《常微分方程》第五章练习题

第五章常微分方程习题

第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法

1.

xy dx

dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解.

2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解.

3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5．

x y

dy e

dx

-=

答案

1．通解2

x y ce =；特解2

x y e = 2．通解1ln 1y c x

=

++；另有解0y =；特解11ln 1y x

=

++

3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln

y cy

x +=

5．y x e e c =+

§2 一阶线性微分方程

1．（1）（ ）是微分方程。

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（2）（ ）不是微分方程。

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

2.求微分方程的通解 ；（2）。

（1）

3.求微分方程的特解

（1）；（2）

4．解下列微分方程

；（2）；

（1）

答案1．(1)B；(2)C

2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。

4．(1)； (2)y=Csinx；

§3 二阶常系数线性微分方程

1.求下列微分方程的通解

；（2）；

（1）

（3）

（5）

2.求微分方程的特解

3.求下列微分方程的通解

（1）

； （2） ；

（3）

； （4）

。

4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0

2x y

==和01x y ='=的特解

5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解

6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解

7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解

答案

1.(1) ； (2)

；

(3)

习题5.1

1.给定方程组

x‘=0110－x x=21xx （*）

a)试验证u(t)=ttsincos,v(t)=ttcossin分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=01, v(0)=10的解.

b)试验证w(t)＝c1u(t)+c2v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=21cc的解，其中21,cc是任意常数.

解：a) u(0)=0sin0cos=01

u'(t)=ttcossin=0110sincos0110ttu(t)

又 v(0)=0cossino=10

v'(t)=ttsincos= 0110－ttcossin=0110－v(t)

因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.

b) w(0)=1cu(0)+2cu(0)= 1c01+2c10=21cc

w'(t)= 1c u'(t)+ 2c v'(t)

= 1cttcossin+2cttsincos

=tctctcsincoscossintc2121－ =0110－tctctctccossinsincos2121

=0110－w(t)

因此 w(t)是给定方程初值问题的解.

2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：

a) x’‘+2x‘+7tx=et－,x(1)=7, x‘(1)=-2

常微分⽅程习题及评分标准答案

常微分⽅程分项习题

⼀、选择题（每题3分） 第⼀章：1．微分⽅程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ）

（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第⼆章：2．下列是⼀阶线性⽅程的是（ ）

（A ）2dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx

-+= （C ）22(

)0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx

= 3．下列是⼆阶线性⽅程的是（ ）

（A ）222d y dyx

x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2

(1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx

=

4．下列⽅程是3阶⽅程的为（ ）

（A ）'23y x y =+ （B ）3(

)0dy xy dx

+= （C ）3223()0dy d y

x y dx dx

+-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分⽅程43(

)()0dy dy dy

x dx dx dx

+-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

6．⽅程2342()20dy d y

x y dx dx

+-=的阶数为（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对⽅程dy x y

dx x y

-=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）⽅程为齐次⽅程

（B ）通过变量变换yu x=

可化为变量分离⽅程 （C ）⽅程有特解0y =

（D ）可以找到⽅程形如y kx =的特解(1y x =- 8．针对⽅程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）．

（A ）为⼀阶线性⽅程

（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离⽅程 （C ）⽅程有特解12y x π

=++

常微分方程第五章测试卷(3)

班级__________姓名__________学号________得分__________

一、 填空（每空3分，共30）

1、若A是n*n常数矩阵，则矩阵指数expA=

2、在用皮卡逐步逼近法求方程组)(),()(0txxfxtAx的近似解时，若取)(00t，则)(tk

3、方程组'()xAtx的n个解12(),(),,()nxtxtxt线性无关的充要条件是 。

4、我们称 为'()xAtx的一个基本解组。

5、'()xAtx一定存在一个基解矩阵()t，如果()t是'()xAtx的任一解，那么 。

6、若()t是'()xAtx的基解矩阵，则向量函数()t=

是'()()xAtxft的满足初始条件0()0t的解。

7、若12(),(),()atatft是,ab上的连续函数，12(),()xtxt是方程"'12()()0xatxatx的两个线性无关解，则"'12()()()xatxatxft的通解为： 。

8、若()t是常系数线性方程组'()xAtx的基解矩阵，则exPAt

。

9、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量12,,,nvvv，它们对应的特征值分别是12,,,n，那么矩阵()t= 是常系数线性方程组'()xAtx的一个基解矩阵。

10、若()t是'()xAtx的基解矩阵，则'()()xAtxft满足0()xt的解()t= 。

二、 计算（每题14分，共56分）

1、试用逐步逼近法求方程组

'0110xx 12xxx