随机过程参考题

2014-2015随机过程参考题

一.判断题

1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ）

2．对于独立的随机变量1,,nXX，都有11nnkkkkEXEX． （ ）

3．若12(,,)nFxxx是随机向量1=,,)nXXX（的联合分布函数，则它对每个变量都是单调不减的． （ ）

4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ）

5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ）

6．参数为的泊松过程第n次与第1n次事件发生的时间间隔nX服从参数为n和n的分布． （ ）

7．复合Poisson过程一定是计数过程． （ ）

8．若随机变量X服从周期为d的格点分布，则对自然数n总有0PXnd．（ ）

9．设,ij是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ）

10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ）

11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ）

12．对独立的随机变量1,,nXX，都有11nnkkkkVarXVarX． （ ）

13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ）

14．若一个随机过程的协方差函数,st（）只与时间差ts有关，则它一定是宽平稳过程． （ ）

15．参数为的泊松过程中，第n次事件发生的时刻nT服从参数为的指数分布．（ ）

16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ）

17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ）

18．更新过程的更新函数Mt是t的单调不增函数． （ ）

19．马尔科夫链具有无后效性． （ ）

20．Poisson过程是更新过程． （ ）

具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ）

21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ） 22．参数为的泊松过程中，两次事件发生的等待时间服从参数为的指数分布。 （ ）

23．泊松过程具有独立增量性，但不一定有平稳增量性。 （ ）

24．随机变量X服从周期为d的格点分布，但不是所有的d的整数倍处都能取到。（ ）

25．更新过程的更新函数Mt是t的单调不增函数 。 （ ）

26．设,ij是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的常返性一样。 （ ）

二填空题.

1．设12,,XX是一列独立同分布的随机变量，N为一个非负整值随机变量，且与序列12,,XX独立，则1NiiEX ．

2．设XtYtZatb，其中Y和Z是相互独立的且均服从标准正态分布的随机变量，则随机过程,Xtatb的协方差函数12,tt ．

3．设,Xtt为一平稳过程，均值为，如果1lim2TTTXtdtT，则称该随机过程 ．

4．设N,t0t是参数为的泊松过程，则Nt服从均值为_______的泊松分布．

5．设N,t0t是参数为的泊松过程，则对0t，当0h时，有 =1PNthNt_____________．

6．设X,1,2,nn是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为Fx，则由其所定义更新过程,0Ntt的更新函数Mt_________________（分布函数表示）．

7．设12,,XX是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，,0Ntt是由该随机变量序列所定义的更新过程，则第1Nt次更新发生时刻的期望1NtET_________．

8．设,0,1,nXn为离散时间的马氏链，则对010,,,,,nnijii，有11100,,,nnnnPXjXiXiXi____________________．

9．设,0,1,nXn为离散时间的时齐马氏链，状态空间为S，则状态i到j的mn步转移概率mnijp____________________（C-K方程）．

10．状态i为常返的当且仅当 ；状态i为非常返状态时有 ．

11.设随机变量X服从参数为的指数分布，则X的期望为 ．

12． ．

13．设0= ()XtXtVatb，其中0X和V是相互独立且均服从0,1N分布的随机badFx变量，则它的均值函数为 ，协方差函数12tt（,）= ．

14．设,0Ntt是参数为的泊松过程，则()NtNs服从参数为_______的泊松分布．

15.称随机过程,t0Xt为复合泊松过程，如果对于t0，Xt可表示为：

式中，,0Ntt是一个泊松过程，,1,2,iYi是一族独立同分布的随机变量，并且与,0Ntt独立。

16．设X,1,2,nn是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为Ft，则由其所定义更新过程,0Ntt的更新函数Mt_________________________．

17．若12XX，，是独立同分布的随机变量，设[](1,2,)iEXi，则12()1[]NtEXXX

18．随机过程X,1,2,nn称为马尔科夫链，若它只取有限或可列个值，并且对任意的0n及任意的状态011,,,,,nijiii，1111100,,,,nnnnPXjXiXiXiXi____________________．

19．非周期的正常返状态称为__________________．

20．离散时间马氏链中的转移矩阵中，ijjSp__________________．

21.设{,1,2,}nAn为一集合序列，则limsupnnA ，liminfnnA ．

22.若X是F可测的，则()EXF .

23．设,0,1,2,nXXn是平稳序列，其协方差函数为()，则X的均值具有遍历性的充分必要条件是 ．

24．设,0Ntt是参数为的泊松过程，则[]ENt ____ ___．

25．设X,1,2,nn是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为Fx，则,0Ntt由其所定义更新过程，则=PNtn _________________（其中nF是F的n重卷积）．

26．设12,,XX是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，,0Ntt是由该随机变量序列所定义的更新过程，Mt为其更新函数，=()nEX，则 _________． ()limtMtt27．设马氏链的一步转移概率矩阵()ijPp，n步转移矩阵()()()nnijPp，二者之间的关系为 ．

三 计算题

1．设顾客以每分钟2人的速率到达商场，这一过程可用泊松过程来描述，进入商场的每位顾客的消费额服从均值为200元的正态分布，求：

（1）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率；

（2）商场一个小时的平均营业额．

2．设某控制器用一节电池供电，电池寿命iX服从均值为5小时的正态分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间iY服从期望为0.5小时的均匀分布．求长时间工作时，控制器更换电池的速率．

3．设马氏链的状态空间为0,1,2,S，转移概率为0012p，,112iip，012ip，iS.试写出：

（1）画出各状态的概率转移图；

（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的．

4．设随机变量X服从参数为的指数分布，即密度函数为：

试利用矩母函数求它的期望和方差。

5.设12=cossinXtZtZt，其中12ZZ，是独立同分布的随机变量，服从均值为0，方差为2的正态分布，为实数。求过程{, }XttT的均值函数与方差函数，并讨论它的宽平稳性。

6. 设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是2（人/分）的泊松过程，试求：

（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；

（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率；

（3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

7.设有一个单服务员银行，顾客到达可看做速率为的泊松分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为1的指数分布。顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进, 0()0, 0xexfxx来。试求：

（1）顾客进银行的速率；

（2）服务员工作的时间所占营业时间的比例。

8．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率.

9．考虑离散时间的更新过程,(0,1,2,)Nnn，在每个时间点独立地做伯努利试验，设试验成功的概率为p，失败的概率为1qp，以试验成功作为更新事件，并以()Mn记此过程的更新函数，求其更新率