冲刺第二讲

一．选择题（共12小题）1．（奉贤区一模）如图所示，电源电压保持不变，闭合电键S 后，当滑动变阻器的滑片P 向右端移动时，变大的是（）A．电流表A示数B．电压表V1示数C．电压表V1示数与电流表A示数的比值D．电压表V2示数与电流表A示数的比值【答案】D。

2．（泰安一模）如图所示。

电源电压为4.5V，电流表量程为“0～0.6A”，滑动变阻器规格为“10Ω，1A”，小灯泡L标有“2.5V，1.25W”（不考虑温度对灯丝电阻的影响）。

在保证通过小灯泡L的电流不超过额定电流的情况下，移动滑动变阻器的滑片，下列说法中（）①小灯泡的额定电流是0.5A②电流表的示数变化范围是0～0.5A③电压表的示数变化范围是2V～3V④滑动变阻器连入电路的阻值变化范围是4Ω～10ΩA．只有①②正确B．只有③④正确C．只有②④正确D．只有①③④正确【答案】D解：（1）由P=UI可得灯泡的额定电流：I额===0.5A，故①正确；（2）由电路图可知，灯泡与滑动变阻器串联，电压表测滑动变阻器两端的电压。

灯泡正常发光时的电压为2.5V，功率为1.25W，当灯泡正常发光时，串联电路总电压等于各分电压之和，此时电压表的最小示数U滑=U﹣U L=4.5V﹣2.5V=2V，此时电路中的最大电流I max=0.5A，此时滑动变阻器接入电路的电阻最小，由I=可得：R滑min===4Ω；（3）由I=可得：灯泡的电阻：R L===5Ω，滑动变阻器接入电路中的电阻最大，电路中的最小电流，则根据串联电路的特点和欧姆定律可得：I min===0.3A，电路中电流变化的范围是0.3A～0.5A，故②错误；此时灯泡分担的电压最小U L小=I min R L=0.3A×5Ω=1.5V，滑动变阻器两端的最大电压：U滑max=U﹣U L小=4.5V﹣1.5V=3V，即电压表最大示数，电压表的示数范围为2V～3V，故③正确；此时滑动变阻器的最大阻值R max===10Ω，所以滑动变阻器的范围是4Ω～10Ω，故④正确。

专题02 第2课《俄国的改革》知识精讲俄国的发展：1、俄罗斯人的祖先是东斯拉夫人的一支。

2、9世纪晚期建立基辅罗斯。

3、13世界上半叶基辅罗斯被蒙古征服，反抗蒙古过程中，莫斯科公国崛起。

4、16世纪初统一了俄国。

5、伊凡四世即位后，采用“沙皇”的称号，强化了沙皇的专制权力。

6、俄国在沙皇的专制统治下，盛行农奴制。

彼得一世改革：改革时间：18世纪初.改革目的：改变俄国落后的面貌，实现富国强兵。

改革内容：1、建立了中央集权的行政体制，进一步加强了沙皇的专制权力。

2、创建纪律严明的新式常备军，要求贵族必须到军队或行政机构为国家服务，按功劳和才能提拔人才。

3、鼓励兴办手工工场，准许工场主购买整个村庄的农奴。

4、推行文化教育，派遣留学生，创办科学院，开办学校，创办报纸。

5、提倡人们学习西方的礼节与生活方式。

改革影响：1、通过改革，俄国的经济、军事实力大大增强，一跃成为欧洲军事强国，为对外扩张准备了条件。

2、改革以强兵和学习西方科学技术为目标，开启了俄国近代化的进程。

扩张案例：1700-1721年，俄国与瑞典进行战争，俄国全胜，夺取了波罗的海的出海口，建了新首都-圣彼得堡。

改革弊端：农奴制进一步强化，后来成为俄国社会发展的障碍。

废除农奴制背景（原因）：19世纪中期，农奴制严重阻碍了俄国资本主义的发展。

改革实施者：亚历山大二世改革时间：1861年，因此亚历山大二世改革也称1861年农奴制改革。

改革内容：农奴获得人身自由，可以改变身份，自由转换职业。

农奴在获得解放的同时，可以获得一份土地，但是必须出钱赎买，所出的价钱高于当时的低价。

改革影响：1861年农奴制改革是俄国历史上的一个重要的转折点，改革废除了农奴制，促使社会的各个方面出现了新的气象，推动俄国走上了发展资本主义的道路。

改革弊端：农奴制的残余仍然存在，影响着俄国经济与社会的发展。

同步提升一、选择题1．开启了俄国近代化的进程，使农奴制进一步强化的俄国改革是A．彼得一世改革B．废除农奴制的改革C．俄国十月革命D．明治维新【答案】A【解析】根据所学知识可知，彼得一世改革以强兵和学习西方科学技术为目标，开启了俄国近代化的进程。

一、单选题:1、某堤防防洪标准为 50 年一遇，属 2 级堤防，在这个堤防上建一个流量为0 . 5m3／s 的小型穿堤涵洞，该穿堤涵洞建筑物的级别是（）。

A . 1 级B . 2 级C . 4 级D . 5 级A B C D你的答案：标准答案：b本题分数： 5.77 分，你答题的情况为错误所以你的得分为0 分解析：2、确定堤防工程级别的指标是（）。

A ．保护城市重要性B ．保护农田面积C ．防洪标准D ．堤防高度A B C D你的答案：标准答案：c本题分数： 5.77 分，你答题的情况为错误所以你的得分为0 分解析：3、对于堤防的构造，下列说法错误的是（）。

A ．土质堤防的构造与作用和土石坝类似，包括坝顶、防渗体、护坡、坝坡排水及坝体排水等构造B ．堤高超过 6m 的背水坡应设戗台，宽度不宜小于 1 .5mC ．堤高超过 10m 的背水坡应设戗台，宽度不宜小于 1 . 5mD ．风浪大的海堤、湖堤临水侧宜设置消浪平台A B C D你的答案：标准答案：c本题分数： 5.77 分，你答题的情况为错误所以你的得分为0 分解析：4、关于碾压混凝土重力坝的结构特点，下列说法错误的是（）。

A ．碾压混凝土重力坝一般不需设坝体排水B ．碾压混凝土重力坝采用通仓浇筑，不设纵缝，也可减少或不设横缝C ．内部结构应尽量简化，廊道数量可适当减少，中等高度以下的坝只设一层坝基灌浆、排水廊道D ．坝体上游的常规混凝土可用作防渗体，厚度及抗渗指标均应满足坝体的防渗要求，一般布置在距上游面约 3m 范围内A B C D你的答案：标准答案：a本题分数： 5.77 分，你答题的情况为错误所以你的得分为0 分解析：5、水闸主轴线的测设误差应小于（）。

A . 40"；B . 30 " ；C . 20 " ；D . 10 "A B C D你的答案：标准答案：d本题分数： 5.77 分，你答题的情况为错误所以你的得分为0 分解析：6、一般地形条件下渠道中心线位置标定使用的测量仪器是（）。

第2讲数列求和及其综合应用错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2)＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证． [跟踪训练](2016·兰州模拟)等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13构成等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得： a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，即a 2＝5. 又(5－d ＋2)(5＋d ＋13)＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，所以a 1＝a 2－d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n ＋1. 又b 1＝a 1＋2＝5，b 2＝a 2＋5＝10，所以公比q ＝2， 所以b n ＝5×2n －1.(2)因为T n ＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1]， 2T n ＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ]，两式相减得－T n ＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ]＝5[(1－2n )2n －1]， 则T n ＝5[(2n －1)2n ＋1]．裂项相消法求和[学生用书P35]共研典例类题通法 1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1；(4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n. 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2016·海口调研测试)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝7，且a 2，a 5，a 10成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ； (2)若b n ＝5a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)因为a 2，a 5，a 10成等比数列， 所以(7＋d )(7＋9d )＝(7＋4d )2， 又因为d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋5，S n ＝（7＋2n ＋5）n 2＝n 2＋6n .(2)由(1)可得b n ＝5（2n ＋5）（2n ＋7）＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋5－12n ＋7， 所以T n ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋19－111＋…＋12n ＋5－12n ＋7＝5n14n ＋49.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．[跟踪训练](2016·石家庄模拟)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.分组转化求和[学生用书P35]共研典例类题通法 分组转化求和的三种类型分组转化求和是把数列之和分为几组，每组中的各项是可以利用公式(或其他方法)求和的，求出各组之和即得整体之和，这类试题一般有如下三种类型：(1)数列是周期数列，先求出每个周期内的各项之和，然后把整体之和按照周期进行划分，再得出整体之和；(2)奇偶项分别有相同的特征的数列(如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列)，按照奇数项和偶数项分组求和；(3)通项中含有(－1)n 的数列，按照奇数项、偶数项分组，或者按照n 为奇数、偶数分类求和．(2016·呼和浩特模拟)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2)(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】(1)因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a n ＋n ≠0， 所以{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 所以a n ＝2n ＋1－n .(2)S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.[题组通关]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝( )A ．1009B ．1010C ．－1009D ．－1010B [解析] 因为a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017)＋2018＝1008×(－1)＋2018＝1010.2．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{a 2n －1}是首项为1的等差数列，数列{a 2n }是首项为2的等比数列，且满足S 3＝a 4，a 3＋a 5＝a 4＋2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S 2n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 5＝1＋2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋d ＝2q ，（1＋d ）＋（1＋2d ）＝2＋2q ，解得d ＝2，q ＝3.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，(k ∈N *)．(2)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2×30＋2×31＋…＋2×3n －1) ＝（1＋2n －1）n 2＋2（1－3n ）1－3＝n 2－1＋3n .等差、等比数列的综合问题[学生用书P36]共研典例类题通法解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34.【解】(1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *，得（a n ＋1－1）＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，即1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，亦即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项， －1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)证明：因为b n ＝a n ＋1a n －1＝（n ＋1）2n （n ＋2）－1＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜12×⎝⎛⎭⎫1＋12＝34.解决数列综合问题的方法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解. [跟踪训练](2016·武汉模拟)已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（2n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公差为d (d ≠0)， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d .因为d ≠0，所以d ＝2a 1.① 因为a 3＝－52，所以a 1＋2d ＝－52.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12d ＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12.(2)因为b n ＝1（2n ＋1）a n ＝1（2n ＋1）⎝⎛⎭⎫－n ＋12＝－2（2n ＋1）（2n －1）＝12n ＋1－12n －1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫13－1＋⎝⎛⎭⎫15－13＋⎝⎛⎭⎫17－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n －1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 课时作业[学生用书P120(独立成册)]1．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4a 8＝32，则S 11的最小值为( ) A ．22 2B ．442C ．22D ．44B [解析] 因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝82，S 11＝（a 1＋a 11）×112＝112(a 4＋a 8)≥112×82＝442，故S 11的最小值为442，当且仅当a 4＝a 8＝42时取等号．2．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．3105B [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3. 所以{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列． 所以a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 令a n ≤0，得n ≤21. 所以前20项都为负值． 所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30 ＝－2S 20＋S 30.因为S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( )A ．20B ．40C ．60D ．80C [解析] 由a n ＋1＝a na n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为263，又40＝6×6＋4，所以S 40＝6×263＋1＋3＋3＋1＝60.4．(2016·郑州模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝12，a 24＝4a 2a 8，若1b n＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A ．－2011B.2011C ．－95D.95A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝4a 2a 8，所以(a 1q 3)2＝4a 1q ·a 1q 7，即4q 2＝1，所以q ＝12或q ＝－12(舍)，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＝2－n ，所以log 2a n ＝log 22－n ＝－n ，所以1b n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n （1＋n ）2，所以b n ＝－2n （1＋n ）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项和为－2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝－2·⎝⎛⎭⎫1－111＝－2011. 5．设b n ＝a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3133B.3233C.3166D.1633C [解析] 由题意得，b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n ＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166.6．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a＞0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．9C [解析] 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＞0，知f （x ）g （x ）在R 上是增函数，即f （x ）g （x ）＝a x 为增函数，所以a ＞1.又因为a ＋1a ＝52，所以a ＝2或a ＝12(舍)．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2＞62.即2n ＞32，所以n ＞5.7．(2016·海口调研测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n ＋3＝________．[解析] 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2. [答案]43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋28．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为________．[解析] 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. [答案]29．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2017＝________．[解析] 因为a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，所以a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，所以S 2017＝1009a 1＋1008a 2＝1009×⎝⎛⎭⎫12－2＋1008×2＝10052. [答案]1005210．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________．[解析]因为⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，所以a 3＝a 2＋2＝4，所以S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9（2＋18）2＝91. [答案]9111．(2016·东北四市联考)已知数列{a n }满足a 1＝511，a 6＝－12，且数列{a n }的每一项加上1后成为等比数列．(1)求a n ；(2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意数列{a n ＋1}是等比数列，设公比为q ，a 1＋1＝512，a 6＋1＝12＝512×q 5， 解得q ＝14. 则数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝211－2n ，a n ＝211－2n －1.(2)由(1)知b n ＝|11－2n |，当n ≤5时，T n ＝10n －n 2，当n ≥6时，T n ＝n 2－10n ＋50，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5n 2－10n ＋50，n ≥6. 12．(2016·哈尔滨模拟)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.13．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞n n ＋1. [解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2. 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．(选做题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，－2，⎝⎛⎭⎫7π12，2，且在区间⎝⎛⎭⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30. [解] (1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， 因为|φ|＜π，所以φ＝－2π3. (2)因为a n ＝2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3，所以a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3)＝－3(n ∈N *)， 所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－10 3.。

2020数学中考冲刺专项练习【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；新定义问题：是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决问题. 这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．解决此类题的步骤: ①理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；③类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

类型1：方法模拟型，该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．类型2：新知识学习型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．类型3：信息处理型，这类题目主要是根据提供的表格，从中获得信息，并结合题意进行解答，这就需要我们将表格内容转化为数学信息或者已知条件。

类型4：阅读操作型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】2018年某省积极推进乡村规划和特色小城镇建设，各市地将结合本地实际，因地制宜培育一到三个设施完善、特色鲜明的典型示范镇，全面推进特色小城镇建设。

专题训练对应学生用书P076[1](2019·全国卷Ⅱ)Marian Bechtel sits at West Palm Beach's Bar Louie counter by herself, quietly reading her e-book as she waits for her salad. What is she reading? None of your business! Lunch is Bechtel's “me” time. And like more Americ ans, she's not alone.A new report found 46 percent of meals are eaten alone in America. More than half(53 percent) have breakfast alone and nearly half (46 percent) have lunch by themselves. Only at dinnertime are we eating together anymore, 74 percent, according to statistics from the report.“I prefer to go out and be out. Alone, but together, you know？”Bechtel said, looking up from her book. Bechtel, who works in downtown West Palm Beach, has lunch with coworkers sometimes, but like many of us, too often works through lunch at her desk. A lunchtime escape allows her to keep a boss from tapping her on the shoulder. She returns to work feeling energized. “Today, I just wanted some time to myself，”she said.Just two seats over, Andrew Mazoleny, a local videographer, is finishing his lunch at the bar. He likes that he can sit and check his phone in peace or chat up the barkeeper with whom he's on a first-name basis if he wants to have a little interaction(交流). “I reflect on how my day's gone and think about the rest of the week，” he said. “It's a chance for self-reflection. You return to work recharged and with a plan.”That freedom to choose is one reason more people like to eat alone. There was a time when people may have felt awkward about asking for a table for one, but those days are over. Now, we have our smartphones to keep us company at the table. “It doesn't feel as alone as it may have before all the advances in technology，” said Laurie Demeritt, whose company provided the statistics for the report.【语篇解读】本文体裁为说明文。

专题训练对应学生用书P071[1](2019·全国卷Ⅱ)Bacteria are an annoying problem for astronauts. The microorganisms(微生物) from our bodies grow uncontrollably on surfaces of the International Space Station, so astronauts spend hours cleaning them up each week. How is NASA overcoming this very tiny big problem? It's turning to a bunch of high school kids. But not just any kids. It is depending on NASA HUNCH high school classrooms, like the one science teachers Gene Gordon and Donna Himmelberg lead at Fairport High School in Fairport, New York.HUNCH is designed to connect high school classrooms with NASA engineers. For the past two years, Gordon's students have been studying ways to kill bacteria in zero gravity, and they think they're close to a solution(解决方案). “We don't give the students any breaks. They have to do it just like NASA engineers，” says Florence Gold, a project manager.“There are no tests，” Gordon says. “There is no graded homework. There almost are no grades, other than ‘Are you working towards your goal？’Basically, it's ‘I've got to produce this product and then, at the end of the year, present it to NASA.’ Engineers come and really do an in-person review, and...it's not a very nice thing at times. It's a hard business review of your product.”Gordon says the HUNCH program has an impact(影响) on college admissions and practical life skills. “These kids are so absorbed in their studies that I just sit back.I don't teach.” And that annoying bacteria? Gordon says his students are emailing daily with NASA engineers about the problem, readying a workable solution to test in space.【语篇解读】本文体裁为记叙文。

中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。

整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。

2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。

事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。

3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。

如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。

4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。

5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。

一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。

一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。

6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。

7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。

第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。

ABCD FE G S 3 S 2S 1 一模冲刺（二）1．关于二次函数()21y a x =+的图像，下列说法中，正确的是（ ）A ．是一条开口向上的抛物线；B ．顶点坐标为()1,0；C ．可以由二次函数2y ax =的图像向上平移一个单位得到；D ．可以由二次函数2y ax =的图像向左平移一个单位得到．2．已知△ABC 与△DEF 相似，且A D ∠=∠,那么下列结论中，一定成立的是（ ）A ．B E ∠=∠； B ．AB AC DE DF =； C ．相似比为AB DE ；D ．相似比为BCEF．3. 如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，其中甲船沿北偏 西30︒方向航行，乙船沿南偏西70︒方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A 、B 处， 那么点B 位于点A 的（ ）A ．南偏西40︒；B ．南偏西30︒；C . 南偏西20︒；D .南偏西10︒．4. 如图，D 、E 、F 、G 是△ABC 边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，DE ，FG 将△ABC 分成三个部分，它们的面积比为123::1:2:3S S S =，那么::DE FG BC = .5．如图1，已知抛物线2y x =，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过点()1,3A ,那么平移后的抛物线的表达式是 ． 6．已知一个二次函数的图像具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线1x =左侧的部分，图像下降，在直线1x =右侧的部分，图像上升，试写出一个符合要求的二次函数解析式 ．7．已知A 、B 是抛物线221y x x =+-上的两点（A 在B 的左侧），且AB 与x 轴平行，4AB =，则点A 的坐标为 ．D C B A 8．如图，D 是△ABC 内一点，且∠ADC =∠BDA =∠BDC ,如果2AD =，3BD =，∠ABC =60︒，那么CD = .9.已知函数()2230y ax ax a =-+>图像上点()2,n 与()3,m ，则n m . （填“>,<或无法确定”）10．已知抛物线x x y 62+=，点()2,A m 与点(),4B n 关于该抛物线的对称轴对称，那么m n +的值等于 ．11．如图3，已知△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，CE AB ⊥，垂足为点E ，3sin 5DCE ∠=，则cot A = ．CAD EB12．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为．13．如图，河流两岸a ，b 互相平行，C ，D 是河岸a 上间隔50米的两个电线杆．小英在河岸b 上的A 处测得 ∠DAB =30°，然后沿河岸走了100米到达B 处，测得∠CBM =60°，求河流的宽度．14．已知：如图，在△ABC 中，AB AC =，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ． 求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF DB EF ⋅=⋅．B D Ca bA 第22题图M BC15．已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数)0(2>+-=b c bx x y 的图像经过点()1,A b -，与y 轴相交于点B ，且∠ABO 的余切值为3．（1）求点B 的坐标； （2）求这个函数的解析式；（3）如果这个函数图像的顶点为C ，求证：∠ACB =∠ABO ．16. 已知二次函数()2230y ax ax a a =-->.（1）求此二次函数图像与x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标；（2）若此二次函数图像与y 轴交于点C ，且△AOC ∽△COB （字母依次对应）. ①求a 的值；②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标.17．如图，已知抛物线2y x bx c =-++过点()2,0A ，对称轴为y 轴，顶点为P ． （1）求该抛物线的表达式，写出其顶点P 的坐标，并画出其大致图像；（2）把该抛物线先向右平移m 个单位，再向下平移m 个单位（0m >），记新抛物线的顶点为B ，与y 轴的交点为C ．①试用m 的代数式表示点B 、点C 的坐标；②若45OBC ∠=︒，试求m 的值．B CD E A 18．如图，在梯形ACDB 中，AB ∥CD ，∠A =90︒，3AB =，6CD =，BE CB ⊥交直线AD 于点E . （1）当点E 与D 恰好重合时，求AD 的长；（2）当点E 在边AD 上时（E 不与A 、D 重合），设AD x =，ED y =试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）问：是否可能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似？若能，请求出此时AD 的长；若不能，请说明理由.19．如图，已知tan 2MON ∠=，点P 是MON ∠内一点，PC OM ⊥，垂足为点C ，2PC =，6OC =，A 是OC 延长线上一点，联结AP 并延长与射线ON 交于点B ．（1）当点P 恰好是线段AB 的中点时，试判断△AOB 的形状，并说明理由； （2）当CA 为长度为多少时，△AOB 是等腰三角形； （3）设APk AB =，是否存在适当的k ，使得APC OBPCS k S ∆=四边形，若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． N BOCPAMN BOCPAM。

（1）图中的方格纸中有5个编号为1，2，3，4，5的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方形的展开图，这两个正方形的编号可以是（）。

（A）1，2 （B）2，3 （C）3，4 （D）4，5（2）在右图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（）。

（A）369 （B）396 （C）459 （D）549（3）A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A->C,B->E,C->A,D->B,E->D.开始A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（）.（A）C与D (B) A与D (C) C与E (D) A与B（4）老师问学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人”李：“一个人”王：“二个人”赵：“三个人”刘：“四个人”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话，那么，昨天这5个人中复习数学的有（）个人。

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3（5）如右图所示，在7X7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，它们以相同的速度沿格线爬行到格点M, N, P, Q (图中空心圆圈所表示的四个位置)中的某个聚会，所用时间总和最小的格点是（）。

（6）四支排球队进行单循环赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场。

如果一场比赛的比分是3：0或3：1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3：2，则胜队得2分，负队得1分。

比赛的结果各队得分切好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分。

（7）甲乙两车分别从A，B两地同时出发，且在A，B两地往返来回匀速行使。

若两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A，则两车第15次（在A，B两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了______小时。