考研高等代数历年真题

《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

第一部分 名校考研真题

第6章 线性空间

一、选择题

1．下面哪一种变换是线性变换（ ）．[西北工业大学研]

A． B． C．

【答案】C查看答案

【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．

2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）．[西北工业大学研]

A．必相等 B．可能相等亦可能不相等 C．不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在中选三个向量组

(I)：0

(Ⅱ)

(Ⅲ)．

若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．

二、填空题

1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]

【答案】2；4．查看答案

【解析】在复数域上令；则是线性无关的．

则

此即证可由线性表出．

在实数域上，令

若，其中，则

此即在R上线性关．

可由线性表出，所以在实数域R上，有

三、分析计算题

1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]

解：取的一组基，再取的一组基则

＝秩

2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W：

（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]

解：（1）令

可得．所以

由于为的一个极大线性无关组，因此又可得

且，故为U＋W的一组基．

（2）令

因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

再令，则

故ζ为U∩W的一组基．

3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令

（1）证明：W关于Kn的运算构成Kn的一个子空间；

（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：

（3）对于非齐次线性方程组

求W的一个基．[华东师范大学研]

公共日语真题

我今年考的，发现自己有两套电子版的真题，发给大家共享

2005年全国硕士研究生入学考试统一考试日语试题

Ⅰ.基礎知識（20点）

次の文章を読んで、1～20の問いに答えなさい。答えは選択肢ABCDからもっとも適切なものを一つ選びなさい。

だれにも会いたくない。少しも口を利きたくない。（1）ただ一人でじっとしていたい。そういう気持ちのときがしばしばある。これは意気阻喪のときではなく、情意沈潜のときである。

わたしは純白か漆黒かの尾の長い猫【ア】なら、見当たり【イ】次第何匹でも飼いたいと思っている。（2）、室内にとじこめられたペット用の外国産のものではなく、自由に戸外を駆け回る野性的な日本産種のほうがいい。尾の短いのは人工的でいけなく、尾の長い自然的なのが【ウ】最高だ。

（3）、何故に猫か。猫は飼養動物のうちでもっとも人間に近い生活をしている。屋内に人間と同居し、同じ寝具に眠る。用があり、（4）喉を鳴らしてすり寄って来るが、そうでなければ、呼んでも返事をせず、【エ】すまして他所（5）向いている。猫は人の顔色を読むと【オ】いわれているが、往々、もっともよく人間の顔色を無視する。そして庭の隅や、縁側の片端や、机上などに、ただじっと蹲って一人で夢想している。そうした夢想の中に、肉食獣としての本来の野生がある。【カ】猫のうちには驯服され（6）何物かが残っているとわたしには思える。

それを、わたしは自分のこととして感ずる。人に会いたくなく、口を利きたくなく、一人でじっとしているとき、その沈潜しているわたしの情意は、道徳的な習慣な、換言すれば世間的な一般的なものであって、その底には、胸の（7）に潜む野性的なものが存在する。それは猫の驯服と同様に、人間の道徳や習慣では完全に覆うことのできない何物かが存在するのである。そしてその野性的な何物かの中にもっとも多くの芸術の萌芽がある。

芸術が一種の創造であるという要素は、この驯服されない野性的な深い何物かの上に建設される（8）にある。この建設のない場合、芸術は創造的要素を失い、生命力が【キ】希薄になる。

南京航空航天大学2023年硕士研究生招生考试试题

科目代码： 814 科目名称： 高等代数

考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效

一、已知三阶矩阵

𝐴=(−1−26

−10𝑎

−1−14)

𝑓(

𝑥)

=|

𝑥𝐸−𝐴|

是𝐴的特征多项式，且(

𝑥−1)2

是𝐴的最小多项式。

（1）求𝑎及𝑓(

𝑥)

；

（2）求𝐴的初等因子；

（3）𝐴是否与对角矩阵相似？请说明理由。

二、已知矩阵𝐴=(011

𝑎21

1−1𝑏)有特征向量𝛽=(1

1

−1)。

（1）求𝑎，𝑏的值；

（2）求可逆矩阵𝑝，使得𝑃−1

𝐴𝑃为对角阵；

（3）求𝐴2022

。

三、设𝑉

1是由向量𝛼

1=(

1,1,𝛼)𝑇

，𝛼

2=(

−2,𝛼,4)𝑇

，𝛼

3=(

−2,𝛼,−2)𝑇

生成的的ℝ3

的子

空间，𝑉

2是由𝛽

1=(

1,1,𝛼)𝑇

，𝛽

2=(

1,𝛼,1)𝑇

，𝛽

3=(

𝛼,1,1)𝑇

生成的ℝ3

的子空间。

（1）若𝑉

2的维数为1，求𝛼的值；

（2）若𝑉

1=𝑉

2，求𝛼的取值范围；

（3）求𝑉

1+𝑉

2维数的取值范围。

四、设𝜎为ℝ3

上的线性变换，𝜀

1=(

1,1,0)𝑇

，𝜀

2=(

0,1,1)𝑇

，𝜀

3=(

1,1,1)𝑇

，且

𝜎(

𝜀

1)

=(

0,−1,1)𝑇

,𝜎(

𝜀

2)

=(

1,1+𝑎,0)𝑇

,𝜎(

𝜀

3)

=(

1,𝑎−1,1)𝑇

。

（1）求𝜎在基𝜂

1=(

1,0,0)𝑇

，𝜂

2=(

0,1,0)𝑇

，𝜂

3=(

0,0,1)𝑇

下的矩阵𝐴；

（2）若𝜎可对角化，求𝑎的值； （3）当𝑎=2时，求一多项式𝑔(

𝑥)

，使得𝑔(

𝐴)

=𝐴−1

。

五、设三阶实矩阵𝐴的3个列向量𝛼，𝛽，𝑟线性无关，二次型

𝑓(

𝑥)

=(

𝛼𝑇

𝑥)2

+(

𝛽𝑇

𝑥)2

+(

𝑟𝑇

𝑥)2

，

其中𝑥=(

𝑥

1,𝑥

2,𝑥

3)𝑇

。

（1）求此二次型的矩阵𝐵；

佳句赏析

1.Now the tide appears to be turning.

“现在这种潮流（形势）似乎在逆转”，相当于汉语中的“三十年河东，三十年河西”。“tide... turn”这样的搭配经常用于描述潮流或形势的变化，比较贴切、形象。 如：The tide

of the battle turned against us.（战斗的形势开始变得不利于我们）。

2.Important information can get buried in a sea of trivialities.

“重要的信息可能被埋没在浩如烟海的细枝末节里”。句中的“a sea of”是一个比喻，形容“一大片，大量的”。如：The immense square was a sea of flowers and happy faces.（这个大广场上到处是鲜花和笑脸）

3.People looking back 5 or 10 years from now may well wonder why so few companies

took the online plunge.

该句中的... looking back... years from now may well wonder...结构可以表达人们隔一段时间后看过去的事情发出的感叹。如：When you look back ten years from now, you may well wonder

how stupid you are.

4.omputer education advocates forsake this optimistic notion for a pessimism that

betrays their otherwise cheery outlook.

句子主要是forsake sth for sth，forsake后的optimistic和for后面的a pessimism意思正好相反，形式上形成对仗。