2018年甘肃省兰州市高三第一次诊断考试文科数学试题及

兰州市高三第一次诊断考试数学（文科）试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1. 已知集合}0)3(|{xxxP，}2|||{xxQ，则QP ( )

A．)0,2( B．)2,0( C．)3,2( D．)3,2(

2. i是虚数单位,复数31ii= ( )

A． 2i B．12i C．i21 D．2i

3.已知等差数列{}na中，37101140,4aaaaa，记12nnSaaa，S13=( )

A．78 B．68 C．56 D．52

4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A．63 B．343 C．3433 D．633

5.设3212a=log2b=log3c=log5，，,则（ ）

A．c﹤b﹤a B．a﹤c﹤b C. c﹤a﹤b． D．b﹤c﹤a

6. 已知,是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若，则mm,； ②若//,////,,则，nmnm；

③如果与是异面直线，那么、nnmnm,,相交；

④若.////,//,nnnnmnm且，则，且

其中正确的命题是 （ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

7. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是axy31：，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则实数a的值是（ ）

A. 161 B. 81 C. 41 D. 21

8．已知双曲线22221xyab (0,0)ab的左、右焦点分别为12,FF，以12||FF为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）

A．221169xy B．22134xy C．221916xy D．22143xy

9. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S为( )

(A)3 (B)43

(C)12 (D)－2

(第10题图)

10设,xyR,1,1ab，若2xyab，24ab，则21xy的最大值为( )

A．1 B．2 C．3

D．4

11.如图，矩形nnnnDCBA的一边nnBA在x轴上，另外

两个顶点nnDC,在函数)0(1xxxxf的图象上

.若点nB的坐标),2(0,Nnnn，

记矩形nnnnDCBA的周长为na，

则1032aaa（ ）

A．208 B.216 C.212 D.220 （第11题图）

12. 设()fx的定义域为D，若()fx满足下面两个条件则称()fx为闭函数：①()fx是D上单调函AnDnBnOxyCn

数；②存在[,]abD，使()fx在[,]ab上值域为[,]ab. 现已知()21fxxk为闭函数，则k的取值范围是（ ）

A．112k B．112k C．1k D．1k

第Ⅱ卷 （90分）

二、 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若等比数列{}na的首项是1a，公比为q，nS是其前n项和，则nS=_____________.

14．如果实数x，y满足条件10010xyxy－＋≥y＋1≥＋＋≤，

那么目标函数z＝2x－y的最小值为____________.

15．如图，过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线l依次交抛物线

及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。

16.函数))(2(log)(1Nnnnfn，定义使(1)(2)(3)()ffffk为整数的数)(Nkk 叫做企盼数，则在区间[1，2018]内这样的企盼数共有 个

三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）已知ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，向量 m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.

（1）求角B的大小；

（2）若3b，求ca的范围

18（本小题满分12分）公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表：．

X 0,20 20,40 40,60 60,80 80,100 100,

人数 t 1 2 1 1 1

依据上述材料回答下列问题：

(1)求t的值：

(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率

19.（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，

PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，

ABAD，//ABCD，

222,ABADCDE是PB的中点。

BACDEP

（1）求证:EC//平面PAD

（2）求证：平面EAC平面PBC

20．（本小题满分l2分）设椭圆)0(12222babyax的焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，直线l：2ax交x轴于点A，且122AFAF．

（1）试求椭圆的方程；

（2）过1F、2F分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示） 试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

21.（本小题满分12分）

已知函数121,ln2bxaxxgxxf，

（1）当0a且1b时，证明：对0x，xgxf；

（2）若2b，且xgxfxh存在单调递减区间，求a的取值范围；

（3）数列na，若存在常数0M，Nn，都有Man，则称数列na有上界。已知nbn1211，试判断数列nb是否有上界．

四、选做题：

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，ABC是直角三角形，90ABC，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.

（1）求证：O、B、D、E四点共圆；

（2）求证：ABDMACDMDE22

23.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为sincos3yx（为参数），直线l的极坐标方程为22)4cos(.

（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

(1) 已知x、y都是正实数，求证：2233xyyxyx； O A

B D C E

M

(2) 如果关于x的不等式2()(2)fxax≥在R上恒成立，求实数a的取值范围．

数学（文科）答案

（仅供参考）

一、选择题：1——6 D A D D C D 7——12 B C C B B A

二、填空题：

1311)1(111qqqaqnan 14 —3， 15 xy32，16 9

三、 解答题：

17.解：∵ m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.

∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0

∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0

即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

∴cosB=－1／2

∵0≤B≤180

∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）由余弦定理，得

accaaccaaccab222222)(32cos2

222)(43)2()(cacaca 当且仅当ca时，取等号.。。。。10分

4)2ca（ 2ca 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

又3bca ]2,3(ca 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）200-6=194 ……………4分

（Ⅱ）令酒后驾车的司机分别为ABC、、、D,醉酒驾车的司机分别为ab、

则所有抽取的可能为

(,)AB,(,)AC,(A,D)(,)Aa,(,)Ab,(B,D)(,),(,)BCBa,(,),(,),(,),(,)BbCaCbab

(C,D),(D,a),(D,b)

则含有醉酒驾车司机概率为53159……………12分

19（本小题满分12分）

（1） 作线段AB的中点F.连接EF,CF.则AF=CD AF∥CD

所以四边形ADCF是平行四边形

则CF∥AD

又EF∥AP 且CF∩EF=F

∴面CFE∥面PAD

又EC包含于面CEF

∴EC//平面PAD …………6分

（2）（Ⅰ）法一：几何方法证明：勾股定理→AC⊥BC，由已知得AC⊥PC，证出AC⊥平面PCB，得证.…………………………………………….6分

20（本题12分）

解：（1）由题意，212||22,(,0),FFcAa

212AFAF 2F为1AF的中点

2,322ba

即：椭圆方程为.12322yx …………………………………………(５分)