判定相似三角形的方法

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教学主题

三角形相似的判定、相似三角形性质

教学目标 掌握三角形相似的判定方法、相似三角形性质

重 要

知识点 1.三角形相似的判定方法

2.相似三角形性质

3.

教学过程

相似三角形的判定

1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．

3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．

5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．

知识点一、平行线分线段成比例定理 2

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

知识点二、相似三角形的判定 3 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．

确定三角形相似的方法：测量、比较与特殊情况

确定两个三角形是否相似，我们可以按照以下步骤进行：

1. 找到两个三角形，并测量它们的对应角。如果所有对应角都相等，那么这两个三角形相似。

2. 如果对应角不相等，则可以尝试测量它们的对应边长。如果对应边长的比值相等，那么这两个三角形也相似。

3. 如果对应角和对应边长都不相等，那么这两个三角形不相似。

4. 另外，我们也可以使用一些特殊情况来判定三角形是否相似：

5. 如果两个三角形都是直角三角形，并且它们的锐角或直角相等，那么这两个三角形相似。

6. 如果两个三角形都是等腰三角形，并且它们的底角相等，那么这两个三角形相似。

7. 如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形相似。

8. 总的来说，确定两个三角形是否相似需要仔细测量和比较它们的对应角和对应边长。同时，也要注意一些特殊情况下的判定方法。

(一)类似三角形之杨若古兰创作

1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做类似三角形．

①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做类似三角形，即定义中的两个条件，缺一不成；

②类似三角形的特征：外形一样，但大小纷歧定相等；

③类似三角形的定义，可得类似三角形的基赋性质：对应角相等，对应边成比例．

2、类似三角形对应边的比叫做类似比．

①全等三角形必定是类似三角形，其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其区别在于全等请求对应边相等，而类似请求对应边成比例．

②类似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即类似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的类似比，当它们全等时，才有k=k′=1．

③类似比是一个主要概念，后继进修时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助类似三角形可观察得出．

3、如果两个边数不异的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做类似多边形． 4、类似三角形的豫备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形类似．

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号说话：

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

（双A型）

②这个定理是用类似三角形定义推导出来的三角形类似的判定定理．它不单本人有着广泛的利用，同时也是证实类似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“豫备定理”；

③有了豫备定理后，在解题时不单要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想类似”．

(二)类似三角形的判定

1、类似三角形的判定：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形类似.可简单说成：两角对应相等，两三角形类似.

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． 例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC ,

相似三角形的判定公式有两种，分别是AA判定和边长比判定。

1. AA判定（Angle-Angle Criterion）：

如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

具体表达式为：如果∠A₁ = ∠A₂ 且 ∠B₁ = ∠B₂（或 ∠A₁ = ∠B₂ 且 ∠B₁ =

∠A₂），其中 A₁B₁C₁ 和 A₂B₂C₂ 是两个三角形的顶点标记，那么三角形 A₁B₁C₁ 和

A₂B₂C₂ 是相似的。

2. 边长比判定（Side-Length Ratios）：

如果两个三角形的对应边长度之比相等，则这两个三角形是相似的。

具体表达式为：如果 A₁B₁ / A₂B₂ = B₁C₁ / B₂C₂ = A₁C₁ / A₂C₂，其中 A₁B₁C₁ 和 A₂B₂C₂ 是两个三角形的顶点标记，且对应边的长度分别为 A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁ 和 A₂B₂、B₂C₂、A₂C₂，那么三角形 A₁B₁C₁ 和 A₂B₂C₂ 是相似的。

这些判定公式可以用于判断给定三角形是否相似。请注意，在使用边长比判定时，要确保对应边之间的比值是相等的，而不仅仅是单个边的比值相等。