不定积分1

不定积分的运算法则教案(1)

目的要求

ex、ax的积分)．

2．能利用基本积分公式求一些简单的不定积分．

内容分析

1．在中学阶段，应用直接积分法，最终都归结为这七个基本积分．因此，这些公式是计算积分的基础，推导和熟记它们是这节课的重点．

2．推导公式要紧扣求不定积分和求导数的互逆运算关系，讲授时，要对照基本求导公式进行分析，具体可分三个层次：

条件，但必须指出m≠－1．

分析．

mx＋C当m＝0时的特殊情形，而这个公式在一定范围内又是公式(2)

教学过程

1．复习旧知

(2)写出函数C、sinx、ex、xm、cosx、ax、lnx的导数公式．

2．推导基本积分公式

(2)对基本导数公式适当变形，引导学生回答：怎样的函数，其导数是m、xm(m≠－1)、ax与sinx？进而推导出函数m、xm(m≠－1)、ax、sinx的积分公式．

3．理解记忆公式

(1)通过幻灯等媒体展示七个基本积分公式，其中将公式(1)改写成：

(2)要求学生对每个公式的右端进行求导，检验公式的正确性．

(3)请同学思考以下问题：①公式(2)与公式(3)有什么关系，能否将它们写成统一的形式？②公式(4)与公式(5)有什么联系？③比较公式(ax)′

(4)(口答)求下列不定积分．

(5)仔细观察并分析基本积分公式表，解答以下问题：

注：解答这些问题，并不需要引导学生去求微分方程的一般解，而是引导学生利用积分公式求特解．例如，根据公式(4)找得①的特解f(x)

4．反馈与巩固

例1 求下列不定积分．

这道例题可由学生独立完成，教师引导学生小结：①求不定积分时，应将被积函数解析式恒等变形为公式中的t种函数形式；②求不定积分与积分变量用什么字母表示无关．

变式题：①已知函数y＝f(x)(x≠0)的图象经过点P(1，1)，且在其

课堂练习：

求下列不定积分．

5．小结

(1)基本积分公式是根据求导与求不定积分的互逆运算关系推导出来的，是以后求积分的基础，应该牢记．

第２３卷第４期　２００７年８月　阿　方学　学球（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．２００７　

不定积分中　“１”　上　

金小梅，毛本清　的妙用　

（浙江工业大学浙西分校数理系，浙江衢州３２４０００）　

摘要：针对不定积分中常出现的“ｌ”进行探索思考，介绍了不定积分中“ｌ”的妙用．　

关键词：不定积分；变形；拆项　

中图分类号：Ｏ　２４１．８４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１４９２（２００７）０４—００１９—０２　

Ｍａｇｉｃａｌ　Ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ“１”Ｕｓｅｄ　ｉｎ　Ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　

ＪＩＮ　Ｘｉａｏ—ｍｅｉ．ＭＡＯ　Ｂｅｎ－ｑｉｎｇ　

（Ｗｅｓｔ　Ｂｒａｎｃｈ　ｏｆ　Ｚｈ￣ｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｕｚｈｏｕ　３２４０００，Ｚｈｅｊｉａｎｇ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｃｕｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｔ　ａｐｐｅａｒａｎｃｅｓ　ｏｆ“１”ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ，ａｎｄ　ａｆｔｅｒ　ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ　

ａｎｄ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ。ａ　ｃｏｕｐｌｅ　ｏｆ　ｍａｇｉｃａｌ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ“１”ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｄｅｆｏｒｍ；ｓｐｌｉｔ　

微积分是高等院校的－－Ｆｌ重要基础课，当代著名数学家柯朗（Ｃｏｕｒａｎｔ）曾指出：“微积分，或者数学　

分析，是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特　

别有效的工具．遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科，乃是一种撼人心灵的　

湖南理工学院

《高等数学》单元测试试卷(A卷)

题 目 一 总 分 核分人 复查人

得分

题目部分，（卷面共有17题，100分，各大题标有题量和总分）

评卷人 得分

一、计算 （17小题，共100分）

1．

2．

3．

4．

5． 6．

7．

8．

9．

10．

11．

12．

13．

14．

15． xeexxd142求.dsin4xx求.cos2sind22xxx求).(dcossin2sin2222baxxbxax　求.376d23xxxx求.dsectan4xxx求.d)32(10xx求.darcsinxeexx求.dsectan46xxx求.darctan122xxxbax求.dsin1sin423xxx求　.1212d4xxx求.)1)(1(d2xxxxx求.)1(d23xxx求.darccosxeexx求16．

17．

.d83xxx求.d)arccos(arcsinxxx求　

经济数学——微积分 4

不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表

不定积分的性质 小结思考题

经济数学——积分

二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx是cos兀的原函数.

(inx) =— (X >0) X

In X是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节

五、 经济数学一微积分

定理原函数存在定理：

如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =

f(x).

简言之：连续函数一定有原函数.

问题：(1)原函数是否唯一？

(2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f

例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx

(C为任意常数)

经济数学一微积分

关于原函数的说明:

(1)

(2)

证

说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学——微积分

不定积分（indefinite integral）的定义：

在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I可内的 不定积分，记为f/（xMr・

经济数学——微积分

6

=X% /. fx^dx =——十 C. J 」 6

例2求f --------- dr.

J 1 + X- / J

解•/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2被积函数 『积分号 积分变量

寒积表达式 F(x) 经济数学一微积分

例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成

本函数C(jc).

解 C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀 2 + c IK ™其中c为任意常数