专题26二项式定理(原卷版)

8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a ＋b ）n ＝C n 0a n ＋C n 1a n －1b 1＋…＋C n k an －k b k ＋…＋C n n b n（n ∈N *） ①项数为n ＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n .2.通项公式：T k ＋1＝C n k an －k b k =g （r ）·x h （r ）它表示第k ＋1项①h （r ）＝0∈T r ＋1是常数项； ②h （r ）是非负整数∈T r ＋1是整式项； ③h （r ）是负整数∈T r ＋1是分式项； ④h （r ）是整数∈T r ＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n 0，C n 1，…，C n n .二.二项式系数的性质一．形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C n k an －k b k ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；③把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 二．求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大； 2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a ＋bx ）n （a ，b ∈R ）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248x x x x -+-+=（ ） A ．4x B ．()42x -C ．()42x +D ．()412x -【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128B ．129C ．47D ．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中，含x 的项的二项式系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．112【例22】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．40B ．40C ．20D ．20【例23】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【例24】（2023·四川绵阳·统考二模）()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的二项式系数为（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．－112B ．－48C ．48D ．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．358-D ．358考点三 三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A ．252B ．220C ．220D ．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．30-D ．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 （用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ．考点四 二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）()612x +的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．160B ．240C ．3160xD ．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252-，则下列说法正确的是（ ）A ．10n =B ．各项的二项式系数之和为1024C ．1a =-D ．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．考法五 系数最大项和系数和【例51】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+（i a ∈R ，0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅）的定义域为R ，则（ ）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为（ ）A ．70B ．56C ．3556x y 或5356x yD ．4470x y2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（ ）A ．7项B ．8项C ．9项D ．10项 3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++，则（ ）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++=C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D ．(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】（2023春·课时练习）设n 为奇数，那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是（ ）A ．3-B ．2C ．10D ．11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（ ） A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【例63】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05) ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02≈ （小数点后保留三位小数）． 2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为 ． 3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ （精确到0.01）。

第03讲 二项式定理目录第一部分：知识点必背 .............................................. 1 第二部分：高考真题回归 ............................................. 2 第三部分：高频考点一遍过 ........................................... 3 高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数） ...................... 3 高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题 ................ 3 高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题 .................... 4 高频考点四：二项式系数和与系数和 ................................ 5 高频考点五：二项展开式的逆应用 .................................. 6 高频考点六：二项式系数最大问题 .................................. 6 高频考点七：系数最大问题 ........................................ 7 第四部分：数学文化题 . (9)第一部分：知识点必背知识点一：二项式定理 （1）二项式定理一般地，对于每个k （0,1,2,k n =），()n a b +的展开式中n k k a b -共有k n C 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：nn n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(++++++=+--- （n N *∈）.0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：()02131*2n n n n n C C C C n N -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=∈第二部分：高考真题回归第三部分：高频考点一遍过高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数）高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知实数x不为零，则26+-的展开式中x x(1)(1)2x项的系数为.高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题高频考点四：二项式系数和与系数和1010a x ++，则22101359)()a a a a a -++++++的值为 2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设()220230122023a a x a x a x x +++⋅⋅⋅+∈R .32023a a ++的值.22023a a +++.云南昆明·高二校考阶段练习）高频考点五：二项展开式的逆应用典型例题例题1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-=（ ）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-=，则n 的值为 ．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知12n n a -=，解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2024n n n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）化简：设n +∈N ，则()()011C 2C 21C 21C knn n k n kn n n n n ---++-++-= ．2．（2023春·上海浦东新·高二校考期中）0122C 2C 2C 2C n n n n n n ++++= .3．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）0122332022202220232023202320232023202320232023C 2C 2C 2C 2C 2C -+-++-的值是 .高频考点六：二项式系数最大问题高频考点七：系数最大问题典型例题例题1．（2023·全国·高二随堂练习）已知()1nx +的展开式中第5，6，7项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．(2)求展开式中项的系数最大的项.第四部分：数学文化题1．（2023春·吉林延边·高二延边二中校考期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()mod5a b ≡=，则b 的值可以是（ ）A ．2004B ．2005C ．2025D ．20262．（多选）（2023·全国·高二专题练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A ．在第10行中第5个数最大B ．22222348C C C C 84++++=C ．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D ．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为12n -3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 .（用一个组合数作答）4．（2023春·高二单元测试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则813年以后是年.。

二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。

考点19 二项式定理一．二项式定理（1）二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋ C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) （2）通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项 （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n（4）项数为n ＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n 二．二项式系数的性质三．指定项的系数或二项式系数 1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为T r ＋1＝g (r )·x h (r )(r ＝0,1,2，…，n )，g (r )≠0，则有以下常见结论： (1)h (r )＝0∈T r ＋1是常数项 (2)h (r )是非负整数∈T r ＋1是整式项 (3)h (r )是负整数∈T r ＋1是分式项 (4)h (r )是整数∈T r ＋1是有理项 三．系数和---赋值法 1．赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可． (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．知识理解考向一 二项展开式中特定项及系数【例1】（1）（2020·长春市第八中学高三）二项式821(1)x-的展开式中4x -的系数为 （2）（2021·上海高三一模）在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.（3）（2020·全国高三）在24的展开式中，有理项共有 项 （4）（2020·云南省个旧市第一高级中学高三）25()ax x-展开式中x 的系数为80，则a 等于 。

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】【解析】分析：分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.7.【【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为的系数为A ．80- B ．40-C ．40 D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345xa x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数. 9.【2017山东，理1111】】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C3C 3rrr r rr nnx x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rr r nx +T=，令2r =得2x 的系数是2C n，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．属于容易题．属于容易题．解题时一定要抓住重解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C kn kkk n ab -+T =．11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】5312xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22k k kkkk k T C x C xx--+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rr rrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以该项系数为1516. 16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）A.3B.3-C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x2+1x）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nxx⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i为虚数单位，则6(i)x+的展开式中含x4的项为的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A23.（2016年天津高考）281()xx-的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-24.（2016年全国I高考）5(2)x x+的展开式中，x3的系数是的系数是 .（用数字填写答案）案） 【答案】10。

3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在 2x2-⎪的二项展开式中，x的系数为（D）5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）⎛x+1⎫⎪的展开式中常数项为(B)(A)35精选全文完整版（可编辑修改）学习好资料欢迎下载二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同(1+x)7的展开式中x2的系数是（D）（A）42（B）35（C）28（D）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x)5的展开式中，x2的系数等于（B）（A）80（B）40（C）20（D）10⎛1⎫5⎝x⎭(A)10(B)-10(C)40(D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在(x-2)6的二项展开式中，x2的系数为（C）2x（A）-15153（B）（C）-（D）448388⎝2x⎭3535(B)(C)(D)10516846.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）(1-3x)5的展开式中x3的系数为(A)(A)-270(B)-90(C)90(D)2707.(2013·大纲版全国卷高考理科·T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(D)8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）⎛ x + a ⎫⎪⎛ 2x - 1 ⎫⎪的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常 （ 12.（2011·湖北高考理科·T11） x - ⎪ 的展开式中含 x 15的项的系数为 17 .）16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设（x - 1)21 = a + a x + a x 2 + + a x 21 ，则17.（2011·广东高考理科·Ｔ10） x( x - )7的展开式中， x 4 的系数是___84___ (用数字作答)A.56B.84C.112D.1685 ⎝x ⎭⎝ x ⎭数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4) (1 + 3x) n (其中 n ∈ N 且 n ≥ 6 )的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等,则 n =( B)(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910． 2011·陕西高考理科·T4） (4 x - 2- x )6 （ x ∈ R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ） -20（B ） -15（C ）15 （D ）20二、填空题11. ⎛ 1 ⎫6（2013·天津高考理科·Ｔ10） x - ⎪ 的二项展开式中的常数项为 15 .⎝ x ⎭⎛ 1 ⎫18⎝ 3 x ⎭13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1- x )20 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13 （x + 1)9 的展开式中 x 3的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11) (1 + 2 x) 6的展开式中 x 4 的系数是240 .0 1 2 21a +a =0 .10112x18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若 x-x2⎪⎭19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，120.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若 x+3x⎭x4的系数为7，则实数a=_________。

高考复习基础训练——二项式定理一、单选题1、二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 7-B. 21-C. 7D. 212、若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式1)2n x的展开式的常数项是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 103、已知()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则13a a 的值为（ ） A. 1-B. 1C. 4D. 2-4、在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A. 30B.60C. 40D. -605、在61(2)x x-的展开式中含2x 项的系数是（ ）A. 192-B. 160-C. 240D. 606、()26x y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中25x y 的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．247、对任意实数x ，有()()()()()923901239231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-.则下列结论不成立的是（ ） A ．2144a =- B ．01a =C ．01291a a a a ++++=D ．9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-8、已知0a >，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二展开式中，常数项等于60，则=a （ ）A ．3B ．2C ．6D ．49、在234567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．70B ．35C ．35-D ．70-10、设()20121nn n x a a x a x a x +=++++，若23a a =，则n =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 811、若6a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （ ） A. 2B. 1C. 1±D. 2±12、()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（ ） A. 42B. 35C. 7D. 113、()()6211x ax x +---的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．3C ．1-D ．2-14、设5250125(12)x a a x a x a x +=++++，则125a a a +++=（ ）A. 2-B. 1-C. 242D. 24315、二项式10x⎛⎝的展开式中有理项的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816、若2nx ⎛⎝的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．417、已知正整数n ≥7，若1()(1)nx x x--的展开式中不含x 5的项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1018、2()nx x-展开式中的各二项式系数之和为1024，则4x 的系数是（ ）A ．-210B ．-960C ．960D ．21019、已知()522211x x a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）A ．10-B ．7-C ．9D ．1020、已知(51a =+a ，b 为有理数)，则a ＝（ ）A ．0B ．2C ．66D ．7621、(x 2+2ax -a )5的展开式中各项的系数和为1024，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．422、()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（ ） A ．5B ．3C ．0D ．3-23、5()(3)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．-80 B ．-180C ．180D ．80二、多选题24、已知二项式6ax⎛⎝，则下列说法正确的是（ ）A ．若2a =，则展开式的常数为60B ．展开式中有理项的个数为3C ．若展开式中各项系数之和为64，则3a =D ．展开式中二项式系数最大为第4项25、已知5nx⎛⎝的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）A ．2，n ，10成等差数列B ．各项系数之和为64C ．展开式中二项式系数最大的项是第3项D ．展开式中第5项为常数项26、已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A ．二项展开式中无常数项B ．二项展开式中第3项为3240xC ．二项展开式中各项系数之和为63D ．二项展开式中第4项的二项式系数最大 27、若()()20202320200123202012a a x a x a x x x a x =++++⋅⋅+-⋅∈R ，则（ ）A ．01a =B ．20201352019312a a a a -+++⋅⋅⋅+=C ．20200242020312a a a a ++++⋅⋅⋅+=D ．320201223202012222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 三、填空题28、()4212x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式的常数项为______．29、二项式81x ⎫⎪⎭展开式中常数项为______．30、二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为______. 31、()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________．（用数字作答） 32、已知()611x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为240，则实数=a ______．33、在(1)nax +（其中*N ,0n a ∈≠）的展开式中，x 的系数为10-，各项系数之和为1-，则n =__________.34、7211x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 .35、设n 为正整数， ()2na b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n =_____.。

二项式定理复习一、学习目标：1、能用计数原理证明。

2、会用二项式定理解决系数和、常数项、最大值等与二项展开式有关的简单问题。

二、命题规律与命题趋势：高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算。

题型以选择、填空为主，少有综合性的大题。

高考重点考查通项公式和项的系数的概念，同时考查了运算能力。

三、常考点：1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C nn (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。

②b 的指数由0 n （升幂）。

③a 和b 的指数和为n 。

(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：（1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C（3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 基本题型(一)通项公式的应用 1、6)12(xx +的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； 常数项为_______；含4x 的项为______。

二项式定理 → 二项展开式的性质 → ⎢⎢⎣ 学习好资料欢迎下载二项式定理概念回顾：知识网络结构→ 通项公式 ⎡应用→ 二项式系数的性质 →1．二项式定理（1）二项式定理(a + b ) n = C 0 a n + C 1 a n -1b + ⋅ ⋅ ⋅ + C r a n -r b r + ⋅ ⋅ ⋅ + C n b n (n ∈ N )※n nnn+这个公式表示的定理叫做二项式定理． （2）二项式系数、二项式的通项在※式中它的右边的多项式叫做 (a + b ) n 的二项展开式，其中的系数 C r (r = 0,1,..., n) 叫做二项式系n数，式中的 C r a n -r b r 叫做二项展开式的通项，用 Tnr +1表示，即通项为展开式的第 r + 1项：Tr +1= C r a n -r b r n.（3）二项式展开式的各项幂指数二项式 (a + b ) n 的展开式项数为 r + 1项，各项的幂指数状况是①各项的次数和都等于二项式的幂指数 n ．②字母 a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零，字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n ．（4）几点注意①通项 Tr +1= C r a n -r b r 是 (a + b ) n 的展开式的第 r + 1项，这里 r = 0,1,...... n .n②二项式 (a + b ) n 的 r + 1项和 (a + b ) n 的展开式的第 r + 1项 C r a n -r b r 有是区别的，应用二项式定理n时，其中的 a 和 b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（ C r ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有n时可为负．④通项公式是 (a + b ) n 这个标准形式下而言的，如 (a - b ) n 的二项展开式的通项公式是Tr +1= (-1) r C r a n -r b r （只须把－ b 看成 b 代入二项式定理）这与Tnr +1= C r a n -r b r 是不同的，在这里对应n项的二项式系数是相等的都是 C r 但项的系数一个是 (-1) r C r ，一个是 C r ，可看出，二项式系数与项的系 n nn数是不同的概念．⑤设 a = 1, b = x ，则得公式： (1 + x) n = 1 + C 1 x + C 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + C r x r + ⋅ ⋅ ⋅ + x n ．n nn2．二项式系数的性质 （1）杨辉三角形： 对于 n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算。

高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。

二项式定理二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项展开式指定项的系数，或求形如()()(),n ncx d ax b ax by c ++++的展开式中指定项的系数.1．二项式定理的展开式011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数rn C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在()n ax b +的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ,第ｒ＋１项的系数为r n r r n C a b -；而1()nx x+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++2.二项式定理的通项二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,r n r r r n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：()1通项公式是表示第1r +项,而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数rn C 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数,r 是非负整数且r ≤n .3.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．(2)增减性与最大值：当12n r +≤时,二项式系数C r n 的值逐渐增大,当12n r +≥时,C r n 的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n 为偶数时,中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数2n n C 取得最大值.当n 为奇数时,中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数1122n n n n C C -+=相等并同时取最大值.(3)各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ ,0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当α很小时,有()()211112n n n n ααα±≈±+-. 4.二项定理问题的处理方法和技巧 ⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+=,注意()n a b +与()n b a +虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指rn C ,而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关,恒为正,后者还与a ,b 有关,可正可负． ⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时,应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求r ,再求1r T +,有时还需先求n ,再求r ,才能求出1r T +. ⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.5. 求展开式系数最大项如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +,且第k 项系数最大,应用11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来,即得．6.二项式应用问题(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时,应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠),商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．7.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意A x ∈,某式子恒成立,则对A 中的特殊值,该式子一定成立,特殊值x 如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取1,1,0-=x 居多.若2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++则设()()=+n f x ax b .有：①0(0);a f = ②012...(1);n a a a a f ++++=③0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=- ④0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++= ⑤1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=1．（2020·山东·高考真题）在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ） A ．56 B ．56-C ．70D ．70- 2．（2021·江苏·高考真题）已知()12n x -的展开式中2x 的系数为40，则n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．（2021·湖南·高考真题）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______．（用数字作答） 4．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________． 5．（2021·北京·高考真题）在341()x x-的展开式中，常数项为__________．1．（2022·山东青岛·一模）()52x y -的展开式中23x y 的系数是______．（用数字作答）2．（2022·山东泰安·一模）在()()45121x x -+的展开式中，含2x 的项的系数是___________.3．（2022·福建福建·模拟预测）若二项武231⎛⎫- ⎪⎝⎭n x x 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值是_________．4．（2022·广东佛山·模拟预测）()621x x ++展开式中4x 的系数为______． 5．（2022·江苏南通·模拟预测）设2022220220122022(12)x a a x a x a x +=+++⋯+，则31223222a a a -+- (2021202220212022)22a a +-=______． （限时：30分钟）1．若()12n x -的展开式中3x 项的系数为－160，则正整数n 的值为______．2．已知7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则0128a a a a +++⋅⋅⋅+的值为______．3．在4(3)()y x y +-的展开式中23x y 的系数为___________.4．若()21n x -的展开式中第5项的二项式系数最大，则n =___________．（写出一个即可）5．已知()262x y +的展开式中82x y 的系数为____________6．二项式53()x x 的展开式中含2x 的项的系数是____________.（用数字作答）7．()()6121x x +-的展开式中3x 项的系数为___________．8．511813x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为___________.9．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数为56，则该展开式中各项系数之和为___________. 10．在()()51a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则=a ______. 11．若21nx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）． 12．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元）13．已知()()()28480128111x x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a =______，1357a a a a +++=______. 14．已知多项式45234512345()(21)()a x x a x a x a x a x a x a ++-=++++∈R ，则=a ___________，45a a +=___________.15．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第()*N ,2n n n ∈≥行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______.。

9.5 二项式定理1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值当n 是偶数时，中间一项2C n n取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C -n n与12C+n n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .题型一 无参数特定项的系数【例1】（1）（2022·吉林长春市·高三（理））241()x x-展开式中，1x -的系数是（ ）A ．2B ．4-C ．6D ．8-（2）（2022·河北唐山·）若()()()()828012821111x a a x a x a x +=+++++++，则3a =（ ）A ．56B ．448C ．56-D ．448-（3）（多选）（2022·广东执信中学高三月考）在二项式2313nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A ．10n =B ．展开式中没有常数项C ．展开式所有二项式系数和为1024D ．展开式所有项的系数和为256【题型专练】1．（2022·四川省资中县第二中学高三月考（理））()612x +的二项展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．240 B ．16C ．160D ．602．（2022·江苏省前黄高级中学高三月考）已知等差数列{}n a 的第5项是61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ）A ．20B ．20-C ．40D ．40-3．（2022·上海外国语大学附属大境中学高三月考）在24的展开式中，有理项共有（ ）项 A ．3 B ．4C ．5D ．64．（2022·全国高三专题练习（理））若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8题型二 系数相关参数【例2】（1）（2022·贵州高三月考（理））在52()a x x -的展开式中，2x 的系数是-10，则a =( )A ．-2B ．-1C ．1D ．2（2）（2022·全国高三）若()nx n N +⎛∈ ⎝的展开式中，含4x 的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．【题型专练】1．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））在5x⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为20，则常数k =（ ）A ．B ．C ．2±D ．±12．（2022·河南（理））已知0a >，若629x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项相等，则a =（ ）A ．1BC ．3D ．93．（2022·广东西关外国语学校高三月考）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．2题型三 二项式（系数）和【例3】（1）（2022·四川省乐至中学高三月考（理））5(12)x +的展开式中，各项二项式系数的和是（ ） A ．1B ．-1C ．52D ．53（2）（2022·眉山市彭山区第一中学高三开学考试（理））已知()()()()20212202101220212111x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅+，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．404221+B ．202121-C ．20212D ．202121+（3）（2022·张家口市宣化第一中学高三月考）令()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈，则23202022019a a a ++++20212020a =（ ）A ．201920192⋅B ．202020192⋅C ．201920202⋅D ．202020202⋅【题型专练】1．（2022·陕西高三（理））若()102x -展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（ ） A ．4095 B ．4097 C ．-4095 D ．-40972．（多选）（2022·广东高州一中高三月考）已知()202122021012202112x a a x a x a x -=++++，下列命题中，正确的是（ ）A ．展开式中所有项的二项式系数的和为20212；B ．展开式中所有奇次项系数的和为2021312+；C ．展开式中所有偶次项系数的和为2021312-；D ．320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅=-.3．（多选）（2022·全国高三课时练习）已知()20nax a⎛> ⎝的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和为1024，则（ ） A ．展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B ．展开式中第6项的系数最大 C ．展开式中不存在常数项 D ．展开式中15x 的系数为454．（2022·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知()522100121032...x x a a x a x a x -+=++++，则1a =__________，1231023...10a a a a ++++=_____________．题型四 多项式系数（和）【例4】（1）（2022·广西高三开学考试（理））5323(1)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是__________．（2）（2022·吉林长春外国语学校高三开学考试（理））已知6(x(0)a >的展开式中常数项为240，则2()(2)x a x a +-的展开式中2x 项的系数为（ ）A ．10B ．8-C ．6-D ．4（3）（2022·乐清市知临中学）已知多项式()()2687651237811+x x x a x a x a x a x a -+=+++++，则8a = ______，12367a a a a a +++++=______.【题型专练】1．（2022·广东高三月考）52212x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．（用数字作答）2．（2022·全国高三月考（理））在81011x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中，含2x 项的系数为________．（结果用数值表示）3．（2022·浙江）()251)x a +的展开式中的常数项为-32，则实数a 的值为________；展开式中含2x 项的系数为________.4．（2022·全国高三专题练习）已知多项式22012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，若1257n a a a +++=，则正整数n 的值为___________．题型五 二项式定理的运用【例5】（2022·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知0m >，且202115m +恰能被14整除，则m 的取值可以是（ ） A ．1 B ．3C ．7D ．13【题型专练】1．（2022·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二2．（2022·江苏南通·）20212被9除所得的余数为(),110t t N t *∈≤≤，则t =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．（2022·山东省平邑县第一中学高三开学考试）若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________。

【解析】分折：由题意结合二项式定理展幵式的逋项公式得到『的值'然后求解h 的系数即可.详解：结合二项式定理的通项公式有：》=碍尸（—点y=（-罗①宀， 令5-十=2可得：r =2,贝忙的系数为：（一9匕=扛10=4决问题的关键.4.【山西省两市2018届第二次联考】若二项式 2 一工）U T EF ）中所有项的系b . a □—I —数之和为口所有项的系数的绝对值之和为 ，贝r "的最小值为（）5139A. 2B.2C. 5D. 2【答案】B【解析】分析：由题意適过给二项式的*赋值，求出a 和b 的解析式，可得夕坨的最小值. i 羊解：令可得二项式（3-X ）“（底NT 中所有项的系数之和为3=2% 可得（3-X ）门的所有项的系数的维对值之和为,贝£ + ；牛+•令-2尺+魚故当H=1时’夕+讓得最小值|,故迭B.【答案】・132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合 展开式整理计算即可求得最终结果・5.【安徽省宿州市2018届三模】(X 2-|)(2X + 1)6的展开式中:沁项的系数为T* = 2—叱汰67 =192r 56,据此可得：展开式中 项的系数为60-192=- 132【答案】C 【解析】试題分析：(x+y)(2x-yf = x(2x-y f +y{2x-y f,S(2x-yf 展开式的適项公式：：严厲(2力"(一汀 可得:当r = 3时'x(2x-y)S展开式中的系数为㈡心丄巩一厅=-40 ,当〜2时'y(2x-yf 展开式中xV 的系数为^X 23X (-1)2= S0 , 则迅讨的系数为氏)一40 = 40 .8.【2017 浙江，13 ]已知多项式 x 1 3x 2 2= x 5aix 4a2 x" a3X 2a4 x 1a5 、则6. [2017课标1,理6】(1 1 门)(1 6 X ) 展开式屮 2X 的系数为A. 15B. 20r ：C ・ 30D. 35【答案】C 【解析】 试题分析:因为(11 C 62X2 15 x 2 , 1—2)(1 XL (1 x )6展 X )6(1 开式中 15 15X 30 ,选 C.情况，尤其是两个二项式展开式屮的7.【2017课标3,理4】X y B. A. 80-x)6 -4ixr 不同.(1X )6 ,则(1 X )6展开式中含X 2的项为2x y 的展开式屮40 x 3y 3的系数为 C. 40D. 80【答案计数•9.【2017山东，理11】已知1 3x 的展开式中含有x项的系数是54 ,则n ----------------------------- ——【答案】4r【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式r 1 Cn r3x Cn r 3r x r，令r 2得：Cn2 32 54 ,解得n 4 ・【考点】二项式定理10.[2015高考陕西，理4】二项式(x 1 )n (n N )的展开式中x?的系数为15,则n ()A. 4 B・ 5D. 7【答案】c【解析】二项式x 1 n的展开式的通项是因为X2的系数为15,所以C2n15 ,即口2为n ，所以n 6 ,故选C・C. 6JC rn Xr ,令f 2得X2的系数是C 2n , n 300 ,解得：n 6或n 5 ,因【考点定位】二项式定理.【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“n ”，否则很容易出现错误. 即二项式a b n的展开式的通项是11.[2015高考新课标1,理10】(x2(A) 10 ( B) 20【答案】C解本题需要掌握的知识点是二项式定理，CnWkbk.x y)5的展开式中，x5 y2的系数为() (C) 30 ( D) 60x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式【答案】D【解析】因为（1 x ）“的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn 3 Cn 7, 解得n 10 ,所以二项式（1 x ）】o 中奇数项的二项式系数和为 丄210 29.2513. [2015高考重庆，理12】x 3 丄 的展开式中x 8的系数是 ___________________ （用数2<*x 字作答）. 【答案】5215 21(-)k C 5k x 2，令 15 升 8 ,2 2【答案】6 .2所以展开式中X 的系数为C4? 1【名师点睛】涉及二项式定理的题, —— 61 的展开式中，X?的系数为4 x【答案】卩系数和为（A.212B. 211C ・ 210D. 29【解析】二项展开式通项为Tk 1 C 5k（x 3）解得k 2 ,因此x*的系数为（1）2C52S.24【髙考厂东，理14. 2015x 的系数为1)的展开式中,4r【解析】由题可知T r 1 C 4rx4rL 1解得1 x2 ,令 r r2故应填入6・一般利用其通项公式求解15. [2015高考天津，理12】在x 51616. [2015高考新课标2,理15】(a x)(l x)°的展开式中x 的奇数次幕项的系 数之和为32,则a 【答案】3【考点定位】二项式定理.D-6【答案】D.X2015(结果用数值表示). 【答案】45字作答)-4 展开式的通项为T riC 6r X 6rl-4 C 6r x 64x4 x4215 . 12 , 所以 T_1 C 2x 2X , 所以该项系数为二3 4 6 16 16【解析】X6 2r 2 得 f【解析】由已知得(1 x)44x 6x 2 4 x 3 x 4 ,故(a x)(l x) 4的展开式中x的奇数次幕项分别为4ax 4axx , 6x5,其系数之和为4a 4a 1+6+1二32,17. [2015高考湖南，理6]已知5_3的展开式中含x 2的项的系数为30,C.618. [2015高考上海，理11】在10的展开式中，X?项的系数为【解析】因为1 x10t-(1 x)101(1 x)10 Cio 1 (1 X )9一 LX2O15X2015X2015所以X?项只能在(1 19. ( 2016年北京高考)x)i°展开式中，即为 在(1 2x)6的展开式屮，x 2的系数为Cio 8 x 2 ,系数为 CgX 45.•(用数【答案】60.20.（2016年山东高考）若（ax2+J_）5的展开式中x5的系数是一80,贝U实数a= ____________ .VX【答案】-2n21.（2016年上海高考）在梓 2 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256,则常X数项等于____________【答案】11222.（2016年四川高考）设i为虚数单位，则（X i） &的展开式中含x°的项为（A ） - 15x4（B ）15x4（C）一20ix4（D ）20i x4【答案】A23.（2016年天津高考）（X? _）8的展开式中x2的系数为______________ •（用数字作答）X【答案】5624.（2016 年全国I高考）（2 x V7）5的展开式中，x3的系数是___________________ （用数字填写答案）【答案】10。

专题28二项式定理归类目录【题型一】二项式通项公式 (1)【题型二】积型求某项 (2)【题型三】展开式二项式系数和 (2)【题型四】展开式各项系数和 (3)【题型五】赋值法求部分项系数和 (4)【题型六】换元型赋值求系数与系数和 (5)【题型七】求系数最大项 (5)【题型八】杨辉三角形应用 (6)【题型九】三项展开式 (7)培优第一阶——基础过关练 (8)培优第二阶——能力提升练 (9)培优第三阶——培优拔尖练 (9)【题型一】二项式通项公式【典例分析】二项式5的展开式中常数项为（）1.将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（）A ．37A B ．6366A A C ．6367A A D ．7377A A 2.在72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数是（）A ．35B ．35-C ．560D ．560-3.．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为（）A ．160B ．160-C ．3160x D ．3160x -【题型二】积型求某项【典例分析】已知()511a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数为10，则实数a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【变式训练】1.．()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-2.在()()2311x x +-展开式中，含4x 项的系数是（）A ．5-B ．5C ．1-D ．13.()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．2B ．6C ．8D ．12【题型三】展开式二项式系数和【典例分析】．()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A ．128B ．256C ．512D ．10241.已知2(n x 的展开式中，各二项式系数和为64，则x 7的系数为（）A ．15B ．20C ．60D ．802.已知()2*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（）A ．240-B ．240C ．160-D ．1603.已知二项式212mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x 3项的系数是（）A ．1B ．32C ．52D ．3【题型四】展开式各项系数和【典例分析】在3nx ⎛⎝的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A ．15B ．45C ．135D ．4051.．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（）.A ．240B ．241C ．242D ．2432.已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．813.已知5312a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（）A ．200B ．280C ．200-D ．280-【题型五】赋值法求部分项系数和【典例分析】若()6652460126x y a y a xy a x y a x +=+++⋅⋅⋅+，则()()220246135a a a a a a a +++-++的值为（）A ．0B ．32C ．64D ．1281.已知()727012752x a a x a x a x -=++++，则0127a a a a ++++=（）A ．128B ．2187C ．78125D ．8235432.()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（）A ．1B ．3C ．0D ．3-3.已知()()4529012912x x a a x a x a x -+=++++，则2468a a a a +++=（）A ．40B ．8C ．16-D ．24-【题型六】换元型赋值求系数与系数和【典例分析】已知()()()()20232202301220232111x a a x a x a x -=+++++++，则0122023a a a a ++++=（）A ．40462B ．1C ．20232D ．01.已知10111012C C nn=，设()()()()201223111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a ++++=，④展开式中所有项的二项式系数和为1.其中正确的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．32.已知36C C n n =，设()()()()201223111nnn x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．23.．已知(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()2012(1)1(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+++++⋯++，则1a 等于（）A ．192B ．448C ．192-D ．448-【题型七】求系数最大项【典例分析】已知22nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.A ．3B ．4C ．5D ．6【变式训练】1.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A ．448-B ．1024-C ．1792-D ．5376-2.已知m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，且137a b =，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．73.已知()*(1),n mx n m +∈∈N R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设2012(1)n n n mx a a x a x a x +=++++，若18a =，则23n a a a +++=（）A ．63B ．64C ．247D ．255【题型八】杨辉三角形应用【典例分析】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【变式训练】1.将三项式展开，得到下列等式：20(1)1a a ++=212(1)1a a a a ++=++22432(1)2321a a a a a a ++=++++2365432(1)367631a a a a a a a a ++=++++++⋯观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k 行共有21k +个数．则关于x 的多项式()2253(1)a ax x x +-++的展开式中，8x 项的系数（）A ．()2151a a +-B ．()2151a a ++C ．()21523a a ++D ．()21523a a +-2.当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n 行中从左至右第14与第15个数的比为2:3，则n 的值为___________.【题型九】三项展开式【典例分析】下列各式中，不是()422a a b +-的展开式中的项是（）A ．78a B ．426a b C ．332a b-D ．3224a b -1.411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-2.在()621x x +-的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30-B ．10-C ．30D ．503.()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（）A ．45B ．36C ．28D ．21培优第一阶——基础过关练1．()()412x x --的展开式中，3x 项的系数为（）A ．2B ．14C ．48D ．2-2．6⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为（）A ．160-B ．64-C ．64D ．1603．已知1021001210(1)-=++++x a a x a x a x ,则()01210+++=a a a a （）A ．10-B ．10C ．1D ．1-4．在4(1)(12)()a x y a ++∈N 的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，若()()0,11,06f f +=，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．()61x a y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含14x y -项的系数为15-，则=a （）A ．1B ．1-C ．1±D ．2±6．511(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．9-B ．10-C ．9D ．107．已知()na b +的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n =（）A ．11B ．10C ．12D ．138．若()()()()()42201223222nn x x x a a x a x a x -+=+-+-++-，则564a a a +=（）A ．15B ．25C ．35D ．45培优第二阶——能力提升练1．8x ⎛+ ⎝的展开式中，以下为有理项的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项2．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．常数项为160B ．第3项二项式系数最大C ．所有项的二项式系数和为62D ．所有项的系数和为633．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=-D ．012320221a a a a a -+-++=4．下列说法中正确的有（）A ．2799C C =B ．233445C C C +=C ．123C C C C 2n nn n n n ++++=D ．()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项5．()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.6．已知()01311(1)22nn n x a a x a x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭，写出满足条件①②的一个n 的值__________.①*3,n n ≥∈N ；②3,0,1,2,,i a a i n ≥=.7．若()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，其中a ，b ，c ，d ，e ，f 为常数，那么b c d f +++=______.8．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为_________.培优第三阶——培优拔尖练1．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为1M 、2M 、L 、1023M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m 、2m 、L 、1023m ，则121023m m m +++的值为___________.2．设0i a i =（，1，2，…，2022）是常数，对于∀x ∈R ，都有()()()()()20220122022112122022x a a x a x x a x x x =+-+--++---（），则012345202120222!3!4!2020!2021!a a a a a a a a -+-+-+-+-=________.3．()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______.4．对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________．5．如图，我们在第一行填写整数0到()1n n ≥，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是______.012311352148n nn --L L L L6．已知,,y f d 为正整数，()(1)(1)(1)y f df x x x x =+++++.其中x 的系数为10，则2x 的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.7．由“无穷等比数列各项的和”可知，当0||1x <<时，有21111n x x x x-+++++=-，若对于任意的10||2x <<，都有220122(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则11a =______.8．课本中，在形如()011nn n nn a b C a C a b -+=++…r n r r n C a b -+…n n n C b 的展开式中，我们把()0,1,2,rn C r n =…,）叫做二项式系数，类似地在()201221nn n n x x D D x D x ++=+++…212122n n n n n n D x D x --+的展开式中，我们把()0,1,2,rn D r n =…,2叫做三项式系数，则001122201520152015201520152015D C D C D C ⋅-⋅+⋅-…()201520151kk kD C +-+…2015201520152015D C -⋅的值为______.。