2019-2020学年临汾一中高二下学期期中数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年临汾一中高二下学期期中数学试卷(理科)

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下面是关于复数𝑧=2−1+𝑖的四个命题：𝑝1：|𝑧|=2；𝑝2：𝑧2=2𝑖；𝑝3：z的共轭复数为1+𝑖；𝑝4：z的虚部为−1.其中，真命题的个数为( )

A. 1

B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额𝜉(单位：元)服从正态分布𝑁(2000,1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( )

附：随机变量𝜉服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，则，𝑃(𝜇−2𝜎<𝜉<𝜇+2𝜎)=0.9544，．

A. 0.9759 B. 0.84 C. 0.8185 D. 0.4772

3. 由直线𝑦=𝑥−4，曲线𝑦=√2𝑥以及𝑦=0所围成的图形的面积为( )

A. 403 B. 343 C. 643 D. 16

4. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情，面对“突发灾难”，举国上下齐心，在以习近平同志为核心的党中央的领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．在此疫情期间，为分担“逆行者”的后顾之忧，某教育机构团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线免费辅导功课．现教育机构安排了3位经验丰富的老师对小王、小李、小刘、小陈4名学生进行功课辅导，假设每位老师至少辅导一位学生，且每名学生至多一名老师辅导，则不同的分配方案共有( )

A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 72种

5. 下列命题：

①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；

②如果两直线平行，则它们的斜率相等；

③如果两直线的斜率之积为−1，则它们垂直；

④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为−1．

其中正确的为( )

A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. 以上全错 6. 已知变量m的取值完全由变量a，b，c，d的取值确定某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好a，b，c，d四个变量的取值，然后记录相应的变量m的值，得到如表：

试验编号

a

b

c d m

① 1 1 1 1 4

② 1 1 1 2 2

③ 1 1 2 2 1

④ 0 2 2 2

1

则m关于a，b，c，d的表达式不可能是( )

A. 𝑚=2(𝑎+𝑏)𝑐𝑑 B. 𝑚=8(𝑎+𝑏)𝑐𝑑 C. 𝑚=2(𝑎2+𝑏2)𝑐𝑑 D. 𝑚=3𝑎2+𝑏2𝑐𝑑

7. 把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有( )种不同的投放的方式．

A. 4 B. 12 C. 64 D. 81

8. (1−𝑥)7展开式中系数最大的项为第( )项．

A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

9. 下列四个函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是( )

A. 𝑓(𝑥)=|𝑥| B. 𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑥

C. 𝑓(𝑥)=𝑥12 D. 𝑓(𝑥)=1𝑥−1

10. 若函数有两个极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

11. 某类种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是( )

A. 100；90 B. 100；180 C. 200；180 D. 200；360

12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+ln(𝑎−𝑥)的图象关于直线𝑥=1对称，则函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为( )

A. (0,2) B. [0,1) C. (−∞,1] D. (0,1]

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设随机变量𝑋～𝐵(2,𝑝)，𝑌～𝐵(3,𝑝)，若𝑃(𝑋≥1)=34，则𝑃(𝑌≥1) ______ ．

14. ∫√16−𝑥20−4𝑑𝑥= ______ ． 15. 有四位学生参加三项不同的竞赛，每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有______.(用数值作答)

16. 具有性质：𝑓(1𝑥)=−𝑓(𝑥)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①𝑦=𝑥−1𝑥；②𝑦=𝑥+1𝑥；③𝑦=𝑙𝑛𝑥(𝑥>0)④𝑦={𝑥,(0<𝑥<1)0,(𝑥=1)−1𝑥(𝑥>1)其中满足“倒负”变换的函数是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知数列的前项和，数列是等差数列，且是与的等差中项。

(1)分别求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．

18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=45°，D是BC边上的一点，𝐴𝐷=5，𝐴𝐶=7，𝐷𝐶=3．

(1)求∠𝐴𝐷𝐶的大小；

(2)求AB的长．

19. 某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：

甲图书馆

借(还)书等待时间𝑇1(分钟) 1 2 3 4 5

频数 1500 1000 500 500 1500

乙图书馆

借(还)书等待时间𝑇2(分钟) 1 2 3 4 5

频数 1000 500 2000 1250 250

以表中等待时间的学生人数的频率为概率．

(1)分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；

(2)学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？

20. 如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，D是AB的中点．

(Ⅰ)证明：𝐵𝐶1//平面𝐴1𝐶𝐷；

(Ⅱ)若△𝐴𝐵𝐶是边长为2的正三角形，且𝐵𝐶=𝐵𝐵1，∠𝐶𝐵𝐵1=60°，平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，求三棱锥𝐴−𝐷𝐶𝐴1的体积．

21. 已知动点𝑀(𝑥,𝑦)到两定点𝐹1(0,2)、𝐹2，(0,−2)距离之和为8．

(1)求点𝑀(𝑥,𝑦)的轨迹C的方程；

(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A，B两点，若𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，求出直线l的方程．

22. 已知函数 (为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．

(1)求的值及函数的极值； (2)证明：当时，．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：复数𝑧=2−1+𝑖=−2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−1−𝑖．

𝑃1：|𝑧|=√(−1)2+(−1)2=√2，因此不正确；

𝑃2：𝑧2=(−1−𝑖)2=2𝑖，正确；

𝑃3：z的共轭复数为−1+𝑖，不正确；

𝑃4：z的虚部为−1，正确．

其中的真命题个数为2．

故选：B．

化简复数𝑧=2−1+𝑖.再利用复数的有关概念即可判断出结论．

本题考查了复数的运算法则及其有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.答案：C

解析：

本题考查正态分布曲线的特点及概率的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

由已知可得𝜇=2000，𝜎=100，然后结合已知数据求解．

解：∵𝜉服从正态分布𝑁(2000,1002)，

∴𝜇=2000，𝜎=100，

则𝑃(1900<𝜉<2200)=𝑃(𝜇−𝜎<𝜉<𝜇+𝜎)+12[𝑃(𝜇−2𝜎<𝜉<𝜇+2𝜎)−𝑃(𝜇−𝜎<𝜉<𝜇+𝜎)]

=0.6826+12(0.9544−0.6826)=0.8185．

故选C．

3.答案：A

解析：解：如图，联立方程组得{𝑦=𝑥−4𝑦=√2𝑥，解得𝑥=8，𝑦=4，

由直线𝑦=𝑥−4，曲线𝑦=√2𝑥以及𝑦=0所围成的图形的面积为：

𝑆=∫(40𝑦+4−12𝑦2)𝑑𝑦=(12𝑦2+4𝑦−16𝑦3)| 04=8+16−323=403，

故选：A．

由题意画出图形，数形结合把曲边梯形的面积用定积分表示，求定积分得答案

本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是中档题

4.答案：C

解析：解：根据题意，每位老师至少辅导一位学生，且每名学生至多一名老师辅导，则有1位老师辅导2名学生，其他2位老师各辅导1名学生，

据此分2步进行分析：

①在4名学生中选出2名，分配给一位老师，有𝐶42𝐶31=18种情况，

②剩下2位老师分别辅导剩下的2名学生，有𝐴22=2种情况，

则有18×2=36种不同的分配方案；

故选：C．

根据题意，分2步进行分析：①在4名学生中选出2名，分配给一位老师，②剩下2位老师分别辅导剩下的2名学生，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

5.答案：B

解析：

根据直线斜率相等，直线平行或重合，可判断①，根据两条直线的斜率是否存在时，两直线平行，可判断②；根据两条直线的垂直判断③④的正误；

本题以命题的真假判断为载体，考查了直线斜率的几何意义，直线垂直的充要条件，直线倾斜角的