2015届高三数学一轮课件：第3章 第6节 简单的三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换（一）

课前导引

问题导入

如右图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，AD=3，BD=m，DC=n，BC=m+n，且m，n满足3log13log1nm＜2.判定△ABC的形状.

思路分析：解答本题的关键是计算∠BAC.由已知得log3m+log3n＜2mn＜9，设∠BAD=α，∠DAC=β，则tanα=3m，tanβ=3n，∴tan（α+β）=mnnmmnnm9)(39133tantan1tantan＞0.∴0＜α+β＜2.又∠B，∠C为锐角,∴△ABC是锐角三角形.

温馨提示

本题是几何、代数综合题，充分运用了m、n表示a、β的正切是关键.

知识预览

1.二倍角正弦公式S2α的变形：由sin2α=2sinαcosα得出：sinα=cos22sin，cosα=sin22sin.

2.二倍角余弦公式的变形：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α可以得出1+cos2α=2cos2α，1-cos2α=2sin2α，cos2α=22cos1，sin2α=22cos1，tan2α=2cos12cos1.

3.若用cosα表示sin22、cos22、tan22，得：sin22=2cos1，cos22=2cos1，tan22=cos1cos1.还可以表示为sin2=±2cos1，cos2=±2cos1，tan2=±cos1cos1，根号前面的符号由2所在的象限来确定，这组公式称为半角公式.

1 / 30

简单的三角恒等变换

适用学科 数学 适用年级 高三

适用区域 新课标 课时时长 60分钟

知 识 点 利用三角公式进行证明

利用三角公式进行化简与求值

辅助角公式的应用

教学目标 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

教学重点 二倍角的正弦、余弦、正切公式

教学难点 倍角公式的形成及公式的变形

2 / 30

教学过程

课堂导入

前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，也明白了两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，那么二倍角的正弦、余弦、正切公式经过变形能推导出什么公式呢？

3 / 30

复习预习

1. 两角和与差的正弦公式：

2. 两角和与差的余弦公式：

3. 两角和与差的正切公式：

4. 二倍角公式： 4 / 30

知识讲解

考点1 半角公式

(1)用cos α表示sin2α2，cos2α2，tan2α2：sin2α2＝1－cos α2；cos2α2＝1＋cos α2；tan2α2＝1－cos α1＋cos α.

(2)用cos α表示sinα2，cosα2，tanα2：sinα2＝± 1－cos α2；cosα2＝± 1＋cos α2；tanα2＝± 1－cos α1＋cos α.

(3)用sin α，cos α表示tanα2：tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 5 / 30

考点2 形如asin x＋bcos x的化简

第六节简单的三角恒等变换

考点一 三角函数式的化简 基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式及三角函数的恒等变形，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于基础题.

1．化简：sin 2α－2cos2αsinα－π4＝________.

解析：原式＝2sin αcos α－2cos2α22sin α－cos α＝22cos α.

答案：22cos α

2．化简：sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)．

解：原式＝sin2α＋β－2sin αcosα＋βsin α

＝sin[α＋α＋β]－2sin αcosα＋βsin α

＝sin αcosα＋β＋cos αsinα＋β－2sin αcosα＋βsin α

＝cos αsinα＋β－sin αcosα＋βsin α

＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α.

[怎样快解·准解]

1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点——追根溯源

三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简与求值，属于基础题.,常见的命题角度有：,1给角求值；,2给值求值；,3给值求角.

[题点全练]

角度(一) 给角求值

1．(2018·新疆第二次适应性检测)cos 10°1＋3tan 10°cos 50°的值是________．

解析：依题意得cos 10°1＋3tan 10°cos 50°＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin10°＋30°cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.

教

目标 知识与技能： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。

过程与方法： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。

情感、态度、价值观： 通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。

重点 两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。

难点 灵活运用所学公式进行求值、化简。

教学方法 探究学习，小组讨论、

学案导学 教学手段 投影仪，多媒体

教 学 过 程 设 计 意 图

一、知识回顾

学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。

二、公式推导

思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？

?)(cos ?)(cos

师生活动: 引导学生回答)(cos是怎样由)(cos推导出来的？

思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？

学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦

即

引导学生得出：sin(α+β)=cos［2-(α+β)］=cos［(2-α)-β］

合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）

cos［(2-α)-β］=cos(2-α)cosβ+sin(2-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.

思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由

sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？

β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）

学生活动：sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) 设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．