陕西省西安中学2020届高三数学仿真考试试题(一)文【含答案】

西安中学高2020届高三第六次模拟考试数学（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若集合{,Z}42M x x k k ππ==+⋅∈，{,Z}24N x x k k ππ==+⋅∈，则( )A. M N =B. N M ⊆ C M N ⊆ D. Φ=N M I 2.复数20192i z +-=的共轭复数.A.221i + B.221i - C. i --2 D. i +-23. 刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 .A.π3 B.π2 C. π22 D. π233 4.设πππ⎪⎭⎫⎝⎛===1,,31lg 3.0c b a ，则 .A.a c b <<B.c a b <<C. a b c <<D.b a c <<5.一动圆圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此圆过定点 .A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,0)6. 已知函数)(x f y =的部分图象如上图所示，则)(x f 的解+析式可能为 .A.1cos 12+-x xB.11sin 2++x x C.1sin 2+x x D. 1|sin |2+x x7. 设n%m 表示自然数n 被正整数m 除所得余数， [x]表示不超过x 的最大整数，如20%7=6，[3.14]=3.在图示框图中，若输入2049 ,则输出值为( ).A. 15B. 20C. 45D. 388.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=则5S =( ). A. 32 B. 31 C. 30D. 299.一个正方体纸盒展开后如下图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成角为︒60；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ，其中正确的是( ) .A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③10.ABC ∆的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22()2a b c S +-=,则tan C 的值是（ ）.A.43B.43-C.34D. 34- 11. 已知双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的左右焦点分别为21,F F ,经过1F 的直线分别交双曲线的左右两支于点N M ,，连接22,NF MF ，若,022=⋅NF MF 且22NF MF =，则该双曲线的离心率为（ ）.A.2B.3C.5D. 612.已知},,1),{(22Z y Z x y x y x A ∈∈≤+=,},,3,3),{(Z y Z x y x y x B ∈∈≤≤=.定义集合},),(,),(),{(22112121B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕,则B A ⊕的元素个数n 满足（ ）.A.77=nB. 49≤nC. 64=nD. 81≥n二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2-=⋅DB AE 则BE AE ⋅的值为______.14.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若1,24242=+=+S S a a 则10a ________．15.已知20,30,230,y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．16. 若某直线被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则该直线的倾斜角大小为_______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分12分）已知函数1478sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x f . （Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数]14.2[),(-∈=x x f y 的图像（不要求写出作图过程）; （II ）令1)4(1)()(-+-=x f x f x g , 求函数)(x g 的定义域及不等式1)(≥x g 的解集.18.（本小题满分12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数学成绩x 145 130 120 105 100 物理成绩y 110 90 102 78 70数据表明y x （Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（II ）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（Ⅰ）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（III ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数，． ，，．19.（本小题满分12分）如图，六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且︒=∠=∠90ADC BAD ，4,2======CD AD ED EF AF AB ,沿AD 进行翻折，得到的图形如图所示，且︒=∠90AEC .（Ⅰ）求证：ADEF CD 面⊥；（II ）求证:点F B C E ,,,不在同一平面内； （III ）求翻折后所得多面体ABCDEF 的体积．20.（本小题满分12分）已知抛物线221:b by x C =+经过椭圆)0(1:22222>>=+b a by a x C 的两个焦点.（Ⅰ） 求椭圆2C 的离心率；（II ）设点),3(b Q ,又N M ,为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若MNQ ∆的重心在抛物线1C 上，求椭圆2C 的方程. 21. （本小题满分12分）设函数.ln )(xxa x x f += （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程; （Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间;（III ）当0>a 时，若)(x f 存在极值点0x ,求证:.4)(30e x f >22．选考题（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为96cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，圆C 的方程为θρsin 4=．（Ⅰ）求出直角坐标系中l 的方程和圆心C 的极坐标； （Ⅱ）若射线)0(3≥=ρπθ分别与圆C 与和直线l 交点B A ,（A 异于原点）,求AB 长度．23.选考题（本小题满分10分）已知函数312)(---=x x x f . （Ⅰ）求不等式5)(≤x f 的解集M ；（Ⅱ）设实数M b a ∈,,求证：51)(749-≤++≤b a ab .陕西省西安中学高2020届高三第六次模拟考试 西安中学高2020届高三第六次模拟考试 数学（文）答案一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C DAABDABDBBA13. 3 14. 8 15. [-4,3] 16. ︒15和︒75 三、解答题17. （Ⅰ）148sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππx x f2分6分（Ⅱ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-=48tan 48cos 248sin 21)4(1)()(ππππππx x x x f x f x g ， 函数的定义域为Z k k k ∈+-,28,68）（， 不等式的解集为},288{Z k k x k x ∈+<≤.12分18. 解：（Ⅰ）由题意可知，故．，故回归方程为．5分（Ⅱ）将代入上述方程，得．8分（III ）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36． 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．12分19. （Ⅰ）在等腰梯形ADEF 中，作于M ，则，， ．连接AC ，则， ，，，；，平面ADEF .4分（Ⅱ）设G 为CD 中点，则易知ABGD 为平行四边形，故BG ∥AD,又EF ∥AD,所以FE ∥BG,于是由Ⅰ知，平面ADEF ，而平面ABCD ，E,F,B,G 共面，而C 显然不在此平面内，所以点F B C E ,,,不在同一平面内.7分（III ）由Ⅰ知，平面ADEF ，而平面ABCD ，平面平面ADEF ． ，平面ABCD ，．12分20. （Ⅰ）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c ， 所以220c b b +⨯=，即22c b =，由22222a b c c =+=得椭圆2C的离心率e =. 5分（Ⅱ）由（1）可知222a b =，椭圆2C 的方程为222212x y b b+=联立抛物线1C 的方程22x by b +=得2220y by b --=，8分解得：2by =-或y b =（舍去）,所以x =，即(,),,)22b b M N --，所以QMN ∆的重心坐标为(1,0). 因为重心在1C 上，所以2210b b +⨯=，得1b =.所以22a =.12分21.（Ⅰ）当1=a 时，222ln 1ln 11)(xx x x x x f -+=-+='. 从而切线斜率'(1)2k f ==，切线方程为12(1)y x -=-，即210x y -+=.3分（Ⅱ）当1=a 时，222ln 1ln 11)(x x x x x x f -+=-+='.令x x x g ln 1)(2-+=，则)0(12)(2>-='x x x x g 可.于是，)(x g 知在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22上递增.从而[]022ln 23)22()(ln 1)(min 2>-==≥-+=g x g x x x g . 所以，函数)(x f 的单调区间为),0(+∞.7分（III ）22ln )(xa x a x x f +-='，由题设得函数a x a x x h +-=ln )(2有正零点，设为0x ，即02ln x a a x =+. 由x a x a x x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='22222)( 知，)(x h 知在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0a 上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22a上递增，所以[]022ln 23)22()(min <-==a a a a h x h 于是2322ln >a ，即32e a >.10分于是3000200020042222.ln )(e a x ax x a x x x a x x f >≥+=+=+=.12分22. （Ⅰ） 直线l 的直角坐标系方程为09-y x 3=+，2分圆心（0,2）的极坐标为)2,2(π. 5分（Ⅱ）363cos 293sin4||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πππρρB A AB .10分23. （Ⅰ）不等式解集}37{≤≤-=x x M .5分（Ⅱ） 1070,107037,37-≤+≤≤+≤⇒≤≤-≤≤b a b a ， 于是100)7)(7(0≤++≤b a ， 即10049)(70≤+++≤b a ab ，所以，51)(749-≤++≤b a ab .。

2020届陕西省西安市高三三模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：B解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ，进而求得A B 的子集个数.解：由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B. 点评：本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2．已知复数i 2iz -= （其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．1+2iC ．-1-2iD ．-1+2i答案：A 复数()22i 212i i i z i i--===+ z 的共轭复数是12i -.故选A.3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34-i f 的值为（ ）A ．17B ．5CD ．25答案：C先由题意，得到()341,4f i -=--，再由向量模的坐标公式，即可得出结果. 解：因为向量()1,0i =，向量()1,1f =， 所以()341,4f i -=--，因此(341f i -=-=故选：C. 点评：本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案：D解：试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错． 中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2， B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22答案：C根据已知的递推关系求5a ，从而得到正确答案. 解：11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选：C 点评：本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型. 6．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：A首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 解：因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 点评：本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．函数f(x)＝e x cosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A ． B ．0 C ．D ．1答案：A求函数导数，代入x=0得到切线斜率，进而得倾斜角. 解：由f′(x)＝e x (cosx －sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k ＝f′(0)＝1，故倾斜角为4π， 选A. 点评：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.8．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 解：函数2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选D ． 点评：本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力． 9．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题： ①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ； ③若m α⊥，βn//，且//m n ，则αβ⊥； ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ． 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①④答案：A利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断①③④的正误；举反例可判断②错误. 解：对于命题①，若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则//m β或m β⊂，若m β⊂，则αβ⊥；若//m β，则过直线m 的平面γ与平面β的交线l 满足//l m ，m α⊥，l α∴⊥，又l β⊂，αβ∴⊥.命题①正确；对于命题②，若直线m 、n 同时与平面α、β的交线a 平行，且m α⊄，n β⊄， 则//m α，βn//，但α与β不平行，命题②错误； 对于命题③④，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，//n β，则过直线n 的平面μ与平面β的交线b 满足//b n ，b α∴⊥，b β⊂，αβ∴⊥，命题③正确，命题④错误.故选：A. 点评：本题考查面面位置关系命题正误的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6x π=，则a 的值为（）A ．5BC ．3D答案：D化简函数f （x ）＝a cos x +sin x 为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线6x π=对称，就是6x π=时，函数取得最值，求出a 即可．解：函数f （x ）＝a cos x +sin x =（x +θ），其中tan θ＝a ，22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，其图象关于直线6x π=对称，所以θ62ππ+=，θ3π=，所以tan θ＝a =故答案为D 点评：本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．11．已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92答案：B设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果. 解：设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ． 点评：本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．12．定义域和值域均为[﹣a ，a ]（常数a ＞0）的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ）的图象如图所示，方程g [f （x ）]＝0解得个数不可能的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D由图象知()0g x =有一个(0,)a 上的正根k ，结合图象可知()f x k =根的个数. 解：因为[,]x a a ∈-时，()0g x =有唯一解， 不妨设唯一解为k ，由()g x 图象可知(0,)k a ∈， 则由g [f （x ）]＝0可得()f x k =，因为(0,)k a ∈，由()f x 图象可知，()f x k =可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根， 故选：D 点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．甲乙丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是_____． 答案：13求出甲乙丙总的站法，再求出甲站在中间的站法，利用古典概型求解即可. 解：甲乙丙三名同学站成一排共有336A =种不同的站法，其中甲站在中间共有222A =种不同的站法，根据古典概型可得2163P ==， 故答案为：13点评：本题主要考查了排列的应用，古典概型求概率，属于容易题.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51310a a -=，则13S =_____． 答案：65由51310a a -=求出7a ，再求13S 即可. 解：解：设{}n a 的公差为d ，()51111310,3+410,65a a a d a a d -=-=+=，即75a =；()1131371313135652a a S a +===⨯=.故答案为：65. 点评：考查等差数列的性质和求前项n 和，基础题. 15．已知函数2tan ()1tan xf x x=-，()f x 的最小正周期是___________. 答案：2π 先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解. 解：由题得212tan 1()=tan 221tan 2x f x x x =⋅-， 所以函数的最小正周期为2π. 故答案为2π 点评：本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于_____．37根据水的体积不变列出方程解出h . 解：设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为14S ，∴水的体积()111722133412V S S S =⨯-⨯⨯-=，设倒置后液面面积为S ',则22S h S ⎛'⎫= ⎪⎝⎭，24Sh S ∴'=， ∴水的体积为321332Sh V S h '==⨯，3273212Sh S ∴=⨯， 解得37h =，故答案为：37 点评：本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.三、解答题17．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩． 答案：（1）众数：65；中位数：65；（2）67.（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 解：（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65， 又因为第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积是0.4，0.30.40.5+> ，所以中位数在第二组， 设中位数为x ，则()0.3600.040.5x +-⨯=，解得：65x =， 所以中位数为65.（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：()550.03650.04750.015850.010950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯67=，所以参赛学生的平均成绩为67分． 点评：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题． 18．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22cos 1cos cos cos 2CA B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．答案：（1）13；（2）2⎫⎪⎪⎣⎭.（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．（2）由（1）可求1cos 3B =，又由正弦定理得2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围．解：（1）因为22cos1cos cos cos 2CA B A B =-+，所以cos cos cos cos C A B A B +=，即cos()cos cos cos A B A B A B -++=，所以sin sin cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B +=，解得：1cos 3B =.（2）因为()sin +sin 1R A C =，由正弦定理得2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：2222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+， ∵02a <<，∴232b ≤<， 所以b 的取值范围为23,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题． 19．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，E 为CD 中点，将△ADE 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足DH ＝2HE ．（1）求证：OH ∥平面BCD ；（2）求四面体ABDH 的体积．答案：（1）证明见解析；（2）39. (1)只需证明//OH DB ，根据线段平行和成比例易证.(2) 求四面体ABDH 的体积转化为求三棱锥B ADH -的体积，其底面积22432333ADH ADE S S ==⨯=△△，高为BA 易求. 解： （1）证明：E 为CD 中点，所以2EC ED ==，3sin 60423EA AD =︒==，由//EC AB ,所以BAO 和ECO 相似，12EC EO BA OB ==， 因为2DH HE =，所以12EH EO HD OB ==， 所以//OH DB ，BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ，所以OH ∥平面BCD ； （2）解：∠ABC ＝60°，菱形ABCD ，所以ACD △为正三角形，所以EC EA ⊥，ED EA ⊥平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，EC ⊂平面ABCE ，所以EC ⊥平面ADE ，11222ADE S ED EA =⋅⋅=⨯⨯=△ 2233ADH ADE S S ==⨯=△△ 又//EC AB ，所以AB ⊥平面DEA ，11433ABDH B ADH ADH V V AB S -==⋅⋅=⨯=△四面体ABDH . 点评：考查线面平行的证明以及四面体体积的求法，线面平行转化证明线线平行，四面体的体积转化为三棱锥的体积，中档题.20．已知函数f （x ）＝ln x x． （1）求函数f （x ）的极值；（2）令h （x ）＝x 2f （x ），若对∀x ≥1都有h （x ）≥ax ﹣1，求实数a 的取值范围． 答案：（1）极大值1e，无极小值（2）1a ≤ （1）求函数的导数，利用导数求函数单调区间，即可确定函数极值； （2）由题意，不等式可转化为1ln x a x +≥对∀x ≥1都成立，利用导数判定1()ln g x x x=+的单调性，求出()g x 的最小值即可求出a 的取值范围. 解： （1）f （x ）＝ln x x的定义域为(0,)+∞， 21ln ()x f x x'-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以()f x 在x e =上有极大值1()f e e =（2）2()()ln h x x f x x x ==，∴由对∀x ≥1，都有h （x ）≥ax ﹣1可得：对∀x ≥1，都有ln 1x x ax ≥-， 即1ln x a x+≥对∀x ≥1都成立， 令1()ln g x x x =+， 则2211111()24g x x x x ⎛⎫'=-=--+ ⎪⎝⎭， 1x ≥，101x∴<≤， ()(1)0g x g ''∴≥=，1()ln g x x x∴=+在[1,)+∞上单调递增， min ()(1)1g x g ∴==，1a ∴≤.点评：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间、极值、最值，利用导数解决不等式恒成立问题，分离参数法，转化思想，属于中档题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4PA PB +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围. 答案：（1）2214x y +=. （2）166m <<. 试题分析： （1）根据224PA PB PO a +===可求得2a =，再由离心率可得c ，于是可求得b ，进而得到椭圆的方程．（2）结合直线和椭圆的位置关系求解．将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得2241k m >-，结合MQ NQ =可得2614m k -=，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组可得所求范围． 试题解析： （1）∵224PA PB PO a +===， ∴2a =，又32c a =， ∴c =∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，∴()()222264441440k m k m ∆=-+->，整理得2241k m >-．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122841km x x k -+=+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，∴1224241D x x km x k +-==+，22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-，∴2614m k -=，∴2610611m m m ->⎧⎨->-⎩，解得166m <<． ∴实数m 的取值范围1(,6)6．点睛：圆锥曲线中求参数取值范围的方法解决此类问题的方法一般采用代数法，即先建立关于参数的目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法求范围时常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()()tan 20y x ααπ=-≤<，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos 2πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M （2，0），若|MP |+|MQ |＝，求直线l 的斜率．答案：（1）曲线C 的直角坐标方程：2240x y y +-=；直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）1-. （1）根据题意得出直线l 过定点()2,0，得出线l 的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案.（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+=,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.解：（1）由4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即24sin ρρθ=，得2240x y y +-=. 由直线l 的方程为()tan 2y x α=-，()0απ≤<则tan k α=,又0απ≤<，所以直线l 的的倾斜角为α，又直线l 过定点()2,0，则直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）（2）设P ，Q 两点在直线l 的参数方程中的对应参数分别为12,t t .将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+= 所以()12124sin cos ,40t t t t αα+=-=>则124sin cos 4t MP Q t M πααα⎛⎫+==-=-= ⎪⎝⎭+即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由0απ≤<，则3444πππα-≤-< 所以42ππα-=，即34απ=，所以直线l 的斜率为3tan 14k π==- 点评： 本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()||g x x b x a =++-，a R ∈，b R ∈且0b a +>．（1）若函数()g x 的最小值为2，试证明点(),a b 在定直线上；（2）若3b =，[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）点(),a b 在定直线20x y +-=上，证明过程见详解；（2）[]1,2-.（1）先根据绝对值三角不等式，得到()g x b a ≥+，根据题意，得到2b a b a +=+=，即可得出结果；（2）先由题意，化不等式为||2x a -≤，求解，得到22a x a -≤≤+，推出[][]012,2a a ⊆-+，，进而可求出结果.解：（1）由绝对值三角不等式可得，()||||a g x x b x a x b x b a x b x a =++-++-=≥++-=+，当且仅当()()0x b a x +-≥时，取等号；又函数()g x 的最小值为2，0b a +>，所以2b a b a +=+=，即点(),a b 在定直线20x y +-=；（2）因为3b =，所以()3||g x x x a =++-，当[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+可化为3||5x x x a -++≤+，整理得：||2x a -≤，解得：22a x a -≤≤+，由题意，可得：[][]012,2a a ⊆-+，，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：12a -≤≤， 即实数a 的取值范围是[]1,2-.点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。

陕西省西安中学高2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A. [3,)+∞B. (3,)+∞C. (,1][3,)-∞-⋃+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞U2.在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A. 1B. 6C. 7D. 6或75.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A 5B. 4C. 3D. 26.若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41m n+的最小值是（ ）的A. 9B. 4C.12D.147.若等比数列{}n a ，前n 项和n S ，且2312a a a =，54为4a 与72a 的等差中项，则4S =（ ） A. 29B. 30C. 31D. 338.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）AB.263π C. π9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A.B. C. 2D. 10.函数1()ln f x x x=+的图象大致为（ ） A. B. C. D.11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,8D. ()8,+∞二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知1e r ，2e r是夹角为120︒的两个单位向量.则122a e e =+r r r 和212b e e =-r r r 的夹角的余弦值为______.14.如图所示，四个相同直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ= 6π，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆22(1x y +=相切，则此双曲线的离心率为________．16.如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①， AC BD =②， //AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45o ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知向量),1m x x =u r ，()2cos ,1n x x =r.（1）若函数()f x m n =⋅u r r ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足ba =sin cos 2cos sin B A B A=-，求()f B 的值.18.如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.19.某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，求这2天发芽种子数均不小于25的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$.20.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为2AP 的方程. 21.已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.，I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； ，，，若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为112x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正的半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+．（1）写出曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P 的直角坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求PA PB g 的取值范围．23.已知函数()f x x 23x a =-++． （1）当a 1=时，解不等式()f x 5≥；（2）若存在0x 满足()00f x 2x 23+-<，求实数a 的取值范围．。

陕西省西安中学2020届高三第二学期仿真考试试题一 数学（文）一､选择题 1.已知复数z 满足1z ii i+=-+，则复数z=（ ） A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 1+2i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数运算求出z ，则复数z 可求 【详解】已知复数z 满足1z ii i+=-+，则()112z i i i i =-+-=-- 故z=12i -+ 故选：B【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的概念，准确计算是关键，是基础题 2.已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()=R C P N （ ）A. {}03x x << B. {}03x x <≤C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式得到P ,再进行补集和交集运算 【详解】由题{1130333x P x x x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或}0x < 则()=R C P N {0x }3x ≤≤=N {}0,1,2,3故选：C【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及分式不等式解法，是基础题3.相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.4.已知向量()1,1a =，()2,b x =，若()//a a b -则实数x 的值为（ ） A. 2- B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】求出a b -，利用向量平行的条件解得x 的值. 【详解】∵()1,1a =，()2,b x =， ∴()1,1x a b -=--，又()//a a b - ∴1x 1-=- ∴2x =故选D【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行，垂直以及夹角和模长等问题，是基础题． 5.已知a 、b a b >ln ln a b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 a b >ln ln a b >”的充要条件,再分析即可.【详解】a b >0a b >≥,当ln ln a b >时有0a b >>.a b >ln ln a b >”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题.6.已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A. 2 B. 4C. 16D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力． 7.如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23.则阴影区域的面积约为 ( )A.23B.43C. 83D. 无法计算【答案】C 【解析】 【分析】求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积. 【详解】设阴影区域的面积为s ，243s =，所以83s =. 故选C.【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题.8.已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. b c a << C. c a b << D. c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，c a b ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 S 的值为 350，则判断框中可填（ ）A. 6?i >B. 7?i > C 8?i > D. 9?i >【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得01S i ==，；执行循环体，2902S i ，==；不满足判断框内的条件，执行循环体，3003S i ==，； 不满足判断框内的条件，执行循环体，3104;S i ==， 不满足判断框内的条件，执行循环体，3205;S i ==， 不满足判断框内的条件，执行循环体，3306;S i ==， 不满足判断框内的条件，执行循环体，3407;S i ==， 不满足判断框内的条件，执行循环体，3508;S i ，==由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为350．可得判断框中的条件为7i ＞？ ． 故选B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.已知函数()y f x =与xy e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为A e - B. 1e-C. eD.1e【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合），下面说法正确的是图1 图2A. 存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB. 存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC. 在翻折过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D. 在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立【答案】C【解析】【分析】因为CD与FE相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误.DE在任何位置都不垂直于FE，如果“存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE”，则存在某一位置，使得DE FE⊥，两者矛盾，故B错误.BF在任何位置都不垂直于FE，如果“在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立”，那么BF FE⊥恒成立，两者矛盾，故D错误.【详解】由题意知CD与FE不平行，且在同一平面内.所以，CD与FE相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误.DE在任何位置都不垂直于FE，如果“存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE”，则存在某一位置，使得DE FE⊥，两者矛盾，故B错误.BF在任何位置都不垂直于FE，如果“在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立”，那么BF FE⊥恒成立，两者矛盾，故D错误.综上，选C.【点睛】本题主要考查了折叠问题，直线与平面的平行、垂直，属于中档题.12.已知双曲线C过点2)且渐近线为3y x=，则下列结论错误的是（）A. 曲线C的方程为221 3xy-=；B. 左焦点到一条渐近线距离为1；C. 直线210x y-=与曲线C有两个公共点；D. 过右焦点截双曲线所得弦长为23【答案】C【解析】【分析】求出双曲线标准方程，根据方程判断双曲线的性质．B直接求出左焦点到渐近线的距离，C由直线方程与双曲线方程联立求得公共点坐标，D考虑到过焦点，因此一是求出通径长，一是求出实轴长，与它们比较可得．【详解】因为双曲线的渐近线方程为33y x =±，所以可设双曲线方程为223x y m -=，又双曲线过点2)，所以2232)13m =-=，所以双曲线方程为2213x y -=，A 正确；由双曲线方程知223,1a b ==，222c a b +=，左焦点为1(2,0)F -，渐近线方程为30x =，左焦点到渐近线的中庸为22211(3)d -==+-，B 正确；由210x -=得21x y =+，代入双曲线方程整理得22220y ++=，解得2y =-，所以2(2)11x =+=-，直线与双曲线只有一个公共点(1,2)，C 错；双曲线的通径长为22232333b a ==<，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为23又两顶点间距离为223a =3共有3条弦的弦长为3D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质．求出双曲线的方程，利用方程研究双曲线的性质是解析几何的基本方法．双曲线的弦分两种：一种弦的两个端点在同一支上，一种弦的两个端点在双曲线的两支上，两个端点在双曲线的两支上的弦的最短的为实轴. 二､填空题13.函数()ln f x x x =在(,())e f e 处的切线方程为______ 【答案】2y x e =-（或20x y e --=） 【解析】 【分析】求出函数的导数，计算()f e ，()f e '的值，从而求出切线方程即可 【详解】解：()f x 定义域为(0,)+∞，()1f x lnx '=+，()f e e =又()2f e '=，∴函数()y f x =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为：2()y x e e =-+，即2y x e =-，20x y e --=.故答案为2y x e =-（或20x y e --=）【点睛】本题考查了切线方程问题，属于基础题．14.已知一组数据分别是10,2,5,2,4,2，则这组数据的中位数与众数的等比中项为_________； 【答案】6 【解析】 【分析】先把数据按照从小到大排序，确定出中位数和众数，由等比中项定义求得结果. 【详解】解：依题意知，先将这组数据按照从小到大排序为：2,2,2,4,5,10，中位数为2432+=，众数为2.则中位数与众数的等比中项为：236⨯=故答案为：6.【点睛】本题考查中位数、众数和等比中项定义，属于基础题. 15.圆()22+14x y +=关于直线1y x =-+对称的圆的方程__________. 【答案】()()22124x y -+-= 【解析】 【分析】首先求出圆心()1,0-关于直线1y x =-+对称的O ，再由圆的标准方程即可求解. 【详解】()22+14x y +=的圆心为()1,0-，半径为2r，设圆()22+14x y +=关于直线1y x =-+对称的圆的圆心为(),O a b ，则()1122111b a b a -+⎧=-+⎪⎪⎨⎪⋅-=-⎪+⎩ ，解得1a =，2b =，所以圆()22+14x y +=关于直线1y x =-+对称的圆的方程为()()22124x y -+-=. 故答案为：()()22124x y -+-=【点睛】本题考查了圆的标准方程、点关于直线对称问题，属于基础题. 16.关于函数()2sinsin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论：①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分；②()f x 是周期为π的函数；③函数()f x 在区间(),-∞+∞上有3个零点； ④函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减. 则正确结论的序号为_______________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】化简函数()y f x =的解析式，判断该函数的奇偶性，可判断命题①的正误；利用特殊值法可判断命题②的正误；利用导数判断函数()y f x =的单调性，可判断命题③④的正误.综合可得出结论.【详解】()2sin sin 2sin cos sin 22222x x x x f x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，定义域为R .对于命题①，()()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-=-，函数()y f x =为奇函数，该函数的图象关于原点对称，而圆221x y +=也关于原点对称， 所以，函数()y f x =的图象把圆221x y +=的面积两等分，命题①正确；对于命题②，()00f =，()sin f ππππ=-=-，()()0f f π≠，命题②错误；对于命题④，()cos 10f x x =-≤'，所以，函数()y f x =区间(),-∞+∞上单调递减，命题④正确； 对于命题③，由于函数()y f x =区间(),-∞+∞上单调递减，且()00f =， 所以，函数()y f x =在区间(),-∞+∞上有1个零点，命题③错误. 因此，正确命题的序号为：①④. 故答案为：①④.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，考查了函数周期性的判断，考查了导数的应用以及零点个数的判断，考查推理能力，属于中等题. 三､解答题17.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()23sin 2B AC +=. （1）求B ；（2）若6a c +=，△ABC 3b . 【答案】（1）3π.（2）26【解析】 【分析】（1）在ABC ∆中，根据2sin()23sin 2BA C += ，结合内角和定理利用二倍角公式化简求解. （2）由ABC ∆3由1sin 32ac B =，求得4ac = ，再结合6a c +=，利用余弦定理求解. 【详解】（1）在ABC ∆中，2sin()232+=B A C ， 2sin 232∴=BB即：22sin cos 23222B B B = ， 3tan23∴=B 0B π<< ，26B π∴=， 3B π∴=.（2）由ABC ∆31sin 32ac B =， 所以4ac = ，又6a c +=由余弦定理得：22222cos ()324=+-=+-=b a c ac B a c ac ，6b ∴=【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力.属于中档题.18.如图，已知AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//,1,2AB CD AD AF CD AB ====（1）求证：AC ⊥面BCE ； （2）求三棱锥E BCF -的体积. 【答案】（1）证明见解析.（2）13【解析】 【分析】（1）推导出BE ⊥平面ABCD ，BE AC ⊥，AC BC ⊥，由此能证明AC ⊥面BCE ． （2）三棱锥E BCF -的体积13E BCF C BEF BEF V V S AD --∆==⨯⨯，由此能求出结果．【详解】解：（1）AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，BE ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，BE AC ∴⊥，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，1AD AF CD ===，2AB =，22112AC BC ∴==+222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥，BCBE B =，BC ⊂面BCE ，BE ⊂面BCE ，AC ∴⊥面BCE ．（2）AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，1AD AF CD ===，2AB =， AD ∴⊥平面BEF ，∴点C 到平面BEF 的距离为1AD =，1121122BEF S EF BF ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥E BCF -的体积：11111333E BCF C BEF BEF V V S AD --∆==⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 19.在测试中，客观题难题的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （3）定义统计量'2'2'211221[()()()]n n S P P P P P P n=-+-++-，其中'i P 为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度（1,2,,i n =）.规定：若0.05S ≤，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)见解析，24 (2) 35P =（3）该次测试的难度预估是合理的. 【解析】试题分析：（1）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据P i i R N=，得到难度系数；（2）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）由()()()222'''11221n n S P P P P P P n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦计算出S 值与0.05比较，可得答案.试题解析：(1) 每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题.(2) 记编号为i 的学生为i A （1,2,3,4,5i =），从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种. 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为()()()()()()121324255545,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A ，共6种. 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==. （3）'i P 为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用'i P 作为这120名学生第i 题的实测难度.()()()()()2222210.80.90.80.80.70.70.70.60.20.40.0125S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦因为0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的.20.设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b =1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值． 【答案】（1）43（2）22b =, 【解析】【详解】(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43. (2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c 21b -设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组222{1y x c y x b+＝＋，＝ 消去y ，得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0，则x 1＋x 2＝221c b -+，x 1x 2＝22121b b-+.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |2|x 2－x 1|，即432|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝()2224(1)1b b -+－()224(12)1b b -+＝()42281b b +，解得b ＝22.21.已知函数()sin f x x a x b =++，()()xg x e x f x =-+（1）若0,2b a ==-，求()f x 在区间0,2π上的单调区间； （2）若1,1a b =-=-，证明：()1,0x ∈-时恒有()0>g x 【答案】（1）()f x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，递减，在533ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增，在523ππ⎛⎫⎪⎝⎭，递减；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先对()f x 求导fx ，再判断其在0,2π上的符号，即可求出()f x 的单调区间；（2）先对()g x 求导()g x '，令0g x ，利用导数判定()g x '的单调性，结合零点存在性定理及()g x '的单调性得出0g x ，故有()()00g x g >=，命题得证.【详解】解：（1）2,0()2sin a b f x x x =-=∴=-；()12cos f x x '∴=-，令()0f x '=及[]0,2x π∈，得1cos 2x =3x π∴=或53x π=. x03π⎛⎫⎪⎝⎭， 3π 533ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 53π 523ππ⎛⎫⎪⎝⎭， ()f x '-0 +-()f x单调递减极小值 单调递增 极大值单调递减由上述表格可知：()f x 在03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减，在533ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增，在523ππ⎛⎫⎪⎝⎭，递减. （2）证明：1,1a b =-=-，()sin 1x g x e x ∴=--，()cos x g x e x '=-，设()cos x h x e x =-，而()sin x h x e x '=+在1,0为增函数，又1(1)sin(1)0,(0)10h h e''-=+-<=>，根据零点存在定理，所以存在唯一()01,0x ∈-，使得0()0h x '=，在()01,x -上，()0h x '<，()()g x h x ='递减，1()(1)cos10g x g e -''<-=-<，在()0,0x 上，()0,()()h x g x h x ''>=递增，()(0)0g x g ''<=因此在1,0上总有()0,g x '<即()g x 在1,0单调递减，所以有()(0)0g x g >=.【点睛】本题考查求函数的单调区间和证明不等式恒成立，利用导数研究函数单调性是高考重点内容，关键是导函数的符号判断是难点，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy ，(2,0)P ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点(,)(0)Q ρθθπ为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(1,)A π若直线l 经过点A 且与曲线1C 交于点,E F ，弦EF 的中点为D ，求||||||AD AE AF ⋅的取值范围．【答案】(1)22(1)1(0)x y y -+=≥；(2)3233⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】 【分析】(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y +=，可得点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥．利用相关点法即可得出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；(2)根据已知条件求出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入1C ，利用根与系数关系求出1212,t t t t +，由直线l 的参数方程中t 的几何意义可将||||||AD AE AF ⋅用12,t t 表示，再将1212,t t t t +代入即可求出||||||AD AE AF ⋅的取值范围．【详解】(1)因为C 的直角坐标方程为224x y +=， 所以点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥．设(,)M x y ，因为M 为PQ 的中点，(2,0)P 所以022x x +=，02y y =，所以022x x =-，02y y =， 所以22(22)(2)4(0)x y y -+=≥，整理得1C 的轨迹方程为22(1)1(0)x y y -+=≥． (2)因为直线l 过点(1,0)A -，所以直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数，θ为倾斜角，0,6πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭) 代入1C 得24cos 30t t -+=θ，所以124cos t t +=θ，123t t =，所以1212||2cos 322||||33t t AD AM AN t t θ+⎤==∈⎥⋅⋅⎝⎦． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线l 的参数方程中参数t 的几何意义，本题中求||||||AD AE AF ⋅的关键是联立直线的参数方程与1C 的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解． 23.已知函数()|3|2f x x =+-． （1）解不等式()||<1f x x -；（2）若x R ∃∈，使得()|21|f x x b ≥-+成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）{}|0x x <；（2）32，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论，即可求出结果；（2）先由题意得，3212x x b +---≥，令()3212g x x x =+---，求出()g x 的最小值，即可得出结果.【详解】（1）由()1f x x <-，可得321x x +-<-，当1x ≥时，321x x +-<-不成立，当31x -<<时，321x x +-<-，∴30x -<<， 当3x ≤-时，321x x ---<-，51-<成立， ∴不等式()1f x x <-的解集为{}|0x x <． （2）依题意，3212x x b +---≥，令()6,3132123,3212,2x x g x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+---=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，易知()max 1322g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，则有32b ≥，即实数b 的取值范围是32，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.。

文科数学1、已知复数z 满足1z ii i+=-+，则复数z=（ ） .12A i -- .12B i -+ .12C i - .1+2D i2、已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()=R C P N I ( ) {}.03A x x << {}.03B x x <≤ {}.0,1,2,3C {}.1,2,3D3、下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个相关变量进行分析：方案一：根据图中的所有数据，得到线性回归直线方程为11y b x a =+ ,相关系数1r ; 方案二：剔除点()10,21 ，根据剩余数据得到线性回归直线方程为22y b x a =+ ,相关系数2r ;则（ ）1221.01.01A r r B r r <<<<<<1221.10.10C r r D r r -<<<-<<<4、已知向量()1,1a =r ，()2,b x =r ，若()a ab -r r r ∥，则实数x 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．25、已知,a b a b ”是“ln ln a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．167、如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（ ） A ．83B ．43C ．23D ．无法计算8、已知 1.32a = , 0.74b = ，3log 8c = ，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b <<9、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ） A ．6?i > B ．7?i > C ．8?i >D ．9?i >10、已知函数()y f x =与xy e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1e-C ．eD ． e -11、如图1，直线EF （不与CD 平行）将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和CDEF 不重合），下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立12.已知双曲线C 过点2)且渐近线为3y x =，则下列结论错误的是( ).A 曲线C 的方程为2213x y -=,.B 左焦点到一条渐近线距离为1，.C 直线210x --=与曲线C 有两个公共点； .D 过右焦点截双曲线所得弦长为3正确答案的个数为（ ） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安中学2020届高三第六次模拟考试理科数学试题第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，{02}A xx =<<∣，{1}B x x =≥∣，则()U A C B =（ ）A. (0,1)B. (0,)+∞C. (,1)-∞D. (,2)-∞【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集运算和并集运算可得选项.【详解】{1}B xx =≥∣，{1}U C B x x =<∣，{02}A x x =<<∣， 则(){2}U A C B xx ⋃=<∣， 故选：D.【点睛】本题考查集合间的补集运算、并集运算，属于基础题. 2. 下列命题中错误的是（ ）A. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B. 命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”C. 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D. 已知00x >，则“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于A ，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B ，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C ，根据复合命题的真假关系 进行判断；对于D ，利用必要不充分条件进行判断. 【详解】对于A ，若x=y ，则sinx=siny ，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A 正确；对于B ，命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”，故B 正确；对于C ，若p q ∨为真命题，则p q 与至少有一个是真命题，故p q ∧不一定为真命题，故C 错误；对于D ，充分性：当044b 2x a ==-=，，时，显然0a b >>不成立，即充分性不具备； 必要性：因为00x >，0a b >>根据幂函数的单调性，显然00x x a b >，即必要性具备，故D 正确. 故选C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，充要条件以及幂函数的性质，比较基础．3. 执行如图所示的程序框图，若输入的1S =，则输出n 的值为（ ）A. 5B. 4C. 8D. 9【答案】A 【解析】 【分析】初始条件S=1，n=1，依次执行循环语句，直到不满足循环条件，输出即可. 【详解】输入S=1，n=1第一次运行：2=11-1=0,n=2⨯S 第二次运行：2=20-2=-4,n=3⨯S 第三次运行：2=3(4)3=-21,n=4⨯--S 第四次运行：2=4(21)4=-100,n=5⨯--S-100<-32，跳出循环，输出5n =故选：A【点睛】本题考查了程序框图，考查了逻辑推理能力，属于一般题目. 4. 已知,,a b c ∈R ，且0c ≠，则下列命题正确的是（ ）A. 如果a b >，那么a b c c >B. 如果ac bc <，那么a b <C. 如果a b >，那么11a b>D. 如果22ac bc <，那么a b <【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断排除可得到答案. 【详解】对于A ，如果,0a b c ><，那么a bc c<，所以错误； 对于B ，如果0c <，那么a b >，所以错误； 对于C ，如果1,2a b =-=-，那么11112a b =-<=-，所以错误； 对于D ，因为22ac bc <，那么20c >，所以正确. 故选：D .【点睛】主要考查不等式的性质，要熟练掌握.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在是线段11AB BC ，的中点，以下结论：①直线BD 丄直线MN ；②直线MN 与直线AC 异面；③直线MN 丄平面11BDD B ；④122MN AA =，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】在平面ABCD 内作出MN 的平行直线EF ，根据中位线得到//EF AC ，由此得到②错误.根据AC ⊥平面11BDD B 得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为3个.【详解】过M 作MF AB ⊥交AB 于F ，过N 作NE BC ⊥交BC 于E ，连接11,,,EF AC BD B D .由于,M N分别为11,AB BC 的中点，故1111//////22NE CC BB MF ，故四边形MNEF 为矩形，故//MN EF ，由于//EF AC ，故②判断错误.由于1,AC BD AC BB ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以MN BD ⊥且直线MN 丄平面11BDD B ，即①③正确.由勾股定理得12AC AA =，故11222EF AC AA ==，故④判断正确.综上所述，正确的个数为3个，故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线垂直，往往是通过线面垂直来证明，要证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交直线来证明.6. 下列说法错误的是（ ） A. 回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C. 在回归直线方程0.20.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.8个单位D. 对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【详解】解：A ．回归直线必过样本点的中心(),x y ，故A 正确；B ．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故B 正确；C ．在线性回归方程0.20.8y x =+中，当x 每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，故C 错误；D ．对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，因此不正确． 综上可知：有CD 不正确． 故选：CD ．【点睛】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．7. 在ABC 中，AB 2=，BC 3=，ABC 60∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO λAB μBC =+，则λμ(+= )A. 1B.12C.13D.23【答案】D 【解析】 【分析】通过解直角三角形得到1BD BC 3=，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出AD 利用向量共线的充要条件表示出AO ，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【详解】在ABD 中，1BD AB 12== 又BC 3= 所以1BD BC 3=1AD AB BD AB BC 3∴=+=+O 为AD 的中点111AO AD AB BC 226∴==+ AO λAB μBC =+11λ,μ26∴==2λμ3∴+=故选D ．【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．8. 将函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像向左平移2π个单位，所得函数的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称，则ω的值不可能是（ ） A 2 B. 4C. 6D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由条件根据函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得y ＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象，再由Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ），求得φ满足的条件． 【详解】将函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象向左平移2π个单位， 可得y ＝Asin [ω（x 2π+）+φ]＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象． 再根据所得函数图象与f （x ）图象关于x 轴对称，可得Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ）， ∴2πω＝（2k +1）π，k ∈z ，即ω＝4k +2，故ω不可能等于4， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9. 已知()f x 是奇函数，当0x >时，()2xf x x =--，则函数在1x =-处的切线方程是（ ）A. 210x y -+=B. 220x yC. 210x y --=D. 220x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】设0x <，则0x ->，得到()2xf x x -=-+，再利用()f x 是奇函数，求得()f x ，然后利用导数的几何意义求解. 【详解】设0x <，则0x ->， 所以()2xf x x -=-+， 又因为()f x 是奇函数， 所以()()2xf x f x x =--=+， 所以()()222f x x '=+，所以()()12,11f f '-=-=-，所以函数在1x =-处的切线方程是210x y -+=. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用函数奇偶性求解析式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10. 现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD 的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有（ ）种方法. A. 240 B. 360 C. 420 D. 480【答案】C 【解析】 【分析】利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色.【详解】当顶点A,C 同色时，顶点P 有5种颜色可供选择，点A 有4种颜色可供选择，点B 有3种颜色可供选择，此时C 只能与A 同色，1种颜色可选，点D 就有3种颜色可选，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当顶点A,C 不同色时，顶点P 有5种颜色可供选择，点A 有4种颜色可供选择，点B 有3种颜色可供选择，此时C 与A 不同色，2种颜色可选，点D 就有2种颜色可选，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；综上可得共有180240420+=种，故选C.【点睛】本题主要考查基本计数原理，两个原理使用时要注意是分步完成某事还是分类完成某事，侧重考查逻辑推理的核心素养.11. 已知函数()()sin cos 0f x ax x x a =+>恰有三个不同的零点1x ，2x ，3x 且123x x x <<，()()123123tan x x x t x x x +-=+-，则t =（ ）A.12B. 12-C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】()()sin cos 0f x ax x x a =+>恰有三个不同的零点1x ，2x ，3x 得到y ax =-与1sin 22y x=恰有三个不同的交点，进一步确定13x x =-，20x =，再根据直线y ax =-与1sin 22y x =分别在()11,x y 和()33,x y 处相切，即可得解. 【详解】解：由sin cos 0ax x x +=，即1sin 22ax x -=， y ax =-与1sin 22y x =恰有三个不同的交点，其坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 且123x x x <<，y ax =-与1sin 22y x =都是奇函数，所以有13x x =-，20x =，直线y ax =-与1sin 22y x =分别在()11,x y 和()33,x y 处相切， 1sin 2cos 22x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭，1cos 2a x -=①，11y ax =-②，111sin 22y x =③，由①②③得11tan 22x x =，由()()123123tan x x x t x x x +-=+-得11tan 22x tx =，所以1t =， 故选：C【点睛】考查函数的零点，函数的奇偶性，以及直线和正弦型函数的相切，难题.12. 如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点O 对称的两点（点A 在第一象限），直线1BF 与双曲线C 的另一个交点为M ，且11AF BF ⊥，11MF AF =，则C 的渐近线方程为（ ）A. 6y x = B. 32y x =±C. 23y x =±D.23y x =±【答案】A 【解析】 【分析】连接2MF ，2BF ，2AF ，设1||MF m =，1||BF n =，可得1||AF m =，11AF BF ⊥，可得四边形21AF BF 为矩形，由矩形的性质和双曲线的定义，可得3m a =，结合勾股定理可得a ，c 和a ，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：连接2MF ，2BF ，2AF ， 设1||MF m =，1||BF n =，可得1||AF m =，11AF BF ⊥，可得四边形21AF BF 为矩形，由双曲线的定义可得2||2AF m a =-，2||2MF m a =+， 即2n m a =-，可得222(2)4m m a c +-=，222(2)(2)m m a m m a +-+=+，解得3m a =，22222944()a a c a b +==+， 化简可得6b ， C 的渐近线方程为by x a=±，即为6y x =． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查直角三角形的勾股定理和矩形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13. 已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()130.3P X <≤=，则()5P X ≥=______. 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据随机变量X 服从正态分布2(3)，δN ，可知正态曲线的对称轴是3x =，利用对称性，可得结果.【详解】随机变量服X 从正态分布2(3)，δN ，正态曲线的对称轴是3x =(35)(13)0.3≤<=<≤=P X P X ，(5)0.5(35)0.2>=-≤<=P X P X故答案为：0.2【点睛】本题考查了正态分布，考查了计算能力，属于一般题目. 14. 已知()61mx x -的展开式中3x 的系数为30，则m 为______.【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式定理通项公式可得126+r r mC x，然后令132+=r，最后简单计算即可. 【详解】由题可知：()61mx x -的通项公式为126+rr mC x令132+=r，则4r =， 所以46302=⇒=mC m故答案为：2【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题重点在于二项展开式的通项公式，细心计算，属基础题.15. 已知一圆锥内接于球O ，若球心O 恰在圆锥的高的三等分点处，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为______. 【答案】932【解析】 【分析】设球O 的半径为2r ，可求得圆锥的高及圆锥的底面积，再利用锥体和球体的体积公式可求得该圆锥的体积与球O 的体积的比值. 【详解】如下图所示：设球O 的半径为2r ，由题意可知，圆锥的高为3r ，球心到圆锥底面的距离为r ，所以，圆锥的底面半径为()2223r r r -=，该圆锥的体积为()2313333r r rππ⨯⨯⨯=，因此，该圆锥的体积与球O 的体积的比值为()333943223r r ππ=⨯.故答案为：932. 【点睛】本题考查球体与圆锥的体积之比的计算，确定球体的半径与圆锥的底面半径、高的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 如图，抛物线24y x =的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使OA AC =，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为,E G ，则EG 的最小值为__________．【答案】4 【解析】 试题分析：解：设点,A B 的坐标为：()(),,,A A B B A x y B x y ， 由题意可知：()11222222A B ABA B EG OE OG y y y yy y ⎛⎫=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 由抛物线中定值的结论可知：24A B y y p =-=- ，据此可知：4EG ≥ ，当且仅当4B A y y = 时等号成立， 即EG 的最小值为4.点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),cos m a A =，()cos ,2n B b c =-，且m n ⊥，ABC （1）求A ； （2）求a 的最小值. 【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由m n ⊥，则0m n ⋅=，再结合正弦定理，将边化角求得A ；（2）运用三角形的面积公式，由ABC ，得到4bc =，再用余弦定理，将a 用c 表示，再用均值不等式求a 的最小值.【详解】（1）∵(),cos m a A =，()cos ,2n B b c =-，且m n ⊥， ∴()cos 2cos 0m n a B b c A ⋅=+-=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=， 即sin()2sin cos A B C A +=，∴sin 2sin cos C C A =， ∵0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴3A π=.（2）∵ABC1sin 23bc π=4bc =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，∴22241242a c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭2216444c c =+-≥=，当且仅当2216c c =，即2c =时取等号， ∴a 的最小值是2.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，均值不等式求最值，属于中档题.18. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）72-. 【解析】 【分析】（1）通过平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =与MN 的数量积为0，即得结论； （2）通过设111A E A B λ=，利用平面ABCD 的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为13，计算即可得结果.【详解】（1）证明：由题意以A原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图：因为2AC =，5AD CD ==ACD △底边上的高为2， 依题意可得()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -.又因为M ，N 分别为1B C 和1D D 的中点，所以11,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2,1N -，依题意，可得()0,0,1n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ， 所以//MN 平面ABCD ；（2）解：依题意，可设111A E A B λ=，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ， 从而()1,2,1NE λ=-+，又()0,0,1n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得()()2221cos ,3121NE n NE n NE nλ⋅===-+++，整理得2430λλ+-=， 又因为[]0,1λ∈，解得72λ=-.所以线段1A E 的长为72-.【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题.19. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33+”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率； (II)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2y ≥”的概率. 【答案】（Ⅰ）2949; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）1116.【解析】试题分析：（Ⅰ）设“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件的概率，从而得到选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）由题意得到随机变量的取值，计算其概率，列出分布列，根据公式求解数学期望. （Ⅲ）由题意得所调查的学生中物理、化学、生物选考两科目的学生的人数，得到相应的概率，即可求解“2Y ≥”的概率.试题解析：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则()222525202502049C C C P A C ++== 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ()29149P A -=（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值分别为0，1，2()2225252025020049C C C P X C ++===， ()1111525202525025149C C C C P X C +=== ()115202504249C C P X C === 从而X 的分布列为()202543301249494949E X =⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 相应的概率为251502P ==，所以Y ~14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭所以事件“2Y ≥”的概率为()223423444411111112112222216P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且坐标原点O 到过点()0,b，)的直线的距离为2.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）是否存在过点2,05M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且与直线3x =交于点P ，使得PA ，AB ，PB 依次成等差数列，若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，1125y x =-或1125y x =-+. 【解析】 【分析】（1）由已知条件得222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，即2a b =，=c ，由坐标原点O,bc =解得1b =，从而得到椭圆方程. （2）设直线l 方程为25y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立写出韦达定理，由PA ，AB ，PB 成等差数列，可得1212332x x x x -+-=-，化简计算可得直线的斜率，从而得到直线方程.【详解】（1）由题可知222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，所以224a b =，=c ， 则椭圆方程转化为222214x y b b+=.坐标原点O 到过点()0,b，)即(),0c,bc =即2b b =，解得1b =. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的直线l ，显然其斜率存在， 设直线l 的方程为25y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且()11,A x y ，()22,B x y . 联立221425x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，消去y 并整理，得()222216161440525k x k x k +-+-=， 由题知296161025k ⎛⎫∆=+>⎪⎝⎭恒成立，由根与系数的关系知 ()212216514k x x k +=+，()2122161002514k x x k -=+.因为1PA x =-，2PB x =-，12AB x =-， 且PA ，AB ，PB 成等差数列，所以1212332x x x x -+-=-，即()126x x -+=()221662514kk -=+，即25215k +=12k =±，所以直线l 的方程为1125y x =-或1125y x =-+. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系以及韦达定理的应用，考查学生分析能力与计算能力，属于中档题. 21. 已知函数()()22ln xg x x t t R e =-+∈有两个零点1x ，2x . （1）求实数t 的取值范围；（2）求证：212114x x e +>. 【答案】（1）ln 21t >-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出函数()g x 定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使()g x 有两个零点，只需最大值202e g ⎛⎫> ⎪⎝⎭即可.（2）函数()g x 有两个零点1x ，2x ，可得1122222ln 02ln 0x x t e x x t e ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减得21221ln ln 2x x e x x -=-，欲证212114x x e +>，即证()2112212ln ln 11x x x x x x -+>-，设21(1)x t t x =>，构造函数1()2ln (1)f t t t t t=-->，通过函数()f t 的单调性即可得到证明.【详解】（1）函数()()22ln x g x x t t R e =-+∈定义域为()0,∞+，()222122=xe x xe g x e -=-'. 令()0g x '=得22ex =，可得()g x 在20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()g x →-∞，故欲使()g x 有两个零点，只需22ln11ln 2022e e g t t ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，即ln 21t >-. （2）证明：不妨设12x x <，则由（1）可知21202e x x <<<，且1122222ln 02ln 0x x t e x x t e ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减可得21221ln ln 2x x e x x -=-. 欲证212114x x e +>，即证()2112212ln ln 11x x x x x x -+>-，设21(1)x t t x =>，则即证12ln (1)t t t t->>， 构造函数1()2ln (1)f t t t t t=-->，则()22212(1)10t t t tf t -=+-=>'， 所以()f t 在()1,+∞上单调递增，故()()10f t f >=， 所以12ln (1)t t t t->>，原不等式得证. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，单调性以及最值问题，考查利用变量集中的思想解决不等式的证明，考查构造函数的思想，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意；只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l ：y =(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 2的方程为22(2)4x y +-=；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为8sin ρθ=．（1）写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；（2）已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求MN 的值．【答案】（1）:(0)3l πθρ=≥，221:194x y C +=（2）MN =【解析】 【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线():03l πθρ=≥，消去曲线1C 参数方程中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点,M N 对应的极径分别为12,ρρ，然后根据12MN ρρ=-求解可得所求．【详解】（1）依题意，因为射线():0l y x =≥，故射线():03l πθρ=≥消去方程32x cos y sin αα=⎧⎨=⎩中的参数可得22194x y +=， 所以曲线1C 的普通方程为：22194x y +=． （2）曲线2C 的方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=， 把222,sin x y y ρρθ+==代入上式可得曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=， 设点,M N 对应的极径分别为12,ρρ，则12=4sin 8sin 33MN ππρρ=--=【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2f x m m ≥-+x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧<-⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）[]0,1. 【解析】【分析】（1）分1x <-、12x -≤≤、2x >三种情况解不等式()4f x >，综合可得出不等式()4f x >的解集；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式求得()f x 的最小值，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，不等式()4f x >为214x x -++>.当1x <-时，不等式可化为()()214x x ---+>，解得32x <-，此时32x <-； 当12x -≤≤时，不等式可化为()()214x x --++>，即34>，不成立；当2x >时，不等式可化为()()214x x -++>，解得52x >，此时52x >. 综上所述，不等式的解集为32x x ⎧<-⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭； （2）()()1122f x x a x x a x a a ⎛⎫=-++≥--+ ⎪⎝⎭12a a =+， 而1122a a a a +=+≥2a =时等号成立. 即当x 和a 变化时，()f x 的最小值为因为不等式()2f x m m ≥-+x 及a 恒成立，2m m ∴≥-+，即20m m -≤，解得01m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]0,1.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.。

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学(文科)试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．已知集合{N |4}A x x =∈<，{|33}B x x =-<<，则A B =I （）A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{3,4}-D ．{3,3}-2．设复数z 满足()25z i +=，则在复平面内z 对应的点在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 3．命题“任意0x >11x ≥”的否定是( ) A ．存在00x ≤11x ≥ B ．存在00x >11x +< C ．任意0x >11x < D ．任意0x ≤11x+≥ 4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A ．08 B ．07 C ．02 D ．015．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>，被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ）． A ．9 B ．4 C ．12D ．146．若函数,1()(3)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩满足：12,x x R ∀∈，且12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[2,3)C ．(2,3)D ．(1,3)7．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ）A ．2:1B ．4:3C ．3:2D ．1:18．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720209．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．向量(1,1)OA =-u u u v ，||||OA OB =u u u r u u u r ，1OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，则向量OA u u u r 与OB OA u u u v u u u v-的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π11．执行如右的程序框图，则输出的S 是（）A ．36B ．45C ．36-D ．45-12．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

西安中学高2020届仿真考试理科数学1、已知复数z 满足1z ii i+=-+，则复数z=（ ） .12A i -- .12B i -+ .12C i - .1+2D i2、已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()=R C P N I ( ) {}.03A x x << {}.03B x x <≤ {}.0,1,2,3C {}.1,2,3D3、已知,a b 都是实数，那么“a b >”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165、已知 1.32a = , 0.74b = ，3log 8c = ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b <<6、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ） A ．6?i > B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >7、如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21-πB ．2π C ．22πD ．221-π8、在ABC ∆中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =u u u r u u u r，且34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ）A. 13B. 13-C.14 D.14- 9、已知函数()y f x =与xy e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1e-C ．eD ． e -10、已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．150B ．162C ．180D ．21011、关于函数()2sinsin()222x xf x x π=+- 有下述四个结论： 函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分；()f x 是周期为π的函数函数()f x 在区间(),-∞+∞上有3个零点；函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减；则正确结论的序号为( )A. B. C. D.12.已知双曲线C 过点且渐近线为3y x =±，则下列结论错误的是( ) .A 曲线C 的方程为2213x y -=；.B 左焦点到一条渐近线距离为1；.C 直线10x --=与曲线C 有两个公共点；.D 过右焦点截双曲线所得弦长为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年陕西西安高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为（ ）．A. B. C. D.3.函数的零点个数为（ ）．A. B. C. D.4.若实数，满足，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.5.在一次技能比赛中，共有人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）．A.B.C.D.6.已知（为自然对数的底数），若，则函数是（）．A.定义域为的奇函数B.在上递减的奇函数C.定义域为的偶函数D.在上递增的偶函数7.已知点到抛物线（）的准线的距离为，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A.B.C.D.8.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.9.若为实数，则“”是“”成立的（ ）．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.函数的单调递增区间为（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线的左焦点为，过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为(为双曲线的离心率)，则双曲线的渐近线方程为（ ）．A.B.C.D.12.陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在［，］，［，］，［，］，［，］的爱看人数比分别是，，，现用各年龄的中间值代表年龄段，如代表［，］，由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为，那么，年龄在［，的爱看人数比为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，且，则 ．14.在与之间插入个数，使这个数成等差数列，则插入的个数的和等于 ．15.从，，，，，中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为 ．16.金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是，则该工艺品共有 个面，表面积是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为．求角、的大小．求的面积．（1）（2）18.已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）．证明：平面．当平面平面，，时，求三棱锥的体积．（1）（2）19.已知数列的前项和为，设．若，，且数列为等差数列，求数列的通项公式．若对任意，都成立，求当为偶数时的表达式．（1）（2）20.已知函数在区间上单调递减．求的最大值．若函数的图象在原点处的切线也与函数的图象相切，求的值．21.【答案】解析:集合，集合，则．故选．（1）（2）已知，，顺次是椭圆 （）的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且．.求椭圆的方程．若斜率的直线过点，直线与椭圆交于，两点，试判断：以为直径的圆是否经过点，并证明你的结论．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和极坐标方程．若直线与曲线有公共点，求的取值范围．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若存在，使成立，求的取值范围．D1.解析:，∴复数在复平面上对应的点的坐标为．故选．解析:∵，∴，令，则或，为增函数，令，则，为减函数，∴极小值，极大值，∴有个零点．故选：．解析:实数，满足，作二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域，如图所示，四边形所在区域，A 2.C 3.A 4.即可行域．目标函数变形为，为斜率为，随变化的一旋直线为直线在轴的截距，如图所示，直线经过可行域中点时最小，即最小，解方程组，解得点坐标为，则．故选．解析:如图茎叶图中，人得分为：，，，，，，，，，，，．中位数为：．∵平均数为：．∴ 方差为：B 5.，故方差为：，中位数为．故正确．解析:∵，∴，∴，∴，（），∴为奇函数，在上递减．故选．解析:抛物线（）变形为，准线方程为，点到距离为，则，即，解得，抛物线方程为，则抛物线焦点坐标为．故选．解析:如图，设，，B 6.C 7.B 8.∵，∴ ，又，∴﹐在中，，得：，∴，∴．故选：．解析:由，令函数，则，，则函数在上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，当时，，∴时，，则是的充分条件，球B 9.当时，则即，解得，∵，∴不是的必要条件，综上所述，是的充分不必要条件．故选：．解析:函数，令，，，，，，所以函数单调递增区间为（）．故选．解析:如图双曲线C：，左焦点，由题意垂直于轴，，解得：，则，，则，A 10.D 11.由题意过，且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则，即，令，得，即，∵，∴渐近线为，故正确．解析:∵，，且过点，则，∴，∴，∴当时，．故选．解析:∵平面向量，且，∴，D 12.13.，即，解得．所以．解析:由题意可得，设，，则．故答案为：．解析:从，，，，，，这七个数中，随机抽取个不同的数，基本事件总数，这个数的和为偶数包含的基本事件个数 ，则这个数的和为偶数的概率．故答案为：．解析:由三视图还原几何体，14.15. ;16.（1）（2）（1）如图，可以将该半正多面体分为三层，上层个面，中层个层面，下层各层面，上下底各个面，共个面．设三视图中正八边形的边长为m.∴，∴，∴，∴原几何体的边长均有，∴，，故答案为；．解析:由，得．∴．∵，∴由得，∴，由此得．又，∴，即．由知，，则，在中，由余弦定理，得，解得，故．解析:取的中点，连接，，，连接，表（1），．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）∵四边形为平行四边形，，分别为，的中点，∴根据平行线分线段成比例定理得，又 ， 得，∴，又在平面内，不在平面内，∴平面．由题意，得，．．连接，(为的中点)，则，，且 ， ，∵平面平面，，在平面内，，∴平面，∵，得点到平面的距离就是 ，又 ，∴到平面的距离为，∴．解析:∵，，，∴，，设等差数列为的公差为，则．（1）．（2）．19.（2）（1）（2）（1）∴数列的通项公式为．对任意都成立，即，①当时，，②①②得．令，则，∴，故（为偶数）．解析:∵，∴，∵函数在区间上为减函数．∴即就是在上恒成立，当时，，则当即时，取最小值，∴，∴的最大值为．的定义域为，的定义域为，由，得．∴函数的图象在原点处的切线方程为，由，得，设函数的图象在处的切线为．则①，且过原点，，将，代入①，解得．∴．解析:由题意得：，，，，（1）．（2）．20.（1）．（2）以为直径的圆经过点；证明见解析．21.（2）∴即，设椭圆的半焦距为（），得方程组，解得，∴椭圆的方程为．方法一：以为直径的圆经过点，理由如下：∵椭圆，，直线的斜率，且过点，∴直线，由，消去，并整理得，直线与椭圆有两个交点．设，，则，，∵，以为直径的圆经过点．方法二：同方法一，得，，∴．设的中点为，则，，∴以为直径的圆经过点，∴．（1）普通方程为，极坐标方程为．22.（1）（2）（1）（2）解析:显然，参数，由得，代入并整理，得，将，代入，得，即．∴曲线的普通方程为，极坐标方程为．曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，半径为的圆．当时，直线与曲线没有公共点．当时，设直线的方程为．圆心到直线的距离为．由，得．∴，即的取值范围为．解析:∵，∴不等式等价于下列不等式组，①或②或③，由①得，得，由②得，得，由③得，得．∴不等式的解集为．在区间上，当时，，当时，，当时，，∴在区间上，，由存在使成立，得，得或．（2）．（1）．（2）．23.∴的取值范围为．。

陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}4A x N x =∈<，{}33B x x =-<<，则A B ⋂=（ ）A ．{}12， B ．{}0,1,2 C ．()3,4- D ．()3,3-【答案】B【解析】∵{}0123A =，，，，{}33B x x =-<< ∴{}0,1,2A B ⋂= 故选B2．设复数z 满足()25z i +=，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】D【解析】先求出复数z ，再求z 对应的点的坐标. 【详解】∵()25z i +=，∴()()()5252222i z i i i i -===-++-，∴2z i =+，∴在复平面内z 对应的点在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的几何意义，属基础题. 3．命题“任意0x >11x+≥”的否定是( ) A ．存在00x ≤011x +≥ B ．存在00x >11x <C ．任意0x >11x+< D ．任意0x ≤11x≥ 【答案】B【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ＞01x≥1”的否定是： 存在00x >11x < 故选：B ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【考点】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5．若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41m n+的最小值是（ ）A ．9B ．4C ．12D ．14【答案】A【解析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41m n+的最小值． 【详解】圆标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r =， 直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>，∴41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21,33m n ==时等号成立． ∴41m n+的最小值是9． 故选：A ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系1m n +=，然后用“1”的代换法把41m n+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值． 6．若函数,1()(3)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩ 满足：12,x x R ∀∈，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．[2,3)C ．(2,3)D ．(1,3)【答案】B【解析】由题意，函数f （x ）()()()1311x a x a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＞在定义域R 上是增函数，故可得到13031a a a a⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞，解出即可．【详解】∵对任意x 1，x 2∈R （x 1≠x 2），恒有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，∴函数f （x ）()()()1311xax a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＞在定义域R 上是增函数，∴13031a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞， 解得，2≤a ＜3， 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，注意断点处要保证增，属于中档题． 7．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ） A ．2:1 B ．3:2C ．4:3D ．1:1【答案】B【解析】设球的半径为R ,分别求出球和圆柱的表面积即可求解. 【详解】设球的半径为R ,则该圆柱的底面半径为R ，高为2R所以圆柱的表面积为：222226R R R R πππ+⋅=,球的表面积为：24R π 则圆柱的全面积与球的表面积之比为3:2 故答案选B 【点睛】本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题.8．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N 都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010 D ．40372020【答案】B【解析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N 都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010． 故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题． 9．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10．若向量(1,1)OA =-u u u v ，||||OA OB =u u u r u u u r ，1OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，则向量OA u u u r 与OB OA -u u u r u u u r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】可求得2OA =u u u r ，从而2OB =u u u r 1OA OB ⋅=-u u u r u u u r 便可得到12cos AOB ∠=-，从而得出23AOB π∠=，可作△AOB ，从而可以得出6A π∠=，而OB OA AB u u u r u u u r u u u r -=， O A uu u r 和AB u u u r 的夹角容易得出，即得出OA u u u r 与OB OA -u u u r u u u r的夹角．【详解】根据条件，2OA OB ==u u u r u u u r；∴OA OB OA OB cos AOB ⋅=∠=u u u r u u u r u u u r u u u r2cos ∠AOB ＝﹣1；∴12cos AOB ∠=-； ∴23AOB π∠=，如图，作△AOB ，23AOB π∠=，OA ＝OB ， 则：6A π∠=，OB OA AB u u u r u u u r u u u r-=；∴OA u u u r 和AB u u u r 夹角为56π；即向量OA u u u r 与OB OA -u u u r u u u r 夹角为56π．故选D ． 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的计算公式，以及向量减法的几何意义，考查了向量夹角的概念，属于中档题．11．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.12．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B【解析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.二、填空题13．若{}n a 是等比数列，且公比4q =，12321a a a ++=，则n a =______． 【答案】14n -【解析】根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得n a . 【详解】因为{}n a 是等比数列, 公比4q =，12321a a a ++=, 故11141621a a a ++=, 解得11a =, ∴14n n a -=,故答案为：14n - 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题．14．已知实数、满足条件则的最大值为________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出表示的可行域，如图， 由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，ABC ∆的面积等于23则ABC ∆外接圆的面积为______． 【答案】4π【解析】利用三角形面积公式求解4c =,再利用余弦定理求得23a =进而得到外接圆半径,再求面积即可. 【详解】由12sin 23c π⨯⋅=4c =．22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=．解得a =24sin3R π∴==，解得2R =．∴△ABC 外接圆的面积为4π．故答案为：4π． 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.16．双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2，则C 的离心率为_____．【解析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°， 可得m 2+n 2＝4c 2，且12mn ＝a 2， 由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2，即为c =，可得e ca==.2. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．三、解答题 17．已知函数1()(sin sin ),2f x x x x R =+∈ （1）求函数()f x 的最小正周期T 和单调递增区间；（2）若[]0,x π∈，且关于x 的函数2()2()2()21g x f x f x a =---的最小值为12，求a 的值 【答案】(1) T 2π=，增区间2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(2)-1【解析】（1）化简函数式()f x ，然后结合正弦函数性质可得周期与增区间； （2）设sin x t =可得[]0,1t ∈，由二次函数的知识可得． 【详解】 解：（1）1()(sin |sin |)2f x x x =+ sin ,sin 0sin ,22,0,sin 00,222x x x k x k k Z x k x k πππππππ⎧≥≤≤+⎧==∈⎨⎨<+<<+⎩⎩则函数()f x 的周期T 2π=函数()f x 的增区间2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦（2）2()2sin 2sin (21)g x x x a =--+ 令sin x t =可得[]0,1t ∈换元可得222(21)y t t a =--+，对称轴为12t =31(2), 1.22a a ∴-+=∴=-【点睛】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．18．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率． 【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n=80.01610⨯=50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为x，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得71m=，x=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率101112121 p=-=.【考点】频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.19．在如图所示的多面体中，面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形.(1)求证：//AE 平面BFC ；(2)若AD DE ⊥，1AD DE ==，2AB =，60BAD ∠=︒，求三棱锥F AEC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)3【解析】（1）根据平行四边形和矩形特点可得//AD BC ，//DE BF ，由线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面//ADE 平面BCF ；由面面平行性质定理可证得结论；（2）设AC BD O =I ，可知O 为AC 中点，根据比例关系和体积桥可知2F AEC A OEF V V --=；利用余弦定理求得BD 后可证得AD BD ⊥，由线面垂直判定定理证得AD ⊥平面BDEF ；利用三棱锥体积公式可求得A OEF V -，进而求得结果. 【详解】（1）Q 四边形ABCD 为平行四边形 //AD BC ∴又AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF //AD ∴平面BCFQ 四边形BDEF 为矩形 //DE BF ∴又DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF //DE ∴平面BCF,AD DE ⊂Q 平面ADE ，AD DE D ⋂= ∴平面//ADE 平面BCF又AE ⊂平面ADE //AE ∴平面BFC （2）设AC BD O =I ，连接,OE OFQ 四边形ABCD 为平行四边形 O ∴为AC 中点22F AEC C AEF O AEF A OEF V V V V ----∴===在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 4123BD AB AD AD AB BAD =+-⋅∠=+-=3BD ∴= 222AB AD BD ∴+= AD BD ∴⊥又AD DE ⊥，,BD DE ⊂平面BDEF ，BD DE D ⋂= AD ∴⊥平面BDEF∴点A 到平面OEF 的距离为AD11322OEF BDEF S S BD DE ∆==⋅=Y Q ，1AD = 123322133F AEC A OEF OEF V V S AD --∆∴==⨯⋅==【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面平行判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理的应用；求解三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.20．设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4525，直线:(0)l y kx m m =+>与C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(0,1)P ，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)221255x y +=(2)证明见解析，定点(0,2)．【解析】(1)由焦距和离心率求出,a c ，根据椭圆的性质求出b ,即可写出椭圆C 的方程.(2)将直线l 代入椭圆方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x 结合直线l 的方程，求出12y y +，12y y ,将4PA PB ⋅=-u u u r u u u r表示为坐标形式，化简求出m 的值，根据直线方程的性质即可得到直线l 过定点的坐标. 【详解】解：（1）2c c =⇒=因为c e a ==，则5a =故b =C 的方程为221255x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221255y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理可得()22215105250k x mkx m +++-=所以>0∆，1221015km x x k +=-+，212252515m x x k-=+ 所以()121222215my y k x x m k +=++=+()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k--++-+==++ 因为(0,1)P ，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r所以()()()1122121212,1,114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-所以22222252525250151515m k m m k k k--++-+=+++ 整理可得23100m m --= 解得2m =或53m =-（舍去） 所以直线l 过定点(0,2) 【点睛】本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题. 21．已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2) 12m ≥【解析】（1）先由题意得到定义域，对函数求导，分别讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果； （2）因为20a -≤<，由（1）得到函数()f x 在[]1,2上单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤，则121211()()f x f x mx x -≤-可化为2121()()m m f x f x x x +≤+，令21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则()h x 为[]1,2上的减函数，对()h x 求导，根据函数()h x 单调性，即可得出结果. 【详解】（1）∵依题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，∴2()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.当0a >时，由()0f x '>得x ()0f x '<得0x <<；综上可得当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x在(上单调递减；在)+∞上单调递增.（2）因为20a -≤<，由（1）知，函数()f x 在[]1,2上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤，则121211()()f x f x mx x -≤-， 可化为2121()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数， 即2()0a mh x x x x=--≤'在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立， 设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤＜，所以2()30＞'=-g x x a ，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数，所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立） 所以12m ≥． 【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 【答案】（1）曲线C 的普通方程为22193x y +=,直线l 的直角坐标方程为10x y -+=;（2）8. 【解析】（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题（2）该类型考题多注意()1,0P -恰好在直线l 上，从而将直线直角坐标方程化为过P 的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。

陕西省西安中学2020届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合M 满足{}1,2M ⊆n {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用列举法，求得集合M 的所有可能，由此确定正确选项. 【详解】由于集合M 满足{}1,2M ⊆n {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.故选：B 【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.2．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1 B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】【详解】 由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.3．已知向量()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r v ，若a b v P r ，则锐角α为（ ） A ．30° B ．60︒C ．45︒D ．75︒【答案】C【解析】∵()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭v v ，b v ∥a v ，∴21sin 2α=， 又α为锐角，∴sin ,452αα==︒．选C ． 4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.【考点】古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.5．设0.50.5a =，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】利用幂函数的性质比较a 与b 的大小，利用指数函数的性质比较a 与1的大小，利用对数式的运算性质得到c 大于1，从而得到结论． 【详解】因为y ＝x 0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a ＞b ． c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5． 所以b ＜a ＜c ． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等关系，考查了基本初等函数的单调性，是基础题． 6．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A【解析】 由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意； 如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.7．已知函数f （x ）满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），且f （x +2）＝f （x ），当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （52-）＝（ ） A ．12-B ．14-C ．14D ．12【答案】A【解析】根据周期性和奇偶性，即可求解. 【详解】由f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 得51111()()()22222252f f f -=-=-=-⨯⨯=-. 故选:A 【点睛】本题考查函数的性质应用，属于基础题.8．已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“//m n ”是“//m α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由,m n αα⊄⊂，//m n ，则由线面平行的判定定理得//m α 由//m α不能得出m 与α内任意直线平行，则//m α不能得出//m n 即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，涉及了线面平行的判定定理和性质的应用，属于基础题.9．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为（ ） A ．45B ．45-C ．35 D ．35- 【答案】D【解析】根据已知条件，求出切线斜率tan 3α=，再根据同角三角函数的基本关系可求出sin α，cos α，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果. 【详解】根据已知条件，212()f x x x '=+，因为曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，所以tan (1)123f α'==+=，02πα<<.因为22sin cos 1a α+=，sin tan 3cos ααα==，则解得sin α=cos α=，故3cos(2)sin 22sin cos 25παααα+=-=-=-.故本题正确答案为D. 【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.10．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O ）AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a +===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322n m mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若()()124f x f x =-，且12x x -的最小值为π2，则()f x -（ ）． A ．在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 【答案】D【解析】化简得到()()2sin 23x g x f x π⎛⎫-+⎪⎝-=⎭=，分别计算π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和ππ,312x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈时的单调性得到答案.【详解】()[]sin 2sin 2,23x x f x x πωωω⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭，()()124f x f x =-，且12x x -的最小值为π2，故22,22T ππωω==⨯∴=()()2sin 22sin 233x x x g x f ππ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝==⎭-当π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数有增有减，故AB 错误； 当ππ,312x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈时，2,332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，故D 正确，C 错误； 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12．已知1F ，2F 分别是双曲线222-1(0)y x b b=>的左、右焦点，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()12， B ．)∞C ．(()12+⋃∞， D ．()2+∞，【答案】D【解析】根据题意求出点P 的坐标，再根据120PF PF ⋅>u u u r u u u u r 即可容易求得. 【详解】由题可知，渐近线方程为y bx =±， 故可得直线1PF 方程为()y b x c =+， 联立y bx =-， 即可求得点P 坐标为,22c bc ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又因为点P 在以线段12F F 为直径的圆外， 故可得120PF PF ⋅>u u u r u u u u r， 则3,,02222c bc bc c ⎛⎫⎛⎫--⋅-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222344b c c >，解得23b >，则离心率2e =>. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题；本题的难点在于点P 坐标的求解，以及点在圆外的转化.二、填空题13．设,x y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为__________．【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】由x，y满足约束条件2121,x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立2121x yx y+=⎧⎨+=-⎩，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，150.现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______.【答案】1 30【解析】根据分层抽样的概率，即可容易求得. 【详解】由题可知，B 型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等，则其概率16112021015030P ==++. 故答案为：130. 【点睛】本题考查分层抽样的概率计算，属基础题.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.16．我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述： ①四个侧面都是直角三角形； ②最长的侧棱长为6③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④外接球的表面积为24π． 其中正确的描述为____．【答案】①②④【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4，然后逐一分析四个命题得答案． 【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，PA=2， 底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4， 则四个侧面是直角三角形，故①正确； 最长棱为PC ，长度为6，故②正确；由已知可得，2，6，5③错误； 把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为126，其表面积为6=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④． 故答案为①②④． 【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．三、解答题17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ） 12n n a += （Ⅱ）见解析，234n n+【解析】（1）利用2342248a a a q a q +=+=及28a =求得q ，从而得到通项公式．（2）利用定义证明{}n b 等差数列，并利用公式求和． 【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >．由2348,48a a a =+=得28848q q +=，解得2q =． 故21822n n n a -+=⨯= ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1441log log 22n n n n b a ++===． 故112n n b b --=，所以{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列， 所以()21131224n n n n nS n -+=⨯+⨯=． 【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明1n n a a d --=；（2）证明：112n n n a a a -+=+.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积 3V =，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 313【解析】【详解】试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离 试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB 又EO平面AEC ，PB平面AEC所以PB ∥平面AEC ． （2）1366V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得. 作交于．由题设易知，所以故，又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为法2：等体积法136V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得. 由题设易知,得BC假设到平面的距离为d ，又因为PB=所以又因为(或)，，所以【考点】线面平行的判定及点到面的距离19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图.（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率； （3）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率. 【答案】（1）甲的成绩比较稳定，理由见解析（2）12（3）列举见解析；概率为15【解析】（1）求得甲乙两位同学成绩的平均成绩和方差，据此判断； （2）根据茎叶图中的数据，即可容易求得；（3）根据题意，列举即可；再根据古典概型的概率计算公式即可容易求得. 【详解】（1）派甲参加比较合适，理由如下：1(702804902988x =⨯+⨯+⨯++甲842153)85++++++=，1(701804903538x =⨯+⨯+⨯++乙525)85+++=，()()()22221[7885798581858S =-+-+-甲()()()222828584858885+-+-+-()()2293859585]35.5+-+-=，()()()22221[7585808580858S =-+-+-乙()()()222838585859085+-+-+-()()2292859585]41+-+-=，故x x =甲乙，22S S <甲乙，则甲的成绩比较稳定，派甲比较适合.（2）从茎叶图可知，成绩高于84分的数据有4个，故所求概率4182P ==； 3（）从不小于80分的成绩中抽取2个成绩， 所有结果为()8182，，()8184，，()8188，，()8193，，()8195，，()8284，，()8288，， ()8293，，()8295，，()8488，，()8493，，()8495，，()8893，，()8895，，()9395，， 共15个，其中，满足2个成绩均大于85分的有()8893，，()8895，，()9395，共3个， 故所求的概率是31155=. 【点睛】本题考查由茎叶图计算平均数和方差，以及利用列举法求古典概型的概率计算，属综合综合基础题.20．如图，已知圆()22:14E x y +-=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点12,F F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ， E ， A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线交椭圆C 于,M N 两点，当AMN ∆的面积取取最大值时，求直线l 的方程.【答案】(1)22196x y +=;(2) 233y x =±. 【解析】试题分析：（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c ，再由条件得1F A 为圆E 的直径，且14AF =，根据勾股定理求出22AF =，根据椭圆的定义和222a b c=+依次求出a,b 的值，代入椭圆方程即可；（2）由（1）求出A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA 的斜率，设直线l 的方程和,M N 的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去y ，利用韦达定理和弦长公式求出MN ，由点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，代入三角形的面积公式求出AMN S ∆，化简后求最值即可.试题解析：(1)∵1F ， E ， A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，且14AF =， ∴212AF F F ⊥.由()22014x +-=，得3x =±，∴3c =，∵222211216124AF AF F F =-=-=， ∴22AF =， ∴1226a AF AF =+=，3a =.∵222a b c =+，∴26b =，∴椭圆C 的方程为22196x y +=. (2)由（1）知，点A 的坐标为()3,2，∴直线OA 的斜率为233，故设直线l 的方程为23y x m =+，将l 方程代入22196x y +=消去y 得： 226433180x mx m ++-=， 设()11,,M x y ()22,,N x y ∴12233x x m +=-， 212132x x m =-， 2248724320m m ∆=-+>，∴3232m -<< 又：2211MN k x =+-()221212414142839x x x x m ++-=-∵点A 到直线l 的距离217d =，∴2111421282297AMN S MN d m ∆=⋅=- 22211428149m m ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭42211428149m m =-+ 2136314142≤=， 当且仅当22891429m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，即3m =±时等号成立，此时直线l 的方程为233y x =±. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．设0a >，函数()222ln f x x ax a x =--．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值．【答案】（1）()f x 的单调减区间是⎛ ⎝⎭，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）12. 【解析】（1）将1a =代入()f x 中可得()222ln f x x x x =--（0x >）,令()0f x '=,解得x =,进而求得单调区间；（2）令()0f x '=,解得10x =<（舍）,20x =>,可得函数()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增,则()()2min f x f x =,由于函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点,则()20f x =,整理即为2212ln 0x x --=,设()2ln 1g x x x =+-,可得()2ln 1g x x x =+-在()0,∞+是单调递增的,则()10g =,进而求得a 【详解】（1）函数()222ln f x x ax a x =--,当1a =时,()222ln f x x x x =--（0x >）,∴()2222222x x f x x x x--'=--=,令()0f x '=,即210x x --=,解得12x +=或12x -=（舍）,∴x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<；x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时,()0f x '>,∴()f x 的单调减区间是⎛ ⎝⎭,单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭（2）()222ln f x x ax a x =--,则()2222222a x ax af x x a x x--'=--=, 令()0f x '=,得20x ax a --=, ∵0a >,∴240a a ∆=+>,∴方程的解为102a x -=<（舍）,202a x +=>；∴函数()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增， ∴()()2min f x f x =,若函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点, 则()20f x =,而2x 满足222x ax a =+,∴()()222222222ln 122ln 0f x ax a ax a x a x x x =+--=+--=, 即2212ln 0x x --=, 设()2ln 1g x x x =+-,∵()2ln 1g x x x =+-在()0,∞+是单调递增的, ∴()g x 至多只有一个零点, 而()10g =,∴用21x =代入222x ax a =+,得10a a --=, 解得12a =【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题 22．在直角坐标系xOy 中，圆221:(4C x y +=，曲线2C 的参数方程为22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），并以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出1C 的极坐标方程，并将2C 化为普通方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为2(),3R C πθρ=∈与3C 相交于,A B 两点，求1ABC ∆的面积（1C 为圆1C 的圆心）.【答案】（1）1C : 2cos 10ρθ-=,2C :22(2)4x y -+= ;（2）32; 【解析】【详解】（1）1C 的极坐标方程为：2cos 10ρθ-=, 2C 化为普通方程为:()2224x y -+= .（2）直线3C 的普通方程为y =，显然曲线2C 与3C 相交于原点，不妨设,A O 重合2AB ∴=,1AC =,1120BAC ∠=o，1113sin12022ABC S AB AC ==o V . 23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）15(22++． 【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-，解得：1522a +<<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。

2020届陕西省西安市长安一中高三上学期第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}11A x N x =∈-<≤，{}11B x Z x =∈-≤<，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．∅C ．{}0D ．()1,1-【答案】C【解析】化简集合A ，B ，求交集即可. 【详解】{}{}110,1A x N x =∈-<≤=，{}11={1,0}B x Z x =∈-≤<-，{0}A B ∴=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．已知复数1i z =--（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则2z z +的虚部为（ ） A ．i B ．3C ．1D ．3i【答案】B【解析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解. 【详解】1i z =--,22(1)(1)13z z i i i ∴+=--+-+=-+, ∴复数的虚部为3，故选：B . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可． 【详解】根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比， 由图形知，则A 转盘的中奖概率小于12，B 转盘的中奖概率是34，C 转盘的中奖概率是58，D 转盘的中奖概率是23， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．4．已知著名的狄利克雷函数() 1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m R ∈，则()()()f f f m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法求【答案】B【解析】分别讨论m Q ∈和R m Q ∈可求解． 【详解】若m Q ∈，则()1f m =，()()()()()()111f f f m f f f ∴===，若R m Q ∈，则()0f m =，()()()()()()011f f f m f f f ∴===，故选：B ． 【点睛】本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题.5．以()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线()2220x y a a -=>两条渐近线相交于M 、N 两点，若OMN ∆的面积为4，则抛物线C 的标准方程为（ ） A ．28y x = B ．28x yC ．24x y =D ．28x y =【答案】D【解析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出OMN 为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p 的值，即可得出抛物线的标准方程． 【详解】抛物线C 的准线为2py =-，双曲线222(0)x y a a -=>， 两条渐近线为y x =±，OMN ∴为等腰直角三角形，则2114224OMNp Sp p =⋅⋅==， 4p ∴=，抛物线C 的标准方程为28x y =， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题． 6．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2ii y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（ ） A ．6.1 B ．22.1C ．12.6D ．3.5【答案】A【解析】求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可.由表格知，196x =， 6119.2ii y==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+， 1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+， 当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用， 属于中档题.7．如图所示的程序框图是求3333---的值的程序，则判断框中应填入（ ）A ．1i ≥B ．5i ≤C ．5i >D ．7i ≤【答案】B【解析】根据框图，模拟程序的运算即可求解. 【详解】由程序框图得，3S =1i =，满足条件得33S =-3i =，满足条件得333S =--， 5i =，满足条件3333S =---， 7i =，否，输出S 的值，结束程序，因此判断框应该是5i ≤， 故选：B ．本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.8．已知命题:p x R ∀∈，40x x +≥，则下列判断正确的是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，40x x +<是真命题B ．:p x R ⌝∀∈，40x x +≤是假命题 C ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +≥是真命题 D ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +<是假命题【答案】D【解析】根据命题p 的真假及含量词的命题的否定即可求解. 【详解】命题p 是真命题，p ∴⌝是假命题，且命题的否定为：，4000x x +<，故选：D . 【点睛】本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π-B ．283π-C ．8π-D ．82π-【答案】B【解析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值. 【详解】由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，∴体积为3211222128323V ππ=-⨯⨯⋅⨯=-，故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题.10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且面积2S =，2c a=，则角B 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由三角形面积公式得211csin sin24S a B c B ==，又由2S =可得221sin4c B =化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可．【详解】2ca=， 211csin sin 24S a B c B ∴==，又2S =，221sin4c B ∴= 即221sin4c B =cos 2B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，7666B πππ<+<， 62B ππ∴+=，则3B π=，故选：C ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题．11．已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，()g x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，则AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．14【答案】A【解析】根据题目条件，逐步分析，首先得出()f x 的解析式，再变换为()g x 的解析式，求出点A 、B ，易得AOB 的面积． 【详解】由题设知，()f x 的周期为π，22ππωω∴=⇒=，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()02g ∴=，即()0,2A ，()g x 的图象与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，,04B π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1122244AOBSOA OB ππ=⋅=⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质，属于中档题．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N ，且2OM OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．2D 1【答案】D【解析】由椭圆的性质可先求得ON =，故可得130NF O ∠=︒，再由椭圆的定义得a ，c 的关系，故可得答案． 【详解】21||OM OF OF ==，1290F MF ∴∠=︒，又2OF =，3ON c ∴=，则11tan ON NFO OF ∠==， 130NF O ∴∠=︒，则2MF c =，1MF =，2c a +=， 1e ∴=，故选：D . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题.二、填空题13．已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C ，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为______.【答案】【解析】由OB OA OC =+得出向量的坐标，再求模即可． 【详解】由向量的平行四边形法则知，()()()2,01,33,3OB OA OC =+=+=，23OB ∴==故答案为： 【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题.14．设不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为M ，则M 的面积是______.【答案】2【解析】作出不等式组所表示的区域，即可求解. 【详解】作出不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图所示，则M 为正方形ABCD 2，M ∴的面积是2．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题． 15．sin 75tan195=______. 62-【解析】根据诱导公式化简即可求值. 【详解】sin 75tan195cos15tan15sin15=︒︒=︒,62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=, 62sin 75tan1954-∴=, 故答案为：624【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题.16．已知函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，若[]1,x e ∈时，不等式()()()2ln 121ln 12f m x f f x m --≤++-恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立，故解得m 的取值范围．【详解】函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即函数()y f x =为奇函数，不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤，即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤，()()211f m lnx f --≤，又()f x 函数在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，则12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立， 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增，max 131ln 22y e ∴=+=，故32m ≥．故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.三、解答题17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone ）技术不断成熟，尤其在5G 领域，华为更以1970件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：（1）求表中a 的值；（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；（3）若从使用手机1小时和7小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这2人都使用7小时的概率.【答案】（1）25％（2）抽取到高二的学生能估计，概率为0.53，抽取到高一高三的学生不能估计（3）115【解析】()1由已知易知100410311612225a =------=％％％％％％％％；()2分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A 的结果数，求解．【详解】()1由题设知，100410311612225a =------=％％％％％％％％． ()2样本是从高二年级抽取的，∴根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况． 若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为：0.040.10.310.080.53+++=；若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3由题设知，使用1小时的人共有：10044⨯=％人，设为A ，B ，C ，D ，使用7小时的共有10022⨯=％人，设为a ，b ，从中任选2人有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab ，∴所求概率为115P =． 【点睛】本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题．18．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，12b =，1112n n b a a b a +=+-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n T 是数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数n ，使2019n n S T +=，若存在，求出正整数n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）24n b n =-+（2）存在正整数n 的值为673.【解析】()1取1n =，2时求得首项1a ，2a ，代入1112n n b a a b a +=+-，整理得到数列{}n b 是等差数列，再求通项公式;()2由等差数列求和公式求得数列{}n b 的前n 项和为T n ，结合2n S n =，再带入数值可求． 【详解】()21n S n =，11a ∴=，221413a S S =-=-=，代入1112n n b a a b a +=+-得，12n n b b +=-，又12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2-为公差的等差数列，故24n b n =-+；()2由()1知，()()12224322n n n b b n n T n n +-+===-，又2n S n =，2233n n S T n n n n ∴+=+-=，由2019n n S T +=得，32019n =，673n ∴=，故存在正整数n 的值为673． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题．19．如图，在半圆柱W 中，12,O O 分别为两底面半圆的圆心，平面ABCD 是半圆柱的轴截面，M 、N 分别是两底面半圆弧的中点.（1）求证：平面BMC ⊥平面2MNO ；（2）求半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值. 【答案】（1）证明见解析（2）34π【解析】（1）由面面垂直的判定定理可得； （2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】()1证明：M 、N 分别是上下底面圆弧的中点，//MN AB ∴，又平面ABCD 是半圆柱的轴截面，∴四边形ABCD 是矩形，则BC AB ⊥，BC MN ∴⊥，2O 为底面半圆的圆心，N 是底面半圆弧的中点， 2BC O N ∴⊥，又2MN O N N ⋂=，BC ∴⊥平面2MNO ，BC BMC ⊂平面， ∴平面BMC ⊥平面2MNO ；()2设半圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为AB ，∴半圆柱的体积为2112V r AB π=⋅，连结1MO ，由题设知，1MO ⊥平面ABCD ，∴四棱锥M ABCD -的体积为2211122333ABCD V S MO r AB r r AB =⋅=⋅⋅⋅=⋅， 则半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值为：2122132243r AB V V r AB ππ⋅==⋅． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题．20．已知函数()()1xf x x e =-，()()21g x a x =+，a R ∈.（1）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，求函数()h x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()()ln F x g x g x t x '=-+（t 为常数），若函数()F x 有两个极值点(),m n m n <，求证：()11ln 2042F n -<<. 【答案】（1）单调递减区间(),0-∞和()2,ln +∞，单调递增区间()0,ln2（2）证明见解析【解析】()1通过函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程求解的出()'2xh x xe x =-+，讨论x 的取值范围可确定()f x 的单调区间；()2函数()F x 由两个极值点m ，n 等价于()2220G x x x t =-+=有两个相异实根m ，n ，得出112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，利用单调性即可证明不等式． 【详解】()1由题设知，()()()211x h x x e a x =-++，函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，∴(0)12h a =+=，即1a =()()()'1222x x x x h x e x e x xe x x e ∴=-+-+=-+=-，x ∈R ，令()'0h x =，则0x =或ln2x =，∴当0x <或ln 2x >时，()0h x '<，当0ln 2x <<时，()0h x '> ∴函数()h x 在(),0-∞和()2,ln +∞上单调递减，在()0,ln2上单调递增.() 2证明：当1a =时， ()21g x x =+，()212F x x x tlnx ∴=+-+，0x >，则()222'22t x x t F x x x x-+=-+=，0x >，令()222G x x x t =-+，则()G x 为开口向上且对称轴为12x =的抛物线， 由题设知，()0G x =在()0,∞+上有两个相异实根m ，()n m n <，102m >> 即2220n n t -+=且112n <<，222t n n ∴=-+，112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，()()()'22422242F n n n lnn n n lnn ∴=-+-+-+=-+，112n <<， ()420n lnn ∴-+>，则函数()F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112F F n F ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()11ln2042F n -<<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为两切线的斜率，若12311k k =，求点P 的坐标. 【答案】（1）24x y =（2）()±【解析】()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2 设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，1MF MN ∴=+，又MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =，∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线， 则12p=， 2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，200122021y yk k x -∴=-，由题设知，2002023111y y x -=-，又()00,P x y 为曲线C 上的一点， 由()1知，2004x y =，2000234111y y y -∴=-，即20113430y y -+=， 解得，0111y =或03y =， 02y >，03y ∴=，则0x =± ∴点P的坐标为()±．【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过曲线2C 的圆心且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于A 、B 两点，求22C A C B ⋅的值.【答案】（1）24y x =；22(2)(1)1x y ++-=（2）152【解析】()1消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程；()2由直线l 的参数方程代入24y x =整理得221502t -+=，再运用几何意义可得答案． 【详解】()1由24x t y t=⎧⎨=⎩消去参数t 得，曲线1C 的普通方程为24y x =；222x y ρ=+，x cos ρθ=，y sin ρθ=，∴圆2C 的直角坐标方程为224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-=；()2曲线2C 的圆心为()2,1-，直线l 的倾斜角为4π， ∴直线l的参数方程为22(12x t ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)， 将其代入24y x =整理得，22150t +=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则2212152C A C B t t ⋅==． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题. 23．已知函数()223x a a f x x -+++=.（1）当0a =时，若()f x m ≥恒成立，求m 的最大值； （2）()15f -<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3（2）11a <<-【解析】()1当0a =时，()3f x x x =++，根据绝对值三角不等式可得()3f x ≥，则3m ≤；()()221122f a a -=+++，原不等式即为24220a a -++<，讨论1a ≤-，1a >-两种情况分别求解即可．【详解】()1当0a =时，()3f x x x =++，()333x x x x ++≥-+=，()3f x ∴≥，则3m ≤，m 的最大值为3；()()22211123122f a a a a -=--+-++=+++，()15f ∴-<即为24220a a -++<，当1a ≤-时，24220a a ---<，即2260a a --<，解得11a -<<，11a ∴-，当1a >-时，24220a a -++<，即2220a a +-<，解得11a --<<-11a ∴-<<-+，综上，实数a 的取值范围是11a <<-． 【点睛】本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.。

西安中学高2020届高三月考数学(文科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．是符合题目要求的.请将正确选项填涂在答题卡上.） 1.已知集合{}31≤<-=x x A ，{}4,3,0,1,2--=B ，则=B A I （） A ．{}0 B ．{}3,0 C ．{}3,0,1- D ．{}4,3,02.已知复数ii z ++=2213（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应点的坐标为（）A ．)0,1(B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,0(-3.函数)4(log )(221-=x x f 的单调递增区间是( )A.),0(+∞B.)0,(-∞C.),2(+∞D.)2,(--∞ 4.下列说法不正确的是( )A.命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题B.命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0” C.“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D.α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＞0，π，x ＝0，π2＋1，x ＜0，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．π D．06.已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[]1,37.在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x的零点所在的区间为（） A. )41,0( B. )21,41( C. )43,21( D. )1,43(8.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(ππx -≤≤且0x ≠)的图像可能为（）9.已知f (x )=ln(x 2+1),g (x )= -⎪⎭⎫ ⎝⎛x21m ,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是( )A. B .C .D .10.函数()f x 的图像关于y 轴对称，且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，若当35 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =（）A ．14-B ．14C.4-D ．411.二次函数)(x f 的图像经过点)23,0(，且)('x f ＝－x －1，则不等式f (10x)＞0的解集为( )A ．(－3，1)B ．(－lg 3，0) C. )1,10001(D ．(－∞，0)12.已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（） A.（0，23] B.[23，34] C.[13，23]U {34} D.[13，23）U {34}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卡的相应位置上.） 13.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x=+,则()1f -=_______. 14.已知命题p :∀x ∈[0,1],a ≥e x,命题q :“∃x 0∈R ,20x +4x 0+a=0”,若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是 .15.设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．16.不等式x e kx ≥对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为___________.三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） (一)必考题:共60分.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC =22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ； （Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；19.（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两圆C 1与C 2的圆心的距离之和等于4，其中C 1：023222=+-+y y x ，C 2：033222=-++y y x . 设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．问k 为何值时OA u u u r ⊥OB uuu r ？此时AB u u u r的值是多少？21.（本小题满分12分）已知函数()ln()xf x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数. （Ⅰ）求实数a 的值； （2）讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线3:πθ=OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知,,a b c R +∈，求证：（Ⅰ）2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥；（Ⅱ）3b c a c a b a b ca b c +-+-+-++≥.西安中学高2020届高三月考数学(文科)答案一、选择题二、填空题13、-214、[e,4] 15、(1，1)16、e 三、解答题17、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =L . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 18、解：（Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =2AB =，1BC =，所以BC AC ⊥．又因为AC FB ⊥， 所以⊥AC 平面FBC ．（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ．在等腰梯形ABCD 中可得1==DC CB ，所以1=FC ． 所以△BCD 的面积为43=S ．所以四面体FBCD 的体积为：13F BCD V S FC -=⋅=． 19、解：（Ⅰ）由题意得，(,,)a b c 的所有可能为：(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3)， (2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3)， (3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),，共3种， 所以31()279P A ==. 因此“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为19. （Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)，共3种， 所以38()1279P B =-=. 因此“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率为89.20、解：（Ⅰ）由已知得两圆的圆心坐标分别为12(0,C C .设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0(0-，为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，∵042≠+k ，222412(4)16(3)0k k k ∆=++=+>，∴1,2222(4)k x k -=+， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 又1)()1)(1(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 令041422=++-k k ，得21±=k . 因为2121y y x x +=⋅，所以当21±=k 时，有0=⋅，即⊥. 当12k =±时，12417x x +=m ，121217x x =-．AB ==u u u u r而22212112()()4x x x x x x -=+-23224124134171717⨯=+⨯=，所以17AB =u u u u r ．21、解：（Ⅰ）()ln(e )x f x a =+∵是奇函数，()()f x f x -=-∴， 即ln(e )ln(e )x x a a -+=-+恒成立，2(e )(e )11e e 1x x x x a a a a a --++=+++=∴，∴， 即(e e )0x x a a -++=恒成立，故0a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知方程2ln 2e ()x x x m f x =-+，即2ln 2e xx x m x=-+， 令212ln ()()2e xf x f x x x m x==-+，， 则121ln ()xf x x -'=，当(0e]x ∈，时，11()0()f x f x '≥，∴在(0e]，上为增函数； 当[e )x ∈+∞，时，11()0()f x f x '≤，∴在[e )+∞，上为减函数；∴当e x =时，1max 1()ef x =．而2222()2e (e)e f x x x m x m =-+=-+-，当(0e]x ∈，时，2()f x 是减函数，当[e )x ∈+∞，时，2()f x 是增函数， ∴当e x =时，22min ()e f x m =-．故当21e e m ->，即21e e m >+时，方程无实根；当21e e m -=，即21e e m =+时，方程有一个根；当21e e m -<，即21e em <+时，方程有两个根．22、解：（Ⅰ）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（Ⅱ）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q 的极坐标，2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2.23、证明：（Ⅰ）21(1)(1)()()ab a b a b ab ac bc c a c b c +++=+++++=++，． 000a b c >>>∵，，，10a ∴+≥，100b a c +≥>+≥>，，0b c +≥>，(1)(1)0a b ∴++≥，当且仅当1a b ==时取“=”，()()a c b c ++≥a b c ==时取“=”，(1)(1)()()16a b a c b c abc ++++∴≥，当且仅当1a b c ===时取“=”， 因此，当a b c +∈R ，，，有 2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥．（Ⅱ）3b c a a b c R a b c +∈∴++≥=Q ，，，，当且仅当a b c ==时取“=”，36c b a b c a c b aa cb a bc a c b∴++≥∴+++++≥，， 因此，1113b c c a a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3b c a c a b a b ca b c+-+-+-++≥．。

2020届陕西省西安中学高三第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞U【答案】A【解析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<Q ，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2．在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简复数，判断对应点的象限. 【详解】24(24)(1)6231(1)(1)2i i i ii i i i ++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.3．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．【考点】两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．4．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1 B ．6C ．7D ．6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．【考点】等差数列的性质.5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件， 当2n =时，454a =，8b =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358a =，16b =满足进行循环的条件，当4n =时，40516a =，32b =不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4， 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41m n+的最小值是（ ） A ．9 B ．4C ．12D ．14【答案】A【解析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41m n+的最小值．【详解】圆标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r =，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>，∴41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21,33m n ==时等号成立． ∴41m n+的最小值是9． 故选：A ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系1m n +=，然后用“1”的代换法把41m n+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．7．若等比数列{a n }，前n项和S n ，且a 2a 3=2a 1，54为a 4与2a 7的等差中项，则S 4=（ ）A ．29B ．30C ．31D ．33【答案】B【解析】∵数列{}n a 是等比数列，42311142a a a a a q a a q==⋅=⋅，∴42a =．∵4a 与72a 的等差中项为54，∴47522a a +=，故有714a =，∴37418a q a ==，∴12q =，∴41316a a q ==，则441161230112S ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，故选B.8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．323π B ．263π C ．πD ．33π 【答案】A【解析】设外接球半径为r ，球心到底面的距离为x ，根据球心到四个顶点距离相等列出方程，再用球的体积公式计算外接球体积。

2020届陕西省西安中学高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A ={1,2,3}，集合B ={x |x 2=x }，则A ∪B = （ ） A ．{1} B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}2．复数1=-iz i（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2BC ．12D ．23． 已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题4．已知双曲线C ：221x y m-=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为( )A ．23B ．2CD 5．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A ．100，8B ．80，20C ．100，20D ．80，86．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+7．已知边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 满足2BE EC =，则AE BD ⋅的值是（ ） A ．13-B ．12-C ．14-D ．16-8．已知函数()2f x 2sinxcosx x =+将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()y g x =的图象，则()g x 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()2cos 1f x x x a x ax a =+-++，若函数()y f x a =-是奇函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是（ ） A ．10x y -+=B ．210x y -+=C ．210x y +-=D ．220x y -+=10．执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100?S >”改为关于n 的不等式“0?n n ≥”，且要求输出的结果不变，则正整数0n 的取值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．160√5π3B ．64√2π3C ．96√3π3D ．256√2π312．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)1213,1,()log (1),0,1x x f x x x ⎧--∈+∞⎪=⎨+∈⎪⎩则关于x的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．12a -B ．0C ．22a -D ．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．函数()f x =________．14．某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x 、y 满足25,2,6,x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则该学校今年计划招聘的教师人数最大值为__________．15．若直线y kx =与圆2220x y x +-=的两个交点关于直线20x y a ++=对称，则ak =__________．16．在ABC ∆中，,,a b c 为角,,A B C 所对的边，若3B π=，b =2a c +的最大值为__________．三、解答题17．已知等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且112a =，公比1q ≠. （1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n T ，求证112n T ≤<. 18．如图在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝2，点E 在线段AB 上，且BE ＝1，将△ADE 沿DE 折起到A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCDE ．（1）求证：CE ⊥平面A 1DE ；（2）线段A 1C 上是否存在一点F ，使得BF //平面A 1DE ？说明理由．19．在中国共产党第十九次全国代表大会上，习近平总书记代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告．人们通过手机、互联网、电视等方式观看十九大盛况．某调查网站从通过电视端口或PC 端口观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过电视端口观看的人数与通过PC 端口观看的人数之比为4:1．将这200人按年龄分成五组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，其中统计通过电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值．（2）把年龄在第1、2、3组的观众称青少年组，年龄在第4、5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过PC 端口观看的中老年人有12人，请完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中na b c d =+++）20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.21．已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+- （1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为l 的普通方程． 23．已知函数()12f x x x =-++，()1g x x x a a =+--+. (Ⅰ)当a ＝1时，求不等式()()6f x g x +<的解集；(Ⅱ)若对任意实数1x ，2x ，不等式()()12f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】求出集合B={0，1}，然后根据并集的定义求出A ∪B ． 【详解】解：∵集合A ＝{1，2，3}， 集合B ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}， ∴A ∪B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ． 【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题． 2．A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，z 与z 模长相同，求z 即可. 【详解】()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+2z z ===本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案. 【详解】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题 故选：C. 【点睛】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 4．D 【解析】 【分析】根据焦点坐标得c ＝2，再用平方关系得m +1＝4，解出m 值后再用离心率的公式，可得该双曲线的离心率． 【详解】∵双曲线221x y m-=的一个焦点为（2，0）， ∴m +1＝22＝4，可得m 3=,因此双曲线的离心率为e=== 故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质的应用，属于基础题． 5．A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．6．D【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 7．D 【解析】 【分析】将AE BD ⋅通过线性运算进行拆解，转变成与向量AB →和BC →相关的数量积和模长求解即可. 【详解】由题意可得大致图像如下：23AE AB BE AB BC =+=+；BD AD AB BC AB =-=-()222333AE BD AB BC BC AB AB BC AB AB BC BC AB BC ⎛⎫∴⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭221233AB BC AB BC =⋅-+ 又1AB BC ==，1cos 2AB BC AB BC BAD ⋅=∠=112113236AE BD ∴⋅=⨯-+=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题. 8．C 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数g （x ）的关系式，最后求出函数的最值． 【详解】由题意得()2f x 2sinxcosx x =+sin2x =， π2sin 2x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度得到函数： ππy 2sin 2x 2sin2x 63⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将函数y 2sin2x =向上平移1个单位长度得到函数()y g x =的图象， 即()g x 2sin2x 1=+， 所以当()πx k πk Z 4=+∈时，max g(x)3=， 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 9．B 【解析】【分析】根据函数()y f x a =-是奇函数可求得1a =，所以()cos 1f x x x x =++，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程． 【详解】由题意得()()()2cos 1g x f x a x x a x ax =-=+-+，∴函数()g x 为奇函数，∴()()()()22cos 1cos 1g x g x x x a x ax x x a x ax ⎡⎤+-=+-++-+--⎣⎦()2210a x =-=，∴1a =．∴()cos 1f x x x x =++， ∴()sin 1f x cosx x x =-+'， ∴()02f '=， 又()01f =，∴所求切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=． 故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P 的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P 处的切线”说明点P 在曲线上且点P 为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可． 10．C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，s 的值，当6264126s =+=时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果s 为126，若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ”且要求输出的结果不变，则条件06n 成立，可得正整数0n 的取值为6． 【详解】框图首先赋值1n =，2s =，执行112n =+=，246s =+=； 判断框中的条件不满足，执行213n =+=，6814s =+=； 判断框中的条件不满足，执行314n =+=，141630s =+=； 判断框中的条件不满足，执行415n =+=，303262s =+=； 判断框中的条件不满足，执行516n =+=，6264126s =+=； 此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果s 为126． 若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ”且要求输出的结果不变， 则条件06n 成立，可得正整数0n 的取值为6．故选C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查． 11．A 【解析】 【分析】设球心为O ，三棱柱的上底面ΔA 1B 1C 1的内切圆的圆心为O 1，该圆与边B 1C 1切于点M ，根据球的几何性质可得ΔOO 1M 为直角三角形，然后根据题中数据求出圆O 1半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积． 【详解】如图，设三棱柱为ABC −A 1B 1C 1，且AB =12,BC =5,AC =13，高AA 1=4．所以底面ΔA 1B 1C 1为斜边是A 1C 1的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆O 1，圆O 1与边B 1C 1切于点M ，则圆O 1的半径为O 1M =12+5−132=2．设球心为O ，则由球的几何知识得ΔOO 1M 为直角三角形，且OO 1=8−4=4， 所以OM =√22+42=2√5， 即球O 的半径为2√5，所以球O 的体积为43×π×(2√5)3=160√5π3．故选A ． 【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R 、球心到小圆圆心的距离d 和小圆半径r 为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c ，则该直角三角形内切圆的半径r =a+b−c 2，合理利用中间结论可提高解题的效率． 12．A 【解析】 【分析】函数()()(01)F x f x a a =-<<的零点转化为：在同一坐标系内(),y f x y a ==的图象交点的横坐标，作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，即零点的对称性，根据奇函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案. 【详解】因为当0x ≥时，()[)()[)1213,1,log 1,0,1x x f x x x ⎧--∈+∞⎪=⎨-∈⎪⎩，即[)0,1x ∈时，()()(]12log 11,0f x x =+∈-，当[]1,3x ∈时，()[]21,1f x x =-∈-， 当()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞-，画出0x ≥时，()f x 的图象，再利用奇函数的对称性，画出0x <时的图象，如图所示：则直线y a =与()y f x =的图象有5个交点，则方程()0f x a -=共有5个实根， 最左边两根之和为6-，最右边两根之和为6，因为()1,0x ∈-时，()0,1x -∈，所以()()12log 1f x x -=-+，又()()f x f x -=-，所以()()()()111222log 1log 1log 1f x x x x -=--+=-=-，所以中间的一个根满足()2log 1x a -=， 即12a x -=，解得12a x =-， 所以所有根的和为12a -， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交点的问题，注意对奇函数的性质的应用，以及图象的对称性的应用，属于中档题目. 13．[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.【解析】 【分析】设z x y =+，依题意，只需求max z 即可，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】设,,z x y x N y N =+∈∈，则y x z =-+，在y 轴上的截距越大，z 越大，作出可行域如图所示，平移直线y x =-，当直线经过A 点时，z 有最大值，由625x y x =⎧⎨=-⎩，得67x y =⎧⎨=⎩，所以(6,7)A ，max 6713z =+=. 故答案为：13. 【点睛】本题考查简单的线性规划的实际应用，考查学生数形结合思想，数学运算能力，是一道容易题. 15．-1 【解析】 【分析】由对称知直线20x y a ++=过圆心()1,0，再由垂直关系可得k ，从而得解. 【详解】易得直线20x y a ++=过圆心()1,0，所以2a =-， 直线y kx =与直线20x y a ++=垂直，所以12k =，所以1ak =-.本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题. 16．【解析】分析：由正弦定理可得得a=2sinA ，c=2sinC ，化为2acosA ，再利用辅助角公式化简求最大值.详解：由sin sin a c A C ==，得a=4sinA ，c=4sinC ， ∴2a+c=8sinA+4sinC=8sinA+4sin （120°﹣A ）=10sinA+（A+φ）， ∴2a+c的最大值是故答案为．点睛：本题主要考查了正弦定理、两角差公式、辅助角公式和三角函数的最值，意在考查学生三角基础知识运用能力和基本的运算能力. 17．（1）1()2n n a ；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的通项公式，可得q 的方程，解方程可得q 的值，进而得到所求通项公式； （2）利用等比数列求和公式求和，进而根据数列的单调性即可证明． 【详解】（1）由已知得：2123102q q q -+=⇒=或1q =(舍去)， 所以111111222n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为112a =，12q =，所以11122111212nn n T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以当*1n N n ∈≥，时，11022n⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭， 所以111122nn T ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭. 18．（1）详见解析；（2）存在点F （A 1C 的五等分点靠近点A 1），使得BF //平面A 1DE ，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）因为平面A 1DE ⊥平面BCDE ，所以要证明CE ⊥平面A 1DE ，只需证明CE ⊥DE 即可； （2）取CD 上点M ，使DM ＝1＝BE ，易得BM ∥平面A 1DE ，在△A 1DC 内，作MF ∥A 1D 交A 1C 于F ，易得MF ∥平面A 1DE ，进一步得到平面FMB ∥平面A 1DE ，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝2， 点E 在线段AB 上，且BE ＝1，∴DE ===CE ===CD ＝5，∴222DE CE CD +=，∴CE ⊥DE ，∵平面A 1DE ⊥平面BCDE ，平面A 1DE 平面BCDE DE =，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE ⊥平面A 1DE ．（2）取CD 上点M ，使DM ＝1＝BE ，又//DM BE ，∴ DMBE 为平行四边形，∴//BM DE ，又DE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE , ∴//BM 平面A 1DE ，在△A 1DC 内，作1//MF A D 交A 1C 与F ，因为MF ⊄平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ， 所以//MF 平面A 1DE ，又MFBM M =，∴平面//FMB 平面A 1DE ，又BF ⊂平面FMB ，∴//BF 平面A 1DE ，11//MF A D ，1115A F DM AC CD ∴==， 故存在点F （A 1C 的五等分点靠近点A 1），使得//BF 平面A 1DE ．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及面面平行的性质定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中等题.19．（1）0.035a =；（2）列联表详见解析，不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关． 【解析】 【分析】（1）由各小矩形的面积之和为1即可得到a ；（2）由频率分布直方图分别计算通过PC 端口观看和通过电视端口观看的青少年、中老年人数，列出列联表，再按卡方公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：()100.010.0150.030.011a ⨯++++=， 解得0.035a =． （2）由题意得通过PC 端口观看和通过电视端口观看的人数分别为：1200405⨯=，42001605⨯=．通过电视端口观看的160人中，青少年组、中老年组的人数分别为：()1600.0350.0150.011096⨯++⨯=，1609664-=．所以22⨯列联表为：计算得2K 的观测值为()2220028641296 1.3582 2.7064016012476K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.20．（Ⅰ）2215x y +=（Ⅱ）-10【解析】 【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，得到1b =，又c a ==，由此求出椭圆C 的标准方程.（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2215x y +=，得()222215202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，抛物线方程化为24x y =，其焦点为()0,1则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，由c e a ===，解得25a =，∴椭圆C 的标准方程为2215x y +=（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2215x y +=，∴椭圆C 的右焦点()2,0F设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2215x y +=，并整理，得()222215202050kxk x k +-+-=，∴21222015k x x k +=+，212220515k x x k-=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=-，2222x x λ=-， ∴()()1212121212121222102242x x x x x xx x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．（1）见解析；（2）[1,)e +∞ 【解析】 【分析】（1）将4a =-代入，结合导函数，判定单调区间，即可。