常微分方程自学练习题
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常微分方程自学练习题
常微分方程自学习题及答案
一 填空题:
1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.
3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.
4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.
5 方程
21y dx
dy
-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______
7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12
求解方程
y x dx
dy
/-=的解是( ). 13已知(0)()32
2
2
=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.
14
=+=0
)0(22y y x dx
dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652
=+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ).
16方程5
34
y x y dx dy =++??
的阶数为_______________.
17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组
Y =)(x A dx
dy
的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x
u =??， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-??，
T
)(),(),(1t v t L u t L x
u
k =-??，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数 未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”）
21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：
+??+??+?
+??+??
y
u y x e x u y x d u
y x c y
x u
y x b u
y x a y
x
),(),(),(),(2),(2
2
2
2
2
),(),(y x g u y x f =，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y),
d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y ）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中y
x u y x c y x u
y x b u
y x a 2
2
222),(),(2)
,(?+??+
称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数a,b,c 作成的判别式△=b 2-ac 在区域Ω中的某点（x 0,y 0）大于零，则称方程在
点（x 0,y 0）是 型的；如果△=0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的；如果△<0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”） 二 单项选择:
1 方程y x dx
dy
+=-31
满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面
(B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程 1+=y dx
dy ( ) 奇解.
(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).
(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x
e y = 4 方程x e y y x
==-''的一个特解*y 形如( ).
(A)b ae x
= (B)bx axe x
+ (C)c bx ae x
++ (D)c bx axe x
++ 5 )(y f 连续可微是保证方程
)(y f dx
dy
=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要
(D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
7 方程32
3y dx
dy
=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题 ??=10'x
01x ,
-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ). (A) ??-t t u
t )( (B) ???? ??-=t e u t )( (C) ???? ??-=e t u t )( (D) ???
-=e e u t )(
9 方程 0cos 2=++x y x dx
dy
是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程
（C)超越方程 (D)二阶线性方程
10 方程032
=+?
dx dy dx dy 的通解是( ). (A)x
e
C C 321+ (B) x
e
C x C 321-+ (C)x
e
C C 321-+ (D)x
e
C 32-
11 方程0442=++??
y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).
(A) x
e
x 2,- (B)x
e
2,1- (C)x
e
x 22,- (D)x x
xe e
22,--
12 若y1和y2是方程0)()(2 =++??
y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数）
(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解
(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程
21y dx
dy
-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞
(C)),0[+∞ (D)]2
,2[π
π- 14 方程x
e y x y -=2
3'是( ) .
(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程
01
=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c x
y +=1
(D)c x y +=
16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y
(B)x y = (C)x y sin = (D)x
e y = 17 方程x e y y x
+=-''的一个数解x
y 形如( ).
(A) b ae x
+ (B)bx axe x
+ (C)c bx ae x
++ (D)c bx axe x
++ 18 初值问题 ??10'x
-=
11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)???? ??-=t t u t )
( (B)???? ??=-t e u t t )( (C)???? ??-=-t t e t u )( (D) ???
-=--t t t e e u )(
三 求下列方程的解:
1 求下列方程的通解或通积分:
(1)ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +??
-=2
1 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx
(5)3
)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01
)4()
5(=-x t
x 3 解方程:
x y dx
dy
cos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: x y
tg x y dx dy +=
5求方程: 26xy x
y
dx dy -=的通解
6 求0)46()63(3
2
2
2
=+++dy y y x dx xy x 的通解.
7 求解方程: 022244=++x dt x
