2022届高中数学新教材同步必修第一册 第3章 习题课 反比例函数、对勾函数

3．3 函数的应用(一)最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.知识点一 几类常见函数模型 名称 解析式条件一次函数模型 y ＝kx ＋b k ≠0 反比例函数模型y ＝k x＋b k ≠0二次函数模型一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c顶点式：y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24aa ≠0知识点二 数学建模建模例如：1.发现问题，提出问题． 2．分析问题，建立模型． 3．确定参数，计算求解． 4．验证结果，改良模型．状元随笔 建立函数模型解决实际问题的根本思路[根底自测]1．某厂日产手套总本钱y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，那么该厂为了不赔本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副解析：利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0. 解得x ≥800.答案：D2．小明骑车上学，开场时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.答案：C3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1xx 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．假设该公司在这两地共销售15辆车，那么能获得的最大利润为( )C ．45.56万元解析：依题意可设甲销售x 辆，那么乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，那么总利润Sxx 2＋2(15－xx 2x ＋30＝－0.15(x －10.2)22＋30(0≤x ≤15且x ∈N )，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案：B4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， (1≤x <10，x ∈N *)2x ＋10， (10≤x <100，x ∈N *)x ， (x ≥100，x ∈N *)其中，x 代表拟录用人数，y 代外表试人数．假设应聘的面试人数为60，那么该公司拟录用人数为________．解析：令y ＝60，假设4x ＝60，那么x ＝15>10，不合题意； 假设2x ＋10＝60，那么x ＝25，满足题意；x ＝60，那么x ＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25人． 答案：25题型一 一次、二次函数模型[经典例题]例1 某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】 设每个提价x 元(x ≥0，x ∈N )，利润为y 元． 每天销售总额为(10＋x )(100－10x )元， 进货总额＝8(100－10x )元， 显然100－10x >0，即x <10，那么y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x ) ＝(2＋x )(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．当x ＝4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元． 答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元. 可根据实际问题建立二次函数模型解析式． 方法归纳1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考察的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km ，之后以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115.离开北京 2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km)．求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．题型二 分段函数[教材P 117例1]例2 为了鼓励大家节约用水，自2021年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.(1)写出f (x )的解析式；(2)假设居住在上海的张明一家2021 年共用水260 m 3，那么张明一家2021 年应缴纳水费多少元？【解析】 (1)不难看出，f (x )是一个分段函数，而且： 当0<x ≤220时，有f (xx ； 当220<x ≤300时，有f (x )＝220×3.45＋(x x －303.6；当x >300时，有f (x )＝220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x x －603.6.因此f (x )＝错误!(2)因为220<260≤300，所以f (260)＝4.83×260－303.6＝952.2，因此张明一家2021 年应缴纳水费952.2元． 教材反思(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．(2)假设求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．跟踪训练2 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经历，假设每辆自行车的日租金不超过6元，那么自行车可以全部租出；假设超过6元，那么每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域．(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？ 解析：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x >2.3. 因为x ∈N *，所以x ≥3，所以3≤x ≤6，x ∈N *.当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，得3x 2－68x ＋115<0. 解得2≤x ≤20，又x ∈N *，所以6<x ≤20，x ∈N *，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115，(6<x ≤20，x ∈N *)，定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x－115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270，因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．课时作业 20一、选择题1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图像如下图，那么杯子的形状是( )解析：从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，应选A.答案：A2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，假设普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，那么y关于x的函数关系式是( )A．yx＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)B．yx＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)C．yx＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)D．yx＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)解析：由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，那么总收入yx＋(2 000－xx＋1 600－0.8 xx＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．答案：D3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，那么每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A．7 B．8C．9 D．10解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，∴当k ＝9时，获得利润最大．答案：C4．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，那么汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，(0≤t )150－50t (t )D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，(0≤t )150，(2.5<t )150－50(t ).(3.5<t )解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.答案：D 二、填空题5．某电脑公司2021年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要到达1 690万元，且方案从2021年到2021年，每年经营总收入的年增长率一样，2021年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，那么有 40040%×(1＋x )2＝1 690，1＋x ＝1310，因此2021年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 3006．生产一定数量的商品的全部费用称为生产本钱，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产本钱为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：187．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是____________．解析：由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15得A ＝16. 答案：60 16 三、解答题8．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如下图，试由图像解决以下问题：(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？解析：(1)由图像知，可设y ＝kx ＋b ，x ∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000；x ∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈(200，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，那么x ∈(200,300]，由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．9．某公司生产一种电子仪器的固定本钱为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，(0≤x ≤400)80 000，(x >400)其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总本钱＋利润)解析：(1)设月产量为x 台，那么总本钱为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400＝20 000<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．[尖子生题库]10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，那么y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．。

【学生版】微专题：对勾函数的变式与应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数；对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的变式变式1、函数2()(0)ax bx cf x ac x++=>； 此类函数可变形为： 变式2、函数()(0,0)af x x a k x k=+>≠+； 此类函数可变形为：变式3、函数2()(0,0)axf x a b x b=≠>+； 此类函数可变形为：变式4、函数2()(0)ax bx cf x a x m++=≠+ 此类函数可变形为： 变式5、函数2()(0)x mf x a ax bx c+=≠++此类函数可变形为： 变式6、函数()f x=； 此类函数可变形为： 变式7、函数2()0)f x a =>；此类函数可变形为： 3、对勾函数的应用例1、求函数23()x f x x+=在下列条件下的值域：（1）()(,0)0,x ∈-∞+∞；（2）(2,3]x ∈ 【提示】； 【解析】； 【说明】；例2、求下列函数在(1,2]x ∈的值域：（1）21x y x =+；（2）232x x y x ++=；（3）()51f x x x =+-；【提示】； 【解析】； 【说明】；例3、求函数()3f x x =+的值域； 【答案】； 【解析】；例4、求函数2()f x =的最小值。

新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章函数的应用3．1函数与方程练习（P88）1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x 1=-0.5,用计算器可算得f (-0.5)=3.375.因为f (-1)·f (-0.5)<0,所以x 0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x 2=-0.75,用计算器可算得f (-0.75)≈1.58.因为f (-1)·f (-0.75)<0,所以x 0∈(-1,-0.75).同理,可得x 0∈(-1,-0.875)，x 0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x -1-lnx =0,令f (x )=0.8x -1-lnx ,f (0)没有意义，用计算器算得f (0.5)≈0.59,f (1)=-0.2.于是f (0.5)·f (1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x -1=lnx 在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x 1=0.75,用计算器可算得f (0.75)≈0.13.因为f (0.75)·f (1)<0,所以x 0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x 2=0.875,用计算器可算得f (0.875)≈-0.04.因为f (0.875)·f (0.75)<0,所以x 0∈(0.75,0.875).同理,可得x 0∈(0.812 5,0.875)，x 0∈(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.843 75.5.由题设有f (2)≈-0.31<0,f (3)≈0.43>0,于是f (2)·f (3)<0,所以函数f (x )在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f (x )=lnx x2-在区间(2，3)内的近似解. 取区间(2，3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f (2.5)≈0.12.因为f (2)·f (2.5)<0,所以x 0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x 2=2.25,用计算器可算得f (2.25)≈-0.08.因为f (2.25)·f (2.5)<0,所以x 0∈(2.25,2.5).同理,可得x 0∈(2.25,2.375)，x 0∈(2.312 5,2.375),x 0∈(2.343 75,2.375),x 0∈(2.343 75,2.359 375),x 0∈(2.343 75,2.351 562 5),x 0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.B 组1.将系数代入求根公式x 得x =223(3)42(1)22±--⨯⨯-⨯=4173+, 所以方程的两个解分别为x 1=4173+,x 2=4173-.下面用二分法求方程的近似解.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f (x )=2x 2-3x -1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f (1.775)=-0.023 75,f (1.8)=0.08.于是f (1.775)·f (1.8)<0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.2.原方程即x 3-6x 2-3x +5=0,令f (x )=x 3-6x 2-3x +5,函数图象如下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5).由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.图3-1-2-10(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.第三章复习参考题A组（P112）1.C2.C3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=200100,02,100200,2 5.t tt t-≤≤⎧⎨-<≤⎩图3-24.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形;(3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.图3-35.令f (x )=2x 3-4x 2-3x +1,函数图象如图3-3所示:函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x 3-4x 2-3x +1=0的最大的根应在区间(2,3)内.取区间(2,3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f (2.5)=-0.25.因为f (2.5)·f (3)<0,所以x 0∈(2.5,3). 再取(2.5,3)的中点x 2=2.75,用计算器可算得f (2.75)≈4.09.因为f (2.5)·f (2.75)<0,所以x 0∈(2.5,2.75).同理,可得x 0∈(2.5,2.625),x 0∈(2.5,2.5625),x 0∈(2.5,2.53125),x 0∈(2.515625,2.53125),x 0∈(2.515625,2.5234375).由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的最大根约为2.523 437 5.6.令lgx =x 1,即得方程lgx x 1-=0,再令g (x )=lgx x1-,用二分法求得交点的横坐标约为2.5.图3-47.如图,作DE ⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.因为AD=x ,AB=4,于是AD 2=AE×AB,即AE=AB AD 2=42x . 所以CD=AB-2AE=4-2×42x =422x -. 于是y =AB+BC+CD+AD=4+x +422x -+x =22x -+2x +8. 由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x >0,42x >0,422x ->0,解得0<x <22. 所以所求的函数为y =22x -+2x +8,0<x <22.8.(1)由已知可得N=N 0(λe 1)t .因为λ是正常数,e >1,所以e λ>1,即0<λe 1<1. 又N 0是正常数,所以N=N 0(λe1)t 是在于t 的减函数. (2)N=N 0e -λt ,因为e -λt =0N N ,所以-λt =ln 0N N ,即t =λ1-ln 0N N . (3)当N=20N 时,t =λ1-002N N =λ1-ln 2. 9.因为f (1)=-3+12+8=17>0,f (2)=-3×8+12×2+8=8>0,f (3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始. B 组1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.2.函数的解析式为y =f (t)=22,01,2)12,2.t t t t <≤⎪⎪⎪-<≤⎨>⎪⎩函数的图象为图3-5备课资料［备选例题］【例】对于函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b -2(a ≠0)，若存在实数x 0，使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.（1）当a =2,b =-2时，求f (x )的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围. 解：(1)f (x )=ax 2+(b +1)x +b -2(a ≠0),当a =2,b =-2时,f (x )=2x 2-x -4,设x 为其不动点,即2x 2-x -4=x ，则2x 2-2x -4=0,解得x 1=-1,x 2=2,即f (x )的不动点为-1,2．(2)由f (x )=x ,得ax 2+bx +b -2=0.关于x 的方程有相异实根,则b 2-4a (b -2)>0,即b 2-4ab +8a >0. 又对所有的b ∈R,b 2-4ab +8a >0恒成立,故有(4a )2-4·8a <0,得0<a <2.。

第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数A 级 基础巩固1．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由log 2(log 3x )＝0，得log 3x ＝1，则x ＝3. 同理y ＝4，z ＝2.所以x ＋y ＋z ＝3＋4＋2＝9. 答案：A2．已知log 2x ＝3，则x －12等于( ) A.13 B.123 C.133D.24 解析：因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8. 则x －12＝8－12＝18＝24. 答案：D3．log 242＋log 243＋log 244等于( ) A ．1 B ．2 C ．24 D.12解析：log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 答案：A4．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 24lg 32·lg 34lg 23＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.答案：C5．若lg x ＝a ，lg y ＝b ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( )A.12a －2b －2 B.12a －2b ＋1 C.12a －2b －1 D.12a －2b ＋2 解析：原式＝12lg x －2lg y 10＝12lg x －2(lg y －1)＝12a －2(b －1)＝12a －2b ＋2.答案：D6．对数式lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18的化简结果为( )A ．1B ．2C ．0D ．3解析：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0. 答案：C7．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________． 解析：因为log 2(1－2x )＝1＝log 22， 所以1－2x ＝2.所以x ＝－12.经检验满足1－2x ＞0.答案：－128．若x ＞0，且x 2＝916，则x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝________． 解析：由x ＞0，且x 2＝916.所以x ＝34.从而x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝34log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝43.答案：439．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________． 解析：因为lg(10m )＋lg 1m ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10m ·1m ＝lg 10＝1， 所以10x ＝1，得x ＝0. 答案：010．若log a b ·log 3a ＝4，则b ＝________． 解析：因为log a b ·log 3a ＝log 3blog 3a ·log 3a ＝log 3b ，所以log 3b ＝4，b ＝34＝81. 答案：8111．设log a 3＝m ，log a 5＝n .求a 2m ＋n 的值． 解：由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n ＝5， 所以a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45. 12．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 22； (2)lg 23－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1 000）lg 0.3·lg 1.2.解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋lg 22＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)原式＝lg 23－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32 lg 3＋3lg 2－32（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝（1－lg 3）·32（lg 3＋2lg 2－1）（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝－32.B 级 能力提升13．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 解析：因为lg 10＝1，ln e ＝1, 所以①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错；由e ＝ln x 得x ＝e e ，故④错． 答案：C14．已知2x＝3，log 4 83＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 解析：由2x ＝3，得x ＝log 23，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2×log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫3×83＝log 28＝3.答案：A15．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍．解析：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4. 设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝1032×9＋11.41032×8＋11.4＝1032＝1010. 即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍． 答案：101016．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1，求x ·y 34的值． 解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1. 所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.由于log 4(log 2y )＝1，知log 4y ＝4，所以y ＝24＝16.因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.17．一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)?解：设经过x 年，这台机器的价值为8万元，则8＝20(1－0.087 5)x ，即0.912 5x ＝0.4.两边取以10为底的对数，得x ＝lg 0.4lg 0.912 5＝lg 4－1lg 9.125－1＝2lg 2－1lg 9.125－1≈10(年)．所以约经过10年这台机器的价值为8万元．18．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18；乙写错了常数c ，得两根12，64.求这个方程的真正根．解：原方程变形为(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.① 由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18.所以c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，所以b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故方程①为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0， 解得log 2x ＝2或log 2x ＝3， 所以x ＝22或x ＝23.所以，这个方程的真正根为x ＝4或x ＝8.。

3.1.2 函数的表示法课后·训练提升 基础巩固1.已知一个面积为100 cm 2的等腰梯形,上底长为)表示成x 的函数为( )A.y=50x(x>0)B.y=100x(x>0)C.y=50x (x>0) D.y=100x(x>0)解析由x+3x 2·y=100,得2xy=100,则y=50x (x>0).2.已知f(x)={x -5,x ≥6,f (x +4),x <6,则f(3)的值为( )A.2B.5C.4D.33.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )A.3B.2C.1D.0g(x)的图象知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2. 4.如果f (1x )=x1-x ,那么当x≠0,且x≠1时,f(x)=( )A.1xB.1x -1C.11-xD.1x-1解析令1x=t(t≠0,且t≠1),则x=1t,所以f(t)=1t1-1t=1t -1,所以f(x)=1x -1(x≠0,且x≠1).5.某企业生产某种产品时的单位产品能耗y 与所生产的产品件数x 之间的函数解析式为y=ax+bx .其中,当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,且此产品生产件数不超过20.则y 关于x 的函数解析式为 . y=x+196x(0<x≤20,且x ∈N *),{2a +b2=100,7a +b 7=35,即{4a +b =200,49a +b =245,解得{a =1,b =196,所以所求函数的解析式为y=x+196x(0<x≤20,且x ∈N *).6.已知a,b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b= .f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24,即a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,比较系数得{a 2=1,2ab +4a =10,b 2+4b +3=24,解得{a =-1,b =-7或{a =1,b =3, 则5a-b=2.7.已知函数f(x)={1+1x ,x >1,x 2+1,-1≤x ≤1,2x +3,x <-1.(1)求f(f(f(-2)))的值; (2)若f(a)=32,求a.∵-2<-1,∴f(-2)=2×(-2)+3=-1,f(f(-2))=f(-1)=2. ∵2>1,∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+12=32.(2)当a>1时,f(a)=1+1a=32,解得a=2>1,符合题意;当-1≤a≤1时,f(a)=a 2+1=32,解得a=±√22∈[-1,1],符合题意;当a<-1时,f(a)=2a+3=32,解得a=-34>-1,不符合题意.综上,a=2或a=±√22.8.已知函数f(x)=,n ∈R),f(0)=f(1),且方程x=f(x)有两个相等的实数根.(1)求函数f(=-1.∴f(x)=x 2-x+n.∵方程x=f(x)有两个相等的实数根,即方程x 2-2x+n=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4n=0,解得n=1. ∴f(x)=x 2-x+1.(2)由(1),知f(x)=x 2-x+1.此函数图象的开口向上,对称轴为直线x=12.∴当x=12时,f(x)有最小值,最小值为f (12).而f (12)=(12)2−12+1=34,f(0)=1,f(3)=32-3+1=7, ∴当x ∈[0,3]时,函数f(x)的值域是[34,7].能力提升1.已知函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1),其中t>0,[t]为t 的整数部分,则g(5.5)=( ) A.5.035 B.5.56C.5.84D.5.382.设f(x)=2x+a,g(x)=14(x 2+3),且g(f(x))=x 2-x+1,则a 的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.1或-2g(x)=14(x 2+3),f(x)=2x+a,所以g(f(x))=14[(2x+a)2+3]=14(4x 2+4ax+a 2+3)=x 2+ax+a 2+34=x 2-x+1,所以a=-1.3.定义两种运算:a b=√a 2-b 2,a b=√(a -b )2,则函数f(x)=2⊕x(x ⊗2)-2的解析式为( ) A.f(x)=√4-x 2x ,x ∈[-2,0)∪(0,2] B.f(x)=√4-x 2x ,x ∈(-∞,-2]∪[2,+∞) C.f(x)=-√4-x 2x ,x ∈(-∞,-2]∪[2,+∞) D.f(x)=-√4-x 2x ,x ∈[-2,0)∪(0,2]2 x=√4-x 2,x 2=√(x -2)2,∴f(x)=2⊕x(x ⊗2)-2=√4-x 2√(x -2)2-2.由{4-x 2≥0,√(x -2)2-2≠0,得{-2≤x ≤2,x ≠0,且x ≠4, ∴-2≤x<0或0<x≤2,即定义域为[-2,0)∪(0,2].∴f(x)=√4-x 22-x -2=-√4-x 2x,x∈[-2,0)∪(0,2].故选D. 4.作出下列函数的图象: (1)y=x 2-4x; (2)y=x 2-4|x|; (3)y=|x 2-4x|.函数y=x2-4x的图象如图①所示.(2)函数y=x2-4|x|的图象如图②所示.(3)函数y=|x2-4x|的图象如图③所示.①②③5.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2√2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.令BF=x,试写出梯形ABCD位于直线l的左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出它的大致图象.,过点A,D 分别作AG ⊥BC,DH ⊥BC,垂足分别是点G,H.因为四边形ABCD 是等腰梯形,底角为45°,AB=2√2cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm. 又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.当点F 在线段BG 上,即x ∈[0,2]时,y=12x 2;当点F 在线段GH 上,即x ∈[2,5]时,y=2+2(x-2)=2x-2;当点F 在线段HC 上,即x ∈[5,7]时,y=12×(7+3)×2-12(7-x)2=-12(x-7)2+10.综上,梯形ABCD 位于直线l 的左边部分的面积y 关于x 的函数解析式为y={12x 2,x ∈[0,2],2x -2,x ∈(2,5],-12(x -7)2+10,x ∈(5,7].其大致图象如图所示.。

常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。

2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k xky 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3．对勾函数()bf x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

基于图形计算器的教学设计案例借助图形计算器 研究函数(0)ay x a x=+>的图像与性质 执教：杨一奋（江苏省常州市第五中学）【教学内容及解析】函数既是高中数学中的重要内容也是一条纽带，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程又把中学数学的各个分支紧紧连在一起。

近几年高考试题中，函数部分占有相当大比重，所考察内容主要有函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、以及函数图像的变换等。

对于函数这些性质，学生除了牢固掌握外还必须会灵活应用，并通过它们研究函数性质。

普通高中课程标准实验教科书《数学》的编排也基本是按照这几个方面直线编排，但学生学习后总觉得各部分是孤立的，对其整体理解很欠缺，因此有必要设置一个载体，实现知识点间的横向联系，让学生自主研究。

本课教学重点：函数图像的猜想、验证，函数单调性、值域的归纳及验证，让学生掌握研究方法也是这节课的重点内容。

在系统学习过必修一中的指数函数、对数函数及幂函数后，学生的函数知识掌握情况及函数的意识如何，需要通过新的函数研究加以检验；本课例选用对勾函数作为研究对象，一是因为对勾函数作为一种常见而又特殊的函数，其单调性较基本初等函数复杂，同时涉及到多种类型（本课时限定为研究(0)a y x a x=+>），对学生而言有一定难度和挑战，却也是检测学生函数意识的较好载体。

通过对函数图像的猜想，利用图形计算器验证图像，实现从数到形，从形到数的完美结合，让学生充分感觉数形结合思想的重要性；运用类比思想，找到研究方案，结合图像，归纳新函数性质，再用代数方法证明性质考虑到学生缺少基本不等式及导数的知识准备，在考察对勾函数的极值点（本文称为“转折点”）时会遇到一定的困难，因此选用了图形计算器作为研究工具。

【教学目标及解析】(一)教学目标1、技术操作层面：掌握图形计算器中“表格”、“图形”、“动态图形”等模块的基本操作命令，能利用函数分析等命令自行进行数学观察和思考。

第3章函数的概念与性质3.1 函数3.1.1 对函数概念的再认识必备知识基础练1.函数f(x)=√x+1的定义域是( )x-1A.[-1,1)B.[-1,1)∪(1,+∞)C.[-1,+∞)D.(1,+∞)2.下列各图一定不是函数图象的是( )3.在下列关于x,y的关系式中,y可以表示为x的函数关系式的是( )A.x2+y2=1B.|x|+|y|=1C.x3+y2=1D.x2+y3=14.(广州广雅中学高一期末)下列四组函数中,表示同一个函数的一组是( ) A.y=|x|,u=√v 2 B.y=√x 2,s=(√t )2 C.y=x 2-1x -1,m=n+1D.y=√x +1·√x -1,y=√x 2-1 5.函数f(x)=3x+1+√2-x 的定义域为 .6.若函数f(x)=ax 2-1,a 为正实数,且f(f(-1))=-1,则a 的值是 .7.已知函数f(x)=1+x 21-x 2.(1)求f(x)的定义域; (2)若f(a)=2,求a 的值; (3)求证:f (1x )=-f(x).关键能力提升练8.设f(x)=1+2x -1,x≠±1,则f(-x)等于( )A.f(x)B.-f(x)C.-1f (x )D.1f (x )9.(湖南长沙天心校级期末)下列函数与函数y=x 2相等的是( ) A.u=v 2B.y=x·|x|C.y=x 3xD.y=(√x )410.(多选题)(浙江东阳高一期中)下列函数值域为[0,4]的是( ) A.f(x)=x-1,x ∈[1,5] B.f(x)=-x 2+4 C.f(x)=√16-x 2 D.f(x)=x+1x -2(x>0)11.(1)函数y=2x+1,x ∈(-1,1]的值域是 . (2)函数y=x 2+x+2,x ∈R 的值域是 .12.若关于x 的函数y=√kx 2-6kx +8的定义域是R,则k 的取值范围是 . 13.已知函数f(x)=x 2x 2+1.(1)求f(1),f(2)+f (12)的值;(2)证明:f(x)+f (1x)等于定值.答案： 1.B 由{x +1≥0,x -1≠0,解得x≥-1,且x≠1.2.A 由函数的定义可知,一个x 的值只能对应一个y 的值,而选项A 中一个x 的值可能对应两个y 的值,故不是函数图象.故选A.3.D 根据函数的定义,函数关系中任意一个x 都有唯一的y 对应,选项A,B,C 中关于x,y 的关系式中,存在x 有两个y 与之对应,不能构成函数关系,选项D 中的任意一个x 都有唯一的y 对应,能构成函数关系.故选D.4.A 对于A,y=|x|和u=√v 2=|v|的定义域都是R,对应关系也相同,因此是同一个函数;对于B,y=√x 2的定义域为R,s=(√t )2的定义域为{t|t≥0},两函数定义域不同,因此不是同一个函数; 对于C,y=x 2-1x -1的定义域为{=n+1的定义域为R,两函数定义域不同,因此不是同一个函数;对于D,y=√x +1·√x -1的定义域为{x|x≥1},y=√x 2-1的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A. 5.(-∞,-1)∪(-1,2] 要使f(x)有意义,则{2-x ≥0,x +1≠0,解得x≤2且x≠-1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,2].6.1 ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a -1)2-1=a 3-2a 2+a-1=-1,∴a 3-2a 2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.7.(1)解要使函数f(x)=1+x 21-x2有意义,只需1-x 2≠0, 解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}. (2)解因为f(x)=1+x 21-x 2,且f(a)=2,所以f(a)=1+a 21-a2=2,即a 2=13,解得a=±√33. (3)证明由已知得f (1x )=1+(1x )21-(1x)2=x 2+1x 2-1,-f(x)=-1+x 21-x 2=x 2+1x 2-1,所以f (1x )=-f(x). 8.D f(x)=1+2x -1=x+1x -1,则f(-x)=-x+1-x -1=x -1x+1=1f (x ),故选D.9.A 对于A,y=x 2的定义域为R,u=v 2的定义域为R,定义域和对应关系都相同,y=x 2与u=v 2相等;对于B,y=x 2与y=x·|x|的对应关系不同,不是同一个函数; 对于C,y=x 3x 的定义域为{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数;对于D,y=(√x )4的定义域为{x|x≥0},定义域不同,不是同一个函数.故选A.10.AC 当x ∈[1,5]时,x-1∈[0,4],所以函数f(x)=x-1,x ∈[1,5]的值域是[0,4],故A 正确;因为-x 2≤0,所以-x 2+4≤4,所以函数值域是(-∞,4],故B 错误;因为-x 2≤0,所以16-x 2≤16,又16-x 2≥0,所以0≤√16-x 2≤4,即函数值域为[0,4],故C 正确;因为x>0,所以x+1x≥2,所以x+1x-2≥0,当且仅当x=1时等号成立,故函数值域为[0,+∞),故D 错误.故选AC. 11.(1)(-1,3] (2)[74,+∞) (1)∵-1<x≤1,∴-2<2x≤2.∴-1<2x+1≤3. ∴函数的值域为(-1,3]. (2)∵x 2+x+2=x+122+74≥74,∴函数的值域为74,+∞.12.[0,89] ∵函数y=√kx 2-6kx +8的定义域是R, ∴kx 2-6kx+8≥0对于x ∈R 恒成立. ①当k=0时,8≥0成立;②当k>0时,Δ=(-6k)2-4×k×8≤0, 解得0<k≤89.综上,k 的取值范围为[0,89].13.(1)解f(1)=1212+1=12;f(2)=2222+1=45,f (12)=(12)2(12)2+1=15,所以f(2)+f (12)=45+15=1.(2)证明f (1x)=(1x )2(1x)2+1=1x 2+1,所以f(x)+f (1x )=x 2x 2+1+1x 2+1=1,为定值.。