征方程为 0)()(2sdass， 据凯莱哈密尔定理得知：