随机过程题库1
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随机过程综合练习题
一、填空题（每空3分）
第一章
1．nXXX,,21是独立同分布的随机变量，iX的特征函数为)(tg，则
nXXX21的特征函数是 。
2．)(YXEE 。
3． X的特征函数为)(tg，baXY，则Y的特征函数为 。
4．条件期望)(YXE是 的函数， （是or不是）随机变量。
5．nXXX,,21是独立同分布的随机变量，iX的特征函数为)(tgi，则
nXXX21的特征函数是 。
6．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。
第二章
7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为)10(pp，以)(nX记进行到n次试验为止A发生的次数， 则},2,1,0),({nnX是 过程。
9．正交增量过程满足的条件是 。
10．正交增量过程的协方差函数),(tsCX 。
第三章
11． {X(t), t≥0}为具有参数0的齐次泊松过程，其均值函数为 ；
方差函数为 。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1，2，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。
13．{X(t), t≥0}为具有参数0的齐次泊松过程， nsXstXP)()( 。,1,0n
14．设{X(t), t≥0}是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望是 。
15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。
16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or非齐次）泊松过程．
17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是 ．
第四章
18． 无限制随机游动各状态的周期是 。
19．非周期正常返状态称为 。
20．设有独立重复试验序列}1,{nXn。以1nX记第n次试验时事件A发生，且pXPn}1{，以0nX记第n次试验时事件A不发生，且pXPn1}0{，若有1,1nXYnkkn，则}1,{nYn是 链。
答案
一、填空题
1．)(tgn； 2．EX； 3．)(atgeibt 4．;Y是 5．niitg1)(； 6．等价
7．时间差； 8．独立增量过程；
9．0)()()()(3412tXtXtXtXE 10．}),(min{2tsX
11．tt;； 12．000)(11ttetft
000)()()(321321ttetft
13．tnent!)( 14．n 15．240000 16．复合； 17．4371e 18．2； 19．遍历状态； 20．齐次马尔科夫链；
二、判断题（每题2分）
第一章
1．)(tgi),2,1(ni是特征函数，niitg1)(不是特征函数。（ ）
2．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（ ）
3．任意随机变量均存在特征函数。（ ）
4．)(tgi),2,1(ni是特征函数，niitg1)(是特征函数。（ ）
5．设1234X,X,X,X是零均值的四维高斯分布随机变量，则有
1234123413241423()()()+()()+()()EXXXXEXXEXXEXXEXXEXXEXX（ ）
第二章
6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（ ）
7．独立增量过程是马尔科夫过程。（ ）
8．维纳过程是平稳独立增量过程。（ ）
第三章
9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（ ）
第四章
10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（ ）
11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（ ）
12．有限马尔科夫链，若有状态k使0lim)(niknp，则状态k即为正常返的。（ ）
13．设Si，若存在正整数n，使得,0,0)1()(niiniipp则i非周期。（ ）
14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（ ）
15．i是正常返周期的充要条件是)(limniinp不存在。（ ）
16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（ ）
17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（ ）
18．i是正常返周期的充要条件是)(limniinp存在。（ ）
19．若ij，则有ijdd（ ） 20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（ ）
答案
二、判断题
1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√
6．√ 7．√ 8．√ 9．×
10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√
16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√
三、大题
第一章
1．（10分）—（易）设),(~pnBX，求X的特征函数，并利用其求EX。
2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，
出现正面和反面的概率相等，求)(tX的一维分布函数)2/1,(xF和)1,(xF，)(tX的二维分布函数)1,2/1;,(21xxF。
3．（10分）—（易）设有随机过程0,)(tBtAtX，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求)(tX的一维和二维分布。
第二章
4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b，t∈(0,+∞), b为常数，V服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。
5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数B x(t1, t2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。
6．（10分）—（中）设}),({TttX是实正交增量过程，,0)0(),,0[XT是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一)(,0tXt都与相互独立，求),0[,)()(ttXtY的协方差函数。
7．（10分）—（中）设},)({tYtXtZ，若已知二维随机变量),(YX的协方差矩阵为2221，求)(tZ的协方差函数。
8．（10分）—（难）设有随机过程}),({TttX和常数a，试以)(tX的相关函数表示随机过程TttXatXtY),()()(的相关函数。
第三章
9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少
10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。
11．（15分）—（难）设X1(t) 和X2 (t) 是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数21的泊松过程。
12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
13．（10分）—（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为,2,1,0,!)(kekkpkt，其中0为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率)(2nPt
14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min
15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W≥2}．
16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min内没有车辆通过的概率为0.2，求2min内有多于一辆车通过的概率。
17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min
18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在[0，t]内得到的总手续费，求EX(t)与var X(t)
19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求 (1) 在5 min内到达顾客数的平均值；(2) 在5min内到达顾客数的方差；(3) 在5min内至少有一个顾客到达的概率．
20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率．
21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t) (t≥0)是强度分别为X和Y的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k个事件发生的概率为
