二重积分计算及其应用（已处理）

二重积分计算及其应用

包头师范学院 本 科 毕 业 论 文

题目:二重积分的计算及其应用

学生姓名: 学院:数学科学院

专业:数学与应用数学 班级:08本一班

指导教师: 讲师

二 ? 一 二 年 五 月

二重积分计算及其应用 内容摘要

在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定

义计算二重积分有很大的局限性。常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。掌握二重积分计算和

它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计

积分之值、求极限等问题。对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的

奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用

也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中

是一种不可忽视的知识。

关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex

calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of

limitations. A common approach to simplification double integrals are

definite integral and repeated integral as twice, because the calculation of double integrals with integrand and integral region. Mastering double

integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion

on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the

integral values for limit and so on. These questions we can use the double

integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the

calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside

of the surface area of, and applications of double integrals in physics

are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates,

moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that

cannot be neglected.

Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades

目 录 内容摘要 ………………………………………………………………2

关键词 …………………………………………………………………2

引言 ……………………………………………………………………7 二重积分的定义 ………………………………………………8

二. 二重积分的计算 ………………………………………………8 (一)直角坐标系下二重积分的计算 ………………………………8

(二)极坐标系下二重积分的计算 …………………………………9 三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 ……………9

(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 ……9

若函数关于是奇函数…………………………………9 若函数关于是偶函数…………………………………9

(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 ……10 若函数关于是奇函数 …………………………………10

若函数关于是偶函数 …………………………………10

(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称, 同时也是关于,对称的………………………………………10

四.二重积分的性质…………………………………………………13 五.应用二重积分的性质解题………………………………………14

(一)证明不等式 …………………………………………………14

(二)确定积分值的符号 …………………………………………14 (三)估计积分之值 ………………………………………………15

(四)求极限 ………………………………………………………16 六.二重积分的应用…………………………………………………17

(一)曲面的面积 …………………………………………………17

1.曲面由显函数给出的情形 ……………………………………17 2.曲面由参数方程给出的情形 …………………………………18

(二)平面薄片的重心 ……………………………………………19 (三)平面薄片的转动惯量 ………………………………………20

(四)平面薄片对质点的引力 ……………………………………21 结语 …………………………………………………………………23

参考文献 ……………………………………………………………24

引言

在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定

义计算二重积分有很大的局限性。本文就是在已掌握二重积分计算的基础上,通过一些例子来探讨函数的奇偶性与区域的对称性在二重积分计算中的应用。另外

在二重积分的计算中关于证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题,能否利用二重积分的定义解决这些问题是比较困难的。因此利用二重

积分的性质来解决这些问题。本文一部分就是在已掌握二重积分的性质的基础上,通过一些例子来探讨应用二重积分的性质解题技巧。对于二重积分的应用主要体

现在求曲面面积和物理学当中的一些平面薄板的重心坐标转动惯量以及对质点

的引力等问题,然而利用二重积分巧妙解决了这些问题。因此二重积分的计算与应用在物理学当中,尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识。

二重积分的定义

设是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数,J是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于D的任何分割T ,当它的细度时,属于T的所

有积分和都有

则称在D上可积,数J称为函数 在D上的二重积分,记作 。

二重积分的计算 一.直角坐标系下二重积分的计算

定理1 设有界闭区域D是由两条交合曲线与,且,以及直线与所围成,若函数在D上连续,则有定理2设有界闭区域D是由交合曲线与,且以及直线与所围

成,若函数在D上连续,则有

例1 计算二重积分,其中区域D是由直线和双曲线所围成。 解 先对积分后对积分,将D积分在轴上,待区间,对任意,对积分,在D内

的积分限是到,然后在积分区间上对积分,即

同理,如果先对积分后对积分,也可得到相应结果。 二.极坐标系下二重积分的计算

应用极坐标替换将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分,

能简化二重积分的计算,二重积分的极坐标替换是 计算,其中D为区域。

解如果用直角坐标来计算,这个积分却无法求出,现采用极坐标, 此时D表示为

故有利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分

(一).计算二重积分,设区域D关于y轴对称。 1.若函数关于是奇函数

因为函数关于是奇函数,即原点对称,所以有 则2. 若函数关于是偶函数

因为函数关于是偶函数,即关于轴对称,所以有

则

其中是区域D位于轴右侧的部分 (二).计算二重积分,设区域D关于轴对称。 1.若函数关于是奇函数

因为函数关于是奇函数,即关于原点对称,所以有

则 2.若函数关于是偶函数

因为函数关于是偶函数,即关于轴对称,所以有

则 (其中是区域D位于轴上侧的部分) ( 三).计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称

的.

因为区域D关于轴和轴对称,也是关于,对称,所以有 则有 (其中是区域D位于第一象限中的部分)

例3计算双纽线所围成的面积。 解采用极坐标变换 双纽线的极坐标方程是

因为双纽线关于轴和轴对称。于是,双纽所围成区域D的面积A是第一象限

内那部分区域面积的四倍。第一象限那部分区域是: (

于是有

例4 计算,其中D: 。 解法1: 时D分为四个区域,即D在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ象限的部分依次记为 利用极坐标计算这个二重积分

解法2: (利用奇偶对称性) 由于积分区域D 关于轴和轴对称,而被积函数关于和是偶函数。因此有

例5 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积。 解设圆柱底面

半径为,两个圆柱方程分别为与,利用对称性,只要求出在第一卦限部分的体积,