弘德中学 制作人：董春燕 使用日期：
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空间向量的线性运算
一、学习目标：理解空间向量概念，掌握空间向量的集合表示法和字母表示法；能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
二、学习重点：空间向量的运算及运算律。
三、学习难点：应用向量解决立体几何中的问题。
四、知识梳理：
1. 空间向量（1）空间向量的定义：
（2）空间向量的表示方法：与平面向量一样，空间向量也是用 表示。
（3）空间向量的模：表示向量a的 叫向量的长度或模，记作
（4）零向量： 的向量叫零向量，记作
2.空间向量的关系：（1）相等向量： 的向量叫相等向量；
用 的有向线段表示同一向量或相等的向量。（2）平行向量或共线向量：①有向线段 叫做向量的基线。②如果空间中一些向量的基线互相 则这些向量叫做共线向量或平行向量，如 ab平行记作 。注：规定零向量与任意向量共线。
3.空间向量的加法、减法和数乘向量的运算律。（1）加法交换律
（2）加法结合律 （3）分配律 ；
4.空间向量与平面向量的关系：由于平面向量的集合是空间向量集合的子集，因而平面向量的概念在空间向量中仍然成立。
五、典例分析：
''''''11;(2)';(3)2ABCDABCDABADAADDABBCABADDDBC例、已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量（1）
aC'B'A'D'DABCa B
A
O l P 高二年级 数学教学案（2010年9月27日）
周次 6 课题 空间向量及其线性运算 1课时
授课形式 新授 主编 审核
教学目标 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；
3．理解空间向量共线的充要条件
重点难点 1空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；
2空间向量的线性运算及其性质。
课堂结构
一、自主探究
1.在空间，我们把既有 又有 的量，叫做空间向量，记为a。
2.空间向量加法和数乘运算满足如下运算律：
（1）abba（2）cbacba （3）Rbaba
3.共线向量： 。
4.共线向量定理： 。
5.在平行六面体ABCD–A1B1C1D1中，设,,,1cAAbADaAB则BD1= 。
6.已知空间四边形ABCD，M,N,分别是BC和CD的中点，则BCBDAB2121
等于 。
二、教学过程
（一）、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
（二）、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图baABOAOB
空间向量及其线性运算
1. 空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.
f f
2. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为 I, I
I
特别地：
f
① 规定长度为0的向量为零向量，记作0;
② 模为1的向量叫做单位向量；
3. 相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.
ff
4. 负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为 . _
5. 平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.
6. 注意：
f
① 零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；
② 单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③ 方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;
④ 空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤ 一般来说，向量不能比较大小.
1.加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.
BA = OA - OB = a - b
2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.
(1)交换律：+
3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:
1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1
(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
1 .空间向量的数乘运算
④|入|=|入|・
加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则
一 的长度是 的长度的|入|倍. (2)结合律：(+ ) + +( + )•
1 2 + 2 3 + 3 4 +一 + 一
1=0.
实数入与空间向量的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算.
1 §3.1.1 空间向量的线性运算
高二数学理B 编号：1 编制：孙国兴 审核：纪登彪 时间：2009-2-5
一、学习目标：
1、理解相关概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法；
2、会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量以及它们的运算律；
3、能解决简单的立体几何中向量的运算问题。
二、重点难点
重点：向量的运算和运算律；难点：解决几何中的问题。
三、知识梳理及课前达标
（一）知识梳理
1、在空间，具有 和 的量叫做向量。
2、 且 的有向线段表示同一向量或相等向量。
3、表示向量a的有向线段的 叫做向量的长度或模，记作 。
4、有向线段所在的 叫做向量的基线。
5、如果空间向量的基线 或 ，则这些向量叫做 向量或向量，a平行于b，记作a b。
6、空间向量的加法于数乘向量满足加法 、 以及数乘 。
7、有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和 。
（二）课前达标
1、在平行六面体1111ABCDABCD中，1,,ABaADbAAc，则1DB（ ）
Ａ. abc Ｂ. abc Ｃ. abc Ｄ. abc
2、在平行六面体1111ABCDABCD中，向量11,,ABADBD是 （ ）
Ａ.有相同起点的向量 Ｂ.是相等的向量 Ｃ. 是共面向量 Ｄ. 是是共面向量
3、,MN分别是四面体ABCD的棱ABCD、的中点，则MN ADBC。
