2014级第一学期高等数学期末考试复习

高数第一学期总复习题函数、极限、连续选择题1、下列函数中为偶函数的是（ ）。

A.2x xey -= B. x x y cos 2+= C. 2x x e e y --= D. 21sin xx+ 2、下列各对函数中是相同函数的是（ ）。

A.22)(,x y x y ==； B.1,112+=--=x y x x y ； C.)sin (cos ,22x x x y x y +== D.x y x y lg 2,lg 2==3、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=→），则设x f x x x x x x f x (lim 0,10,00,1)(0（ ） A. 1- B. 0 C.1 D. 不存在4、,0()1sin 1,0x e x f x x x x ⎧>⎪=⎨+<⎪⎩,则0lim ()x f x →= ( ) A ．不存在 B ． 1 C ． 2 D ． 0 5、=-→2102lim x x （ ）A ．0B ．1C ．∞+D ．∞- 6、=+∞→xxx x sin lim（ ）A.0B. 1C.不存在D.∞7、=∞→xx x 1sinlim （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 8、下列等式正确的是（ ） A ．01sinlim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→xx x C ．1sin 1lim =∞→x x x D ．0sin 1lim 0=→x x x9、下列各式正确的是（ ）。

A.e x xx =+∞→1)1(lim B. e x xx =+→)1(lim 0 C. e xx x =+∞→)11(lim D. e x x x =+∞→1)11(lim10、=→x xx 2sin lim0( ) A ．21B ．0C ．1D ．211、的是时，下列函数为无穷小当+→0x ( )A. x x 1sin ；B. x e 1； C. x ln ； D. x xsin 1；12、在指定变化过程中，（ ）是无穷小A. )0(,1sin →x xB.)0(,1→x e x C. )0(),1ln(→+x x D. )3(,932→--x x x13、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f 在),(+∞-∞上是连续函数，则a=（ ）A. 0 ；B. 1 ；C. 31； D. 3 ；14、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=2,2,223)(2x a x x x x x f 在处x=2处连续，则a=（ ） A. 0 ； B. 1 ； C.2； D. 任意值；15、函数)1ln(2)(x x x f ++-=的连续区间是（ ）A ．]2,1[- B.]2,1(- C.)2,1(- D.)2,1[-2)2()(1611--=-x e x x f x 、的连续区间是（ ）A.),2()2,(+∞⋃-∞B. ),1()1,(+∞⋃-∞C.),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞D. )2,1()1,(⋃-∞填空题1、已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=)(x f 2、=====)(,tan ,,32x f y x v v u y u则复合函数 3、函数⎩⎨⎧>≤+=0cos 02)(x xx ax x f 在0=x 处连续,则=a4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x xx x f ，在0=x 处连续，则=k ． 5、432lim 23=-+-→x k x x x 存在， 则ｋ＝ ，6、2lim(1)xx x→∞-=7、=++-+∞→552lim 32x x x x x ，=++∞→424532lim x x x x8、=++-→11sin)1(lim 1x x x 9、函数)2)(1(2)(++-=x x x x f 的连续区间是__________．10、函数2312+--=x x x y 的间断点为 计算题1、1)1sin(lim 21+--→x x x2、x x x x x +-→20sin lim3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311lim 31x x x 4、()x x x x x --++∞→22lim5、xx x 11lim 0--→ 6、x x xx tan cos 1lim 0-→ 7、521lim5---→x x x 8、 xx x 311lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→9、()xx x 1051lim +→ 10、x x x 2)41(lim -∞→ 11、 1231lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 12、 )2sin(11lim 0x x x -+→导数与微分选择题1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且2)(0'=x f ，则hx f h x f h )()(lim000--→=（ ）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 2、曲线x y =在点（4 , 2）处的切线方程为（ ）A.044=+-y xB. 044=++y x C ． 044=++y x D ． 044=+-y x 3、若x x x f cos sin )(+=，则='])3([πf （ ）A ．21+23 B ．0 C ．21-+23 D ．2123-4、设2cos y x =，则dy =( )；Ａ、22cos x x dx - Ｂ、22cos x x dx Ｃ、22sin x x dx - Ｄ、22sin x x dx 5、设函数=y )(2x f -，则=dy （ ）A ．dx x f )(2-'B ．dx x f x )(22-' C ．)(22x f x -'- D ．dx x f x )(22-'-6、设函数12)(-=x ex f ，则f （x ）在0=x 处的二阶导数)0(f ''为（ ）A ．0B ．1-eC ．41-e D ． e7、若)1ln()(2xex f -+=，则=')0(f （ ）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 8、已知一质点作变速直线运动的位移函数223,tS t e t =+为时间，则在时刻2t =处的速度和加速度分别为（ ）A 、44122,64e e ++ B 、44122,122e e ++ C 、4464,64e e ++ D 、4412,6e e ++ 9、曲线x x y 32-=上一点（1，-2）处的切线方程为（ ）（A ） 01=+-y x （B ）01=--y x （C ） 01=-+y x （D ） 01=++y x填空题1、曲线26322-+=x x y 上一点M 的切线斜率为15，则点M 的坐标为 ． 2、曲线x y ln =上点（1，0）处切线方程为 ． 3、曲线x e x y +=在x=0处的切线方程是 ； 4、已知处可导，在0)(x x f ，则 =∆-∆-→∆xx f x f x )()x (lim 000．5、已知y xe y -=1，则dx dy= ． 6、已知函数2x e y -=，则该函数的微分dy =7、设ln ,xy e x =则_______;dy =8、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体 就不断冷却若物体 的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____； 9、设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t),则在0t 时刻的电流为 10、一个质量非均匀的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量为kg x m 23=，则当x=1m 时的线密度为计算题 A 、求导数1.x x x y cos 413-+=, 2.1123+-=x y x , 3. 4cos tan 2π+=x x y 4. 23cos 2y x x =+5.3)(l n x y =，6、)ln(ln x y =，7、xy 1cos=，8、x e y x 5sin = ， 9、21arcsin x x x y --= 10、)ln(3x x y +=， 11、210(25)y x x =-+ ， 12、)2(tan 23+=x yB.求微分1、x x y 31+=2、x e y cos =3、x e x y 22=4、21xx y +=C. 求下列隐函数的导数y '1. 0922=+-xy y 2. yxe y -=1 3. y e y x xsin 2=- 4.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy导数的应用选择题1、函数21)(x xx f +=（ ） A ．在),(+∞-∞内单调增加 B ．在),(+∞-∞内单调减少 C ．在)1,1(-内单调增加 D ．在)1,1(-内单调减少 2、的单调增加区间是函数)1ln()(2x x f +=（ ）A.)5,5(-B.)0,(-∞C. ),0(+∞D.).(∞+-∞ 3、函数()y f x =在点0x 处取极值，则必有（ ）；A 、0()0f x '=,B 、 0)(≠'x f ，C 、0()0f x '=或0()f x '不存在，D 、0()f x '不存在4、若()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()0,f x f x '''><则()y f x =在(,)a b 内（ ）：5、A 、单调增加且凸 B 、单调增加且凹 C 、单调减少且凸 D 、单调减少且凹 曲线16)(23++-=x x x x f 的凹区间是( )A ．(-∞,2)B ．( 2,+∞)C ．( -∞,-2)D ．(-2,2)6、设函数()f x 在[1,2]上可导，且()0,f x '<(1)0,(2)0f f ><，则()f x 在（1，2） 内（ ）。

第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。

（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

高数第一学期期末考试复习提纲第一篇：高数第一学期期末考试复习提纲第一学期《工科数学》期末考试复习提纲一、基本概念要求（1）理解并熟练掌握函数的四种特性，即单调性、奇偶性、有界性和周期性；（2）熟悉分段定义函数；（3）理解极限的ε-N,ε-δ,ε-X定义，理解极限的唯一性、有界性、保号性；（4）理解无穷小的概念、等价无穷小的性质；（5）理解极限存在的两个准则并会应用这两个准则证明极限的存在性；（6）理解并熟练掌握函数的连续性定义、间断点的分类；（7）熟悉闭区间上连续函数的性质（8）理解导数、左右导数的定义；（9）理解函数微分的定义及其近似公式；（10）理解微分中值定理并熟悉三个定理的条件、结论；（11）熟练掌握函数的单调性与极值、凹凸性与拐点的判定定理和方法；（12）理解并掌握原函数与不定积分的概念和性质；（13）理解定积分的定义、定积分存在的必要条件和充分条件；（14）理解并掌握定积分的性质特别是估值定理和积分中值定理；（15）理解并掌握变限积分的定义和性质，理解并掌握牛顿—莱布尼兹公式；（16）理解并掌握定积分应用的元素法；（17）理解两类广义积分的定义及其敛散性。

二、基本运算和论证能力要求价无穷小代换、洛比达法则等；（1）熟练掌握求极限的基本方法，如四则运算法则、极限存在法则、两个重要极限、等（2）熟练掌握求导的基本方法，如复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数的求导、对数求导法、高阶导数等；（3）熟练掌握分段定义函数在分段点可导性的讨论方法；（4）能够运用微分中值定理和函数的单调性证明某些不等式，运用微分中值定理证明某些方程的根的存在性和唯一性；（5）能够运用导数的知识对函数的性态进行分析，熟练掌握函数图形的描绘；（6）熟练掌握函数的极值、最大值、最小值问题的求解方法；（7）熟练掌握不定积分的基本求解方法，特别是第一、二类换元积分法、分部积分法等；（8）熟练掌握定积分的基本求解方法，熟练掌握变限积分有关问题的求解方法；（9）熟练掌握定积分的几何应用，特别是在直角坐标系下的面积、体积的计算。

金华十校2013-2014学年第一学期期末调研考试高三数学（理科）试题卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟． 试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 S =4πR 2 V =Sh 球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．V =43πR 3棱台的体积公式其中R 表示球的半径 V =13h (S 1S 2) 棱锥的体积公式 其中S 1、S 2表示棱台的上、下底面积，h 表示棱 V =13Sh 台的高．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )= P (A )+ P (B )第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合M ={x |2x >1}，N ={x | x ≥1}，则)M N =R （ðA ．[1,+∞)B ．(0,1)C ．(-∞,0)D ． (0,+∞)2． 复数2i1i--（i 为虚数单位）在复平面上对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． 已知a ，b 是实数，则“|a -b |≥|a |+|b |”是“ab <0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是A ．4B ．5C ．6D ．75． 在空间中，若m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．α∥β, m ⊂α, n ⊂β⇒ m ∥nB ．α⊥β, n ∥α, m ⊥β⇒n ⊥mC ． m ∥n , m ⊥α⇒n ⊥αD ．m ∥n , m ∥α⇒ n ∥α6. 若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n = 4-a n (n ∈N *)，则a 5=（第4题）A ．1B ．12C ．14D ．187． 有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲学校，则不同的保送方案有A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种8． 若实数x ,y 满足不等式组40,,20,x y x x y k -⎧⎪⎨⎪++⎩≥≤≤且z =x +3y 的最大值为12，则实数k =A ．-12B ． 323-C ．-9D ． 143-9． 已知A ，B ，C 是单位圆O 上任意的不同三点，若2OA OB xOC =+，则正实数x 的取值范围为 A ．(0,2]B ．[1,3]C ．[2,4]D ．[3,5]10．对于项数都为m 的数列{a n }和{b n }，记b k 为a 1,a 2,…,a k (k =1,2,…,m )中的最小值，给出下列命题：①若数列{b n }的前5项依次为5，5，3，3，1，则a 4=3； ②若数列{b n }是递减数列，则数列{a n }也是递减数列； ③数列{b n }可能是先递减后递增的数列； ④若数列{a n }是递增数列，则数列{b n }是常数列． 其中，是真命题的为A ．①④B ． ①③C ．②③D ． ②④第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分． 11． 等差数列{a n }中，a 2=3，S 5=25则公差d = ▲ ． 12．62)x的展开式中，常数项为 ▲ ．13．已知函数y =A sin(ωx +ϕ)（A >0,ω>0）的部分图象如图 所示，则此函数的最小正周期为 ▲ ．14．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何 体最长的一条侧棱长度是 ▲ cm ．15．已知向量a ，b ，c 满足a +b +c =0，| c |=，且c 与a -b 所 成的角为120°，则当t ∈R 时，|t a +(1-t )b |的取值范围是▲ ．16．已知点F ( c >0)是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线与抛物线y =2362x +相切，则该双曲线的离心率为 ▲ ．17．若函数21()lg 1x ax f x x x ++=⋅-的值域为(0,)+∞，则实数a 的最小值为 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c =1，6C π=． (Ⅰ)若ab 的值；(Ⅱ)求cos A cos B 的取值范围．19．（本题满分14分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ）5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分 ）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x xt x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分） 3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即 x x y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dx dy y ln 1)ln 1(+=+，即yx dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 ) ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 ) 322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 ) 解2 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，----------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，x y dx dy x y dx dy y x y x 11ln 111ln 122⋅+⋅⋅-=⋅⋅+-xx xy yy xy dx dy ln ln 22++=∴ （直接再求导比较繁琐，需化简后再求导）----------------------------------------------------------------------------------------- ( 2分 )由x yy x ln 1ln 1=得x x y y ln ln =， xx xy y y xy dx dy ln ln 22++=y xy xy x xy xy ln ln ++=y xln 1ln 1++=, 以下同解1. 三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xx x 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(s i n s i n 1)s i n 1(s i n s i n 1c o s s i n 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(.解 )(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ) ⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442c o s s i n ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 274⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2） dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdw w dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dt dy（cm/s ）. -------------------------------------------------- ( 2分 ) 2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解 ct dtdxt v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 ) cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdx W 04＝22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(x x x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x ,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 ) 六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分）[]x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C eC y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Ro lle中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )令nnx a xa x a x f n sin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .。

高数2014复习题doc一、极限1. 极限的定义：- 函数在某点的极限定义。

- 无穷远处的极限定义。

2. 极限的性质：- 极限的唯一性。

- 极限的有界性。

- 极限的保号性。

3. 极限的运算法则：- 极限的加法法则。

- 极限的乘法法则。

- 极限的复合法则。

4. 无穷小的比较：- 无穷小的阶数定义。

- 高阶无穷小与低阶无穷小的比较。

5. 极限的求解方法：- 直接代入法。

- 夹逼定理。

- 洛必达法则。

二、导数与微分1. 导数的定义：- 导数的几何意义。

- 导数的物理意义。

2. 导数的基本公式：- 幂函数的导数。

- 指数函数的导数。

- 对数函数的导数。

3. 导数的运算法则：- 导数的加法法则。

- 导数的乘法法则。

- 链式法则。

4. 高阶导数：- 二阶导数的定义。

- 高阶导数的计算。

5. 微分的概念：- 微分的定义。

- 微分与导数的关系。

三、积分1. 不定积分：- 不定积分的定义。

- 不定积分的基本公式。

- 换元积分法。

- 分部积分法。

2. 定积分：- 定积分的定义。

- 定积分的性质。

- 定积分的计算。

3. 定积分的应用：- 面积问题。

- 体积问题。

- 物理问题。

四、级数1. 级数的基本概念：- 级数的收敛性。

- 级数的发散性。

2. 正项级数：- 比较判别法。

- 比值判别法。

3. 交错级数：- 交错级数的收敛性。

4. 幂级数：- 幂级数的定义。

- 幂级数的收敛区间。

5. 函数的泰勒级数展开：- 泰勒公式。

- 常见函数的泰勒级数展开。

五、多元函数微分1. 偏导数：- 偏导数的定义。

- 偏导数的计算。

2. 全微分：- 全微分的定义。

- 全微分与偏导数的关系。

3. 多元函数的极值：- 极值的定义。

- 极值的求解方法。

六、多元函数积分1. 二重积分：- 二重积分的定义。

- 二重积分的计算。

2. 三重积分：- 三重积分的定义。

- 三重积分的计算。

3. 重积分的应用：- 体积的计算。

- 质量的计算。

结束语本复习题涵盖了高等数学的主要知识点，希望同学们能够通过这些题目的练习，加深对高等数学概念和方法的理解，为即将到来的考试做好充分的准备。

《高等数学》作业复习题（成教理工类本科）第六章 常微分方程一、选择题1、微分方程23d 2d 0y x x y +=的阶是[ ]．A 、 2,B 、 1,C 、0,D 、3．2、2'()()y x x y x x +=是[ ]．A 、一阶线性微分方程,B 、 可分离变量的微分方程,C 、齐次微分方程,D 、 二阶线性微分方程．3、下列微分方程中，[ ]是二阶线性微分方程. A 、2d sin d y y x x x +=， B 、222d d y y x x=， C 、d d 0x y y x -=， D 、2''3'2y y y x ++=．4、下列函数中, [ ]是方程7120y y y '''-+=的解.A 、3y x =，B 、1e x y +=，C 、3e x y =，D 、2y x =．5、 下列函数中，[ ]是方程'2y y -=-的通解.A 、e x y C =，B 、e 2x yC =+，C 、e x y =，D 、e 2x y =+．二、填空题1、若曲线上任意点(,)M x y 处切线的斜率为x 2,则y 满足的微分方程为 .2、微分方程e xy '=的通解为_________．3、微分方程d d 0x x y y +=的通解为________.4、已知二阶线性齐次方程的两个解为1e x y =，22e x y =，则该微分方程的特征根为 .5、设1e x y =，22e x y =都是微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的解，则该微分方程的通解为________.三、计算题1、求下列微分方程的通解：（1）d d y x x y=； dy/dx=x/yydy=xdx2ydy=2xdxd(y^2)=d(x^2)y^2=x^2+C（2）d 0d y y x-=；Dy/y=-P(x)dx=dx p(x)=-1两边积分 ∫Dy/y=∫dx得 ln 丨y 丨= -∫P(x)dx+c=∫d(x)+c=x+c即y=±e^(x+c)=±e^x * e^c=C*e^x（3）d20 dyyx+=；Dy/y=-P(x)dx=-2dx p(x)=2两边积分∫Dy/y=∫-2dx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=-∫2d(x)+c=-2x+c 即y=±e^(-2x+c)=±e^-2x * e^c=C*e^-2x（4）d30 dxxy y-=；（5）ddyxyx=；Dy/y=-P(x)dx=xdx p(x)=-x两边积分∫Dy/y=∫-xdx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=∫xd(x)+c=x^2/2+c即y=±e^(x^2/2+c)=±e^(x^2/2) * e^c=C*e^(x^2/2)（6）2d 2d y xy x =．2、求下列微分方程满足初始条件的特解: (1) d 1,(0)0d yy y x -==；Dy/dx=y+1 令t=y+1 则dt/dx=dy/dx=t dt/t=-P(x)dx=dx p(x)=-1 Ln 丨t 丨= -∫p(x)dx+c1=∫dx+c1=x+c1即 t=±e^(x+c1)=±e^c1*e^x=C*e^x=y+1Y=c*e^x-1由题得 y(0)=c*e^0-1=c-1=0 即c=1Y=e^x-1(2) d11,(1)1 dyy yx x-==；(3) d1,(1)0d2y xy yx x-=-=；(4) d22,(0)0dyxy x yx+==；（5）d 13,(1)0d yy y x x x -==．3、求下列微分方程的通解：(1) ''20y -=；(2) ''20y x -=；(3) ''sin y x =；（4）2''e x y =．4、求下列微分方程的通解：(1) ''4'30y y y -+=；(2) ''2'0y y y -+=；（3）''6'0y y -=．参考答案：一.选择题1-5 BADCB ．二、填空题1、'2y x =,2、e x y C =+，3、22x y C +=，4、121,2r r ==，5、2112=C e e x x y C +． 三、计算题1、（1）22y x C =+；（2）=Ce x y ；（3）2=Ce x y -；（4）3x Cy =；(5)212=Ce x y ；（6）21y x C=-+． 2、(1) e 1x y =-；(2) (1ln )y x x =+ ；(3)21122y x x =-；（4）2=1-e x y -；（5）33y x =-+． 3、(1) 2y x C =+；（2）31213y x C x C =++；（3）12sin y x C x C =-++e x ；（4）2121e 4x y C x C =++． 4、（1）1e x y C =+32e x C ；（2）()x C C y 21+=e x ；（3）1y C =+62e x C ．第八章 多元函数微分学一、选择题1、设函数(,)f x y xy =，则(,1)f y =[ ]．A 、,B 、xy ,C xy ,D y ．2、已知()22,f x y x y x y -+=+，则()1,1f -=[ ]. A 、 0, B 、 1-,C 、1,D 、2．3、设函数 u xyz =，则 []du =．A 、yzdx ，B 、xzdy ，C 、xydz ，D 、yzdx xzdy xydz ++．4、 点(0,0)是函数z xy =的[ ]．A 、极大值点，B 、驻点，C 、非驻点，D 、极小值点．5、设函数(,)f x y =则点(0,0)是函数(,)f x y 的[ ]. A 、最小值点，B 、最大值点，C 、驻点，D 、间断点．二、填空题1、函数z =的定义域是 ，其中r 为常数.2、()(),0,0lim x y →= .3、()()22,0,11lim x y xy x y →-=+ . 4、(,)(0,0)sin lim x y xy x →= . 5、函数z = .三、计算题1、求下列函数的定义域：（1）求函数x z y =的定义域；（2）求函数z =（3）求函数z =.（4）求函数z=的定义域.2、求下列函数的极限：（1）22 (,)(2,0)limx yx xy yx y→+++；（2）22 (,)(1,1)limx yx yx y→--；（3）(,)lim x y →（4）(,)(0,0)1lim sin()x y xy xy →；（5）(,)(,)1lim 1xyx y xy →+∞+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（6）(,)(,)1lim sin x y x xy →+∞+∞．3、求下列函数的一阶偏导数：（1）2z x y =+；（2）z xy =；(3) y z x= ；（4）e xy z =；（5）sin()z xy =；（6）()22ln z x y =+．4、已知2x z y =，求22z x ∂∂，22z y ∂∂，2z x y∂∂∂.5、求函数z xy =在点()0,0处，当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的全增量和全微分.6、求下列函数的全微分：（1）22z x y =+；（2）()sin z y x y =+；（3）221ln()2z x y =+；(4)求33z x y y x =-在点(1,1)处的全微分．7、求下列函数的极值：（1）22z x y =+；（2）221z x y =--；（3）222z x xy y x y =-+-+；（4）333z x xy y =-+.参考答案：一.选择题1-5 DCDBA ．二、填空题1、(){}222,|x y x y r +<,2、12y =，3、1，4、0，5、(0,0)． 三、计算题1、(1) {}(,)|0D x y y =≠；（2）{}{}(,)|0,0(,)|0,0D x y x y x y x y =>>⋃<<；（3）{}(,)|0D x y x y =+>；（4）{}22(,)|14D x y x y =≤+<．2、(1) 2 ；（2）2；(3)6；（4）1，（5）=e y ；（6）0．3、（1）2,1z z x x y ∂∂==∂∂；（2）,z z y x x y ∂∂==∂∂；（3）21,z y z x x y x∂∂=-=∂∂； (4) e ,e xy xy z z y x x y ∂∂==∂∂；（5）cos(),cos()z z y xy x xy x y∂∂==∂∂； （6）222222,z x z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+． 4、220z x ∂=∂,2246z x y y ∂=∂,232z x y y∂=-∂∂. 5、0.72z ∆=，0.7dz =.6、（1）22xdx ydy -；（2）()cos (sin()cos())dz y x y dx x y y x y dy =+++++，（3）22xdx ydy z x y+=+；（4）22dx dy -． 7、（1）极小值(0,0)1f =；（2）极大值(0,0)1f =；（3）极小值(1,0)1f =-；（4）极小值(1,1)1f =-．第九章 多元函数积分学一、选择题1、二重积分()22221x y x y dxdy +≤--⎰⎰的值[ ]．A 、小于零，B 、大于零，C 、等于零，D 、等于1-．2、 设D 是由2214x y ≤+≤围成，则Dd σ=⎰⎰[ ]．A 、π，B 、2π，C 、3π ，D 、4π．3、设积分曲线L ：,(01)y x x =≤≤，则对弧长的曲线积分()Lx y ds -=⎰[ ]． A 、0， B 、1， C 、－1， D 、3．4、设L 是圆周222x y +=，则对弧长的曲线积分22()L x y ds +=⎰ [ ]． A 、π4， B 、π24， C 、π28， D 、π8．5、下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为[ ]．A 、(2)d (2)d L x y x x y y -+-⎰，B 、(2)d (2)d Lx y x y x y ++-⎰， C 、(2)d (2)d L x y x x y y +++⎰， D 、(2)d (2)d Lx y x x y y ++-⎰．二、填空题1、设D 是由曲线224x y +=与两坐标轴所围成的第一象限部分的平面区域，则二重积分d d Dx y ⎰⎰= .2、设积分区域D 由,1,0y x x y ===所围成，将二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________．3、设平面曲线L 为半圆周y =22()d Lx y s +=⎰ ．4、已知曲线积分(,)d 2d Lf x y x x y +⎰与路径无关，则(,)f x y y ∂=∂__________． 5、若曲线积分d d L P x Q y +⎰在G 内与路径无关，则沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分d d CP x Q y +=⎰ __________．三、计算题1、在直角坐标系下计算下列二重积分：(1)D xd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 01x ≤≤，02y ≤≤；(2)Dyd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 11x -≤≤，01y ≤≤；(3) 2D y d x σ⎰⎰，其中D 是矩形闭区域: 12x ≤≤，01y ≤≤；（4）D yd ⎰⎰σ，其中D 是由直线,0,1y x y x ===所围成的闭区域；（5）()32D x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；（6）()22D x y y d σ+-⎰⎰，其中D 是由y x =，2x y =和2y =所围成的区域；（7）3Dxy d ⎰⎰σ，其中D 由曲线2y x =，1x =及0y =围成的区域；（8）计算二重积分2e x Dd -σ⎰⎰，其中积分区域D 是由直线,1y x x ==及x 轴所围成的区域．2、利用极坐标计算下列二重积分：（1）22(1)Dx y d +-⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（2）Dσ⎰⎰，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（3）()221d Dxy σ--⎰⎰，其中D 是由圆0y =，y x =和422=+y x 所围成的区域.（4）22e x y Dd +⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域224x y +≤；3、计算下列对弧长的曲线积分： （1）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（2）计算2d Ly s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（3）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =上点()0,0O 与点()1,1B 之间的线段；4、计算下列对坐标的曲线积分： （1）计算d Ly x ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（2）计算d Lx y ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（3）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（4）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2x y =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（5）利用格林公式计算2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-⎰ ，其中曲线L 为取正向的圆周229x y +=；（6）利用格林公式计算()()2222Lxy dx y x dy ++-⎰ ，其中L 是由0y =，1x =，y x =所围成的闭曲线的正向.（7）计算L ydx xdy+⎰，积分路径L：从点(),0R-沿上半圆周222x y R+=到点(),0R．（请用格林公式和与路径无关两种方法计算）参考答案： 一.选择题 1-5 ACABC ． 二、填空题1、π,2、10(,)xdx f x y dy ⎰⎰，3、π，4、2，5、0．三、计算题 1、（1）1； （2）1；(3) 14；（4）16；（5）203；（6）323；（7）140；（8）11(1-e )2-．2、（1）2-π；（2）23π；（3）16π；（4）4(e 1)π-．3、（1）12 ；（2）1；(3) 2． 4、（1）13；（2）23；（3）1；（4）1；（5）18-π，（6）1-；（7）0．第十章 无穷级数一、选择题1、对级数∑∞=1n na，“0lim =∞→n n a ”是它收敛的[ ]条件．A 、充分，B ．必要，C ．充要，D ．非充分且非必要．2、设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中一定发散的是[ ]．A 、11nn u∞=+∑， B 、11n n u∞+=∑，C 、1(3)nn u ∞=+∑， D 、16nn u∞=∑．3、若lim 1n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑[ ]．A 、发散，B 、不一定发散，C 、收敛，D 、绝对收敛．4、若级数∑∞=1n na条件收敛，则级数∑∞=1n na必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、条件收敛．5、 若级数∑∞=1n na收敛，级数∑∞=1n nb发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、敛散性不定．二、填空题1、已知无穷级数231123333n n u ∞==+++∑ ，则通项n u =__________.2、 若级数∑∞=+-1)1(n n n a收敛，则常数=a ．3、级数1n ∞=________.4、级数112nn ∞=∑的敛散性为________.5、 幂级数0nn x∞=∑的收敛半径为______.三、计算题1、用级数的性质判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=-1)1(n n；（2）21n n∞=∑；（3）21113n n n∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑； （4）21223n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（5）1112n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（6）1222n n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．2、用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1112n n ∞=+∑；(2) ()∑∞=-+1212n nn；(3) 2111n n ∞=+∑；(4) 12nn n∞=∑．3、用比值判别法判定下列级数的敛散性：（1）13n n n ∞=∑；（2）∑∞=+1212n n n ；（3） 212nn n ∞=∑；（4）1!3n n n ∞=∑．（5）12!nn n∞=∑4、判定下列交错级数的敛散性：（1）()111nn n ∞=-+∑；（2）11nn ∞=-；（3）()112nn n ∞=-∑；（4）()11n n n ∞=-∑．5、求下列级数的收敛半径:（1）1n n nx ∞=∑；（2）21(1)n n n x ∞=+∑；（3）1nn x n∞=∑；（4）212nn x n ∞=∑；（5）31(3)nn n x n ∞=-∑；（6）12nn n x n ∞=∑．参考答案：一.选择题1-5 BCABB ．二、填空题1、3nn , 2、0，3、发散，4、收敛，5、1R =． 三、计算题1、(1) 发散；（2）发散；（3）收敛；（4）收敛；（5）发散；（6）发散．2、（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．3、（1）收敛；(2) 收敛；（3）发散；（4）发散；（5）收敛．4、(1) 收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．5、（1）1R =；（2）1R =；（3）1R =；（4）1R =；（5）13R =；（6）2R =．。

参考答案一、选择题1—5 DACAB; 6—10 BACDB二、填空题11、,22,1;12、3log 2；13、2；14、1 ; 15、②③16．解：832543yx yx解得21yx --------4分所以交点（-1，2）（1）2k-----3分直线方程为02yx --------8分（2）21k---------6分直线方程为052y x --------12分17.（1）因为函数y=f(x)在R 上至少有一个零点，所以方程x 2＋2ax ＋1－a =0至少有一个实数根，所以Δ=2a ×2a-4(1-a)≥0,得（2）函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1－a ，对称轴方程为x ＝-a . (1)当-a <0即a>0时，f (x )min ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝-2，∴a ＝3……….6分(2)当0≤-a ≤１即-1≤a ≤0时，f (x )min ＝f(-a)=-a 2－a ＋1，∴-a 2－a ＋1＝-2，∴a=(舍)……..8分(3)当-a>1即a<-1时， f (x)min ＝f (1)＝2+a ，∴2+a=-2 , ∴a ＝-4……….10分综上可知，a ＝－4或a ＝3. ..................................12分18.解：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ．∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线，∴ PA//EO ．而EO 平面EDB ，且PA平面EDB ，所以，PA//平面EDB ．……6分(2) EFDBV =94……12分19.（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0xym xy. ……2分联立2704x y xy 解得31x y 所以直线l 恒过定点(3,1)P .……4分（2）当直线l 与CP 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦何时最短.……6分设此时直线与圆交与,A B 两点.直线l 的斜率211m k m ，121312CPk .由211()112m m 解得34m .……8分此时直线l 的方程为250xy.圆心(1,2)C 到250xy 的距离|225|55d. ……10分22||||25525AP BP r d.所以最短弦长||2||45AB AP . …………12分20.解:(1)证明:连BD,设AC 交BD 于O,由题意SO ⊥AC.在正方形ABCD 中,AC ⊥BD,所以AC ⊥平面SBD,得AC ⊥SD …………4分(2)设正方形边长a,则a SD2.又a OD22,所以∠SDO ＝60°．连OP,由(1)知AC ⊥平面SBD,所以AC ⊥OP,且AC ⊥OD.所以∠POD 是二面角P －AC－D 的平面角. 由SD ⊥平面PAC,知SD ⊥OP,所以∠POD ＝30°，即二面角P －AC －D 的大小为30° (8)分km4412116341 (3)在棱SC 上存在一点E,使BE ∥平面PAC. 由(2)可得a PD42,故可在SP 上取一点N,使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC的交点即为 E.连BN,在△BDN 中知BN ∥PO . 又由于NE ∥PC,故平面BEN ∥平面PAC,得BE ∥平面PAC. 由于SN ∶NP ＝2∶1,故SE ∶EC ＝2∶1…………13分21.解：（1）∵xx f 3)(,且18)2(af ∴1832a ，23a∵xxaxaxx g 4)3(43)(，∴xxx g 42)(4分（2）10)(，x g 在上单调递减，证明如下：设1021x x )221)(22(4242)()(2112112212x x x x x x x x x g x g ∵1021x x ∴,221,221,222112x x x x ∴422221x x ∴1221321x x ，∴0)221)(22(2112x x x x ∴)()(12x g x g ∴10)(，x g 在上单调递减…………9分（3）方程为240ttm，令2,2,2tkx，则1,44k方程20kkm 在4,41内有两个不同的解2211()24mkkk 由图知31,164m时，方程有两个不同解∴31,164M (14)分。

2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。