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定积分及不定积分

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52 第三章 定积分及其应用

§3-1 定积分的概念

一、变速直线运动的路程

例1 设某物体作变速直线运动，其速度)(tvv是时间段],[ba上的连续函数，求物体在该时间段内所经过的路程S.

解 由于物体的运动速度不是常量，故不能直接按匀速直线运动的路公式vts来计算路程。但我们可以先设法求出路程的近似值，再通过极限逼近精确值。

我们先将时间],[ba等分为n小段011223[,],[,],[,],,tttttt

1[,],nntt其中btatn,0，每个小时间段的跨度nabt，我们在时间段的左端点1210,,,,ntttt读取速度v,由于分段较密，可以认为每个时间段内速度近似不变，这样第i段内的路程可以近似表示为ttvSii)(1（),,2,1ni。 图3-1（需修改）

将n个小段时间上的路程相加，就得总路程S的近似值，即

niiniittvSS111)(

当n时，上述路程逼近物体运动总路程S的精确值，即

niinttvS110)(lim

注1 由于速度函数)(tvv是连续的，可以证明，当我们将时间段任意分割成若干小段且在每一小时间段内任选一个时间节点来读取速度，上述和式的极限是相等的。

注2 上述变速直线运动路程计算也可理解为由曲线btatvtvv,,0,0)(所围成曲边梯形的面积。

二、定积分的概念

定义1 设0)(xf是定义在区间],[ba上的有界函数，将区间],[ba任意分割成n个小区间],,][,[],,[322110xxxxxx],,[,1nnxx其中bxaxn,0。记1iiixxx，在小区间],[1iixx上任取一点i),,2,1(ni，令ixmax，如果01lim()niifx存在，则称其极限值为)(xf 53 从a到b的定积分，记作

niibaxfdxxf10)(lim)(

其中“”称为积分符号，a称为积分下限，b称为积分上限，],[ba称为积分区间，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量， dx称为积分微元。

根据定积分的定义，例1变速直线运动的路程S可表示为

niinbatvdttvS1)(lim)(，

关于定积分的定义，需说明下列几点：

（1）定积分与被积函数()fx及积分区间[,]ab有关，而与积分变量的记号无关，即

()()()bbbaaafxdxftdtfudu

（2）规定()0aafxdx， ()()abbafxdxfxdx

（3）若()fx在[,]ab上连续或只有有限个第一类间断点，则()fx在[,]ab上可积.

三、定积分的几何意义

从前面的讨论中已经知道，若在[,]ab上()0fx，则定积分()bafxdx表示由曲线()yfx、直线xa、xb以及x轴所围成的图形的面积（图3-1a）.若在[,]ab上()0fx，由定积分的定义，有Adxxfba)(

图3-1

若在[,]ab上，()fx有正有负，则由曲线()yfx、直线xa、xb以及x轴所围成的平面图形，既有在x轴上方，又有在x轴下方，这时，定积分()bafxdx表示[a,b]上各个曲边梯形面积的代数和.

（图3-2）。 （a） （b） 54 123()bafxdxAAA 图3-2

例2试用定积分表示由直线1yx，0x，3x以及x轴所围成的平面图形的面积A.

解 由图3-3可知

1301(1)(1)Axdxxdx

图3-3

四、定积分的性质

设函数)(xf、)(xg在],[ba上可积，则有以下性质.

性质1 ()()bbaakfxdxkfxdx （k为常数）

性质2 [()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx

此性质可推广到有限多个函数代数和的情形

性质3 对任意三个实数,,abc，总有()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx

当点c位于区间[,]ab之外时，可以证明此性质仍然成立. 图3-4

性质4 如果在[,]ab上()1fx，则1badxba

性质5 如果在区间[,]ab上恒有()()fxgx，则()()bbaafxdxgxdx

例3比较exdx12ln与exdx19ln

解 因为在区间],1[e上，1ln0x，xx92lnln，所以eexdxxdx1912lnln

性质6 （估值定理）设M与m分别是函数()fx在[,]ab上的最大值与最小值，则 55 ()()()bambafxdxMba

例4估计定积分21dxex值的所在范围.

解 因为在区间]2,1[上，2eeex，所以221edxeex

性质7（积分中值定理） 如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在[,]ab上至少存在一点，使得下式成立：

()()()bafxdxfba ()ab

积分中值定理的几何解释是：设()0fx，则在区间[,]ab上至少存在一点，使得以[,]ab为底，()f为高的矩形面积正好等于区间[,]ab上以()fx为曲边的曲边梯形的面积（图3-5）.

1()()baffxdxba称为()fx在区间[,]ab上的平均值.

图3-5（需修改）

习题3-1

1． 用定积分表示由曲线2,0,2xyxy所围成的平面图形的面积A.

2． 利用定积分的几何意义说明下列等式成立

（1）840xdx （2）12014xdx

3．利用定积分的性质比较下列各组定积分值的大小

（1）10xdx与120xdx （2）63lnxdx与633lnxdx

4．估计下列定积分的值

（1）120(1)xdx （2）2041dxx 56

§3-2 不定积分

一、不定积分的概念

例1 曲线上任意一点处的切线斜率为2kx，且经过点)3,1(P，求此曲线方程。

解 设所求曲线方程为()yFx，由题意知 '()2kFxx

因为2()'2xCx(C为任意常数)，故可得曲线方程为cxy2

将条件)3,1(P代入，得22xy

定义1 设函数)(xf是已知函数，如果存在函数)(xF，满足)()(xfxF，则称函数)(xF是函数)(xf的一个原函数，称CxF)(为)(xf的不定积分，记作dxxf)(，即

CxFdxxf)()(

其中，“”称为积分符号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

求函数)(xf的一个原函数，就是对求导作一个逆运算，求函数)(xf的不定积分，就是求函数)(xf的全体原函数。

定理1 若函数)(xf有二个原函数)(xF、)(xG，则

CxGxF)()(

例2 求下列函数的不定积分

（1）xxfcos)(； （2）23)(xxf

解（1） 因为 xxcos)(sin， xsin是xcos的一个原函数，所以xcos的全体原函数是Cxsin，

即 Cxxdxsincos

（2） 因为 233)(xx， 3x是23x的一个原函数，所以23x的全体原函数是Cx3，

因此 Cxdxx323

二、基本积分表 57 由于不定积分是求导（或微分）的逆运算（仅相差一个常数），因此可以根据求导公式得出基本积分公式。为方便起见，我们将一些基本的积分公式列表如下：

（1）0dxC （C为常数） （2）)(,是任意常数kCkxkdx

（3）11,(1)1xdxxC （4）Cxdxxln1

（5）Caadxaxxln （6）Cedxexx

（7）Cxxdxcossin （8）Cxxdxsincos

（9）Cxdxxarctan112 （10）Cxdxxarcsin112

（11）2sectanxdxxC （12）2csccotxdxxC

（13）sectansecxxdxxC （14）csccotcscxxdxxC

例3 求下列函数的不定积分

（1）31dxx （2）dxxx2 （3）dxexx2

解 （1）33132111312dxxdxxCCxx

（2）CxCxdxxdxxx27125252721251

（3）CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2

三、不定积分的运算法则

根据不定积分的定义，可以证明，积分运算满足下列运算法则：

法则1 dxxfkdxxkf)()(，（)0,kk是常数

法则2 dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([

例4 求dxxex)cos2(

解 Cxexdxdxedxxexxxsin2cos2)cos2(

在各次积分后,每个不定积分的结果都含有任意常数,由于任意常数的和仍是任意常数,所以在积分运算中,多个积分常数最后可合并,只要写出一个任意常数C就可以了。

例5 求dxxxxx)315132(22 58 解 dxxxxx)315132(22=dxdxxdxxdxxx31151131222

Cxxxx3ln3arctan5arcsin3ln2

例6 求dxxxxx)1(122

解 Cxxdxxdxxdxxxxxdxxxxxlnarctan111)1()1()1(122222

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不定积分和定积分

不定积分和定积分

1 第四章 不定积分与定积分

4.1 不定积分

一、学时：

二、教学要求：

不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法；

（1）理解原函数、不定积分的定义及关系；

（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算；

（3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；

（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。

重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法

难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法

三、教学内容：

第二章讨论了如何求一个数的函导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求原来的函数问题，即求不定积分.

4.1.1 不定积分的概念与性质

定义1 设)(xf是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数)(xF,对于该区间上每一点都满足：)()('xfxF或dxxfxdF)()(,则称)(xF是)(xf 在该区间的一个原函数.

例如 已知xxf2)(,由于2)(xxF满足xxxF2)'()('2 ,所以2)(xxF是xxf2)(的一个原函数. 同理，10,1,1222xxx等也都是xxf2)(的原函数.

由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则CxF)(

为任意常数C也是)(xf的原函数.且若)(xF,)(xG都是)(xf的原函数则0)()()()(')()(xfxfxGxFxGxF，知CxGxF)()(,即它们仅相差一个常数.因此，若)(xF是)(xf的一个原函数，则)(xf的所有原函数可以表示为CxF)( 2 是任意常数C.

定义2 函数)(xf的所有原函数，称为函数)(xf的不定积分，记作dxxf)(其中)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量，“”称为积分号.

定积分和不定积分的区别定积分与不定积分定理总结

定积分和不定积分的区别定积分与不定积分定理总结

定积分和不定积分的区别定积分与不定积分定理总结

不定积分

1、原函数存在定理

●定理如果函数f(_)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(_)，使对任一_∈I都有F’(_)=f(_);简单的说连续函数一定有原函数。

●分部积分法

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分

1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(_)在区间[a,b]上连续，则f(_)在区间[a,b]上可积，即连续= 可积。

●定理设f(_)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(_)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(_)≥0则∫abf(_)d_≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(_)≤g(_)则∫abf(_)d_≤∫abg(_)d_。

●推论|∫abf(_)d_|≤∫ab|f(_)|d_。

●性质设M及m分别是函数f(_)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(_)d_≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(_)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(_)d_=f()(b-a)。

4、关于广义积分

设函数f(_)在区间[a,b]上除点c(a

积分与定积分的运算法则

积分与定积分的运算法则

积分与定积分的运算法则

在微积分中，积分是一个重要的概念，它有着广泛的应用。而定积分是积分的一种特殊形式，它在求解曲线下面的面积以及计算物体的体积等方面起着重要作用。本文将介绍积分与定积分的运算法则，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、不定积分的运算法则

不定积分是指对函数进行积分，得到的结果是一个不含具体数值的表达式，常用的表示方法是∫f(x)dx。在求不定积分时，我们需要遵循以下几个运算法则：

1. 基本积分法则：根据常函数、幂函数、指数函数、三角函数和对数函数的积分表达式，可以对这些函数按照相应的规则进行求积分。

2. 乘法法则：如果被积函数是两个函数的乘积，即f(x) = u(x) * v(x)，则可以利用乘法法则将原函数分解成两个简单函数相乘的形式进行积分。

3. 代换法则：通过对被积函数进行代换，将原函数进行转换成一个新的函数，进而求解积分。这种方法常用于处理复杂函数的积分问题。

4. 分部积分法则：将一个积分问题转化为两个函数的乘积进行积分，通过分部积分公式求解。

以上这些法则在不定积分的运算过程中起着关键作用，通过合理运用这些法则，我们可以更快地求解积分问题。 二、定积分的运算法则

定积分是对一个函数在某一区间上的积分，常用的表示方法是∫[a,b]f(x)dx，表示对f(x)在从a到b的区间上进行积分。定积分的运算法则主要包括以下几点：

1. 区间可加性：若函数f(x)在[a,b]和[b,c]上可积，则有∫[a,c]f(x)dx =

∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。

2. 线性性质：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，常数k，则有∫[a,b](f(x) ± g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx ± ∫[a,b]g(x)dx，以及∫[a,b]kf(x)dx =

k∫[a,b]f(x)dx。

3. 积分区间的可交换性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx，即交换积分区间不影响积分结果的值。

定积分 公式

定积分 公式

定积分 公式

1、定积分公式:积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f (x) ，在区间a，b]上的定积分记为: .(a，b)[f(x)+g(x)]dx=J(a，b)f(x)J(a，

b)g(x)dxJ(a， b)kf(x)dx=k/(a， b)f(x)dx，若f (x) 在a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线 (x，f (x)) 、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方法将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量的话，积分和导数运算是逆运算(牛顿莱布尼兹公式)

2、定积分简介: 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。