空间向量及其运算讲义
一、知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a| a21＋a22＋a23
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23
§8.5 空间向量及其运算
1.空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
推论 如图所示，点P在l上的充要条件是
OP→＝OA→＋ta ①
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝
OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.
(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝__1__.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
第 - 1 - 页 空间向量的综合运算
题一：已知a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a→+3b→|为( )
A．7 B．10 C．13 D．4
题二：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=3，则cos
A．12 B．22 C．12 D．0
题三：已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a→=AB→，b→=AC→．
(1)设|c→|=3，c→//BC→，求c→．
(2)求a→与b→的夹角的余弦值．
(3)若ka→+b→与ka→2b→互相垂直，求k．
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空间向量的综合运算
讲义参考答案
题一：C．题二：D．题三：(2，1，2)或(2，1，2)；1010；2或52．
1 §3.1.1 空间向量的线性运算
高二数学理B 编号：1 编制：孙国兴 审核：纪登彪 时间：2009-2-5
一、学习目标：
1、理解相关概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法；
2、会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量以及它们的运算律；
3、能解决简单的立体几何中向量的运算问题。
二、重点难点
重点：向量的运算和运算律；难点：解决几何中的问题。
三、知识梳理及课前达标
（一）知识梳理
1、在空间，具有 和 的量叫做向量。
2、 且 的有向线段表示同一向量或相等向量。
3、表示向量a的有向线段的 叫做向量的长度或模，记作 。
4、有向线段所在的 叫做向量的基线。
5、如果空间向量的基线 或 ，则这些向量叫做 向量或向量，a平行于b，记作a b。
6、空间向量的加法于数乘向量满足加法 、 以及数乘 。
7、有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和 。
（二）课前达标
1、在平行六面体1111ABCDABCD中，1,,ABaADbAAc，则1DB（ ）
Ａ. abc Ｂ. abc Ｃ. abc Ｄ. abc
2、在平行六面体1111ABCDABCD中，向量11,,ABADBD是 （ ）
Ａ.有相同起点的向量 Ｂ.是相等的向量 Ｃ. 是共面向量 Ｄ. 是是共面向量
3、,MN分别是四面体ABCD的棱ABCD、的中点，则MN ADBC。
