相似三角形的判定方法

(一)相似三角形

1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；

③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

（双A型）

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC ,

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来！ 蒋老师

1 第3讲 相似三角形的判定(A)

姓名：____________

【基础知识精讲】

(一)相似图形：(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(二)相似多边形对应角相等，对应边成比例；

相似多边形对应边的比叫做相似比（用k表示）；（当k=1时两个多边形全等；）

（三）相似三角形的概念：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．

相似三角形对应角相等，对应边成比例；

注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相

似三角形的对应角和对应边．

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

（四）三角形相似的等价关系与三角形相似判定的预备定理：

(1)相似三角形的等价关系：

①反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC．

②对称性：若ABC∽'''CBA，则'''CBA∽ABC．

③传递性：若ABC∽CBA''，且CBA''∽CBA，则ABC∽CBA

(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

用数学语言表述是：BCDE//， ∴ ADE∽ABC．

（五）三角形相似的判定方法

1、平行法（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

相似三角形的判定

1.如图，锐角ABC的高CD和BE相交于点O，图中

与ODB相似的三角形有 （ ）

A 4个 B 3个 C 2个 D 1个

2.如图，在ABC中，CABC2，BD平分ABC，

试说明：AB·BC = AC·CD

3.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 求证：ΔEAC∽ΔCBF

4.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.

求证:ΔABC∽ΔEAD.

5.、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.

(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；

(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.

6.如图，4531BCDEABDB，，，

（1）ABC∽ADE吗？说明理由。

（2）求AD的长。 A

E D

C B O

7.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:CE2=ED·EP.

8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.

(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

9.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.

(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.

(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.

10.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:CE2=ED·EP.

知识点：相似三角形

1、 相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；

2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

直角三角形相似判定定理:

○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD²=AD·BD，

AC²=AD·AB，

BC²=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.