冲刺2020年高考满分数学(理)纠错《专题26二项式定理》(原卷版)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（二）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗}，则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i，则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.已知sin(3π2+α)=13，则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A. x2+z2=y2？B. x2+y2=z2？C. y2+z2=x2？D. x=y？5.已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n=()A. 1B. 2C. 6D. 76. 已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：(x +3)2+y 2=16.Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是( )A. ⊙Q 过双曲线C 的右焦点B. ⊙Q 过双曲线C 的右顶点C. ⊙Q 过双曲线C 的左焦点D. ⊙Q 过双曲线C 的左顶点7. 在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，△ABC 内有一点O ，满足：CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ>0，μ>0，4λ+3μ=2，则CO 的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√28. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6，且f(x)在(π,4π3)上单调，则ω的最大值为( )A. 52B. 3C. 72D. 839. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E 于点C ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则椭圆E 的离心率e =( ) A. √λ−1λ+1B. λ−1λ+1C. √λ2−1λ2+1D. λ2−1λ2+110. 已知(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，其中a 0+a 1+⋯+a n =243，则a1+a 12+a 23+⋯+a n n+1=( )A. 182B.1823C. 913D.182911. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知函数f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，则实数a 的最小值为( )A. 1B. eC. 2D. ln2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=xlg(√x 2+a +x)是偶函数，则f(2x −1)≤f(x)的解集为______．14.已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知点O(0,0)，A(4,0)，M是圆C：(x−2)2+y2=1上一点，则|OM||AM|的最小值为______．16.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.四棱锥P−ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=CD=1，BC//AD，∠PAD=90°.∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19.直线l过点(4,0)，且交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，∠AOB=90°．(1)求p；(2)过点(−1,0)的直线交抛物线于M，N两点，抛物线上是否存在定点Q，使直线MQ，NQ斜率之和为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由．20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x(单位：只)的统计情况如表：这300天内(假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样)，养鸡厂每天出栏土鸡7a(14≤a≤18)只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56−a元的价钱处理．(Ⅰ)若a=16，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位：元)关于需求量x(单位：只，x∈N∗)的函数解析式；(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21. 已知函数f(x)={x 24e 2,x ≥02x,x <0，g(x)=ln(x +a)．(1)若f(x)，g(x)有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； (2)判定函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[0,+∞)上的零点个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ．(Ⅰ)当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M(2,1)，求直线l 的斜率．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|．(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m]，求a 和m ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25=32，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由z⋅(1+i)=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−13．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】A【解析】解：由题知，AC=x，AB=y，BC=z，由勾股定理可知x2+z2=y2．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p=33+n ×n3+n+n3+n×33+n=1225，解得n=2．故选：B．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：如图；因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切，∴QF1=4+r；∵QF1−QF2=2a⇒QF1=2a+QF2=4+QF2；∴r=QF2；故圆Q过双曲线C的右焦点；故选：A．根据两圆外切得到QF1=4+r；再结合双曲线的定义即可求解结论．本题考查双曲线的方程和性质以及两圆的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2+9μ2， ∵λ>0，μ>0，4λ+3μ=2， ∴2−4λ>0，解得λ<12， ∴0<λ<12．∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=16λ2+9μ2=16λ2+(2−4λ)2=32(λ−14)2+2，∴∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2≥2， ∴CO 的最小值为√2． 故选：C ．根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案． 本题主要考查平面向量的模长公式和数量积的应用，需要学生有转化的思想，属于中档题，解题时要认真审题．8.【答案】D【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6， 整理得：x =kω6−π6(k ∈Z)， 由于f(x)在(π,4π3)上单调，所以{k 0πω−π6≤π(k0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω>0，所以{k 0>067k 0≤23(k 0+1)，解得0<k 0≤72．所以k 0=1，2，3，当k 0=3时，ω的最大值为83． 故选：D ．首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：设C(x,y)，根据BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：{c =λ(x −c)−b =λy ，则{x =(1+λ)λc y =−b λ， 因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．设点C(x,y)，利用条件BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =(1+λ)λcy =−bλ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值． 本题考查椭圆离心率的表示，抓住向量表示是关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ， 令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，可得3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5.利用(1+2x)5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB =CD =√5，AC =2√2，BC =1，BD =√6，BD =3． 最长的棱的长度为3． 故选：C ．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立， 即∃x ∈(0,+∞)，使得a+lnx x ≥e x −1成立，即∃x ∈(0,+∞)，使得a ≥xe x −x −lnx 成立． 令g(x)=xe x −x −lnx(x >0)， 则a ≥g(x)min ，∵g′(x)=(1+x)e x −1−1x (x >0)，∴g″(x)=(2+x)e x +1x 2>0，∴g′(x)=(1+x)e x −1−1x 在(0,+∞)上单调递增， 又g′(13)=43e 13−4<0，g′(1)=2e −2>0，∴∃x 0∈(13,1)使得g′(x 0)=0，此时g(x)=xe x −x −lnx 取得极小值，也是最小值． 令g′(x 0)=0，则(1+x 0)e x 0=1+x 0x 0，即e x 0=1x 0．∴g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0=1−x 0−lne −x 0=1，即g(x)min =1， ∴a ≥1，∴实数a的最小值为1，故选：A．∃x∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，分离参数a，可转化为∃x∈(0,+∞)，使得a≥xe x−x−lnx成立．构造函数g(x)=xe x−x−lnx(x>0)，利用导数法可求得g(x)min，从而可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查推理能力与综合运算能力，是难题．13.【答案】[13,1]【解析】解：∵f(x)为偶函数，y=x为奇函数，∴g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，∴g(0)=0，解得a=1，对0<x1<x2，可知0<g(x1)<g(x2)，故0<x1g(x1)<x2g(x2)，∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(2x−1)≤f(x)等价于|2x−1|≤|x|，即(2x−1)2≤x2，解得13≤x≤1，即f(2x−1)≤f(x)的解集为[13,1]．故答案为：[13,1]．根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，g(0)=0，解得a=1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f(2x−1)≤f(x)的解集．本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力．14.【答案】(−1,2]【解析】解：x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图：目标函数化为y=2x+z，z=2时，可知：最优解在直线2x−y+2=0上，而(0,2)在可行域内，且满足2x−y+2=0.故可知：实数k的取值范围是(−1,2]．故答案为：(−1,2]．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】13【解析】解：如图，由图可知，当M为(1,0)时，|OM|最小为1，|AM|最大为3．则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．由题意画出图形，通过图形得到|OM|的最小值与|AM|的最大值，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】3√7777【解析】解：如图；DE⊥面ACE，∠EAB=45°，∠EBD=30°；由题可得：AE=DE=60；AB=BC=80；∴EB=DEtan30∘=60√3；∴cos∠EAB=AE2+AB2−BE22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC =20√77；∴tanθ=6020√77=3√7777；故答案为：3√7777． 画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．本题考查三角形的实际应用，根据条件画出示意图是解决本题的关键，理解本题是立体图形．17.【答案】解：(1)由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√an4a n−1}是等差数列，且首项为1，公差d =1，∴√an 4a n−1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n 4+18−116n+8．【解析】(1)先由题设条件求√an4a n−1，再求出a n ；(2)由(1)中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ． 本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ． 取AD 中点为Q ，则BC −//̲QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°．又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系(其中x 轴与HB 平行)， 则B(√32,12,0)，C(√32,32,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由(1)的证明知：平面PAB 的法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)．设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{2y −2z =0−√32x +12y =0． 令x =1⇒m =(1,√3,√3)，cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√32+3√32√3⋅√7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．【解析】(1)作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD.取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力．19.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由∠AOB =90°，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得x 1x 2+y 1y 2=0，即有y 122p⋅y 222p +y 1y 2=0，即y 1y 2=−4p 2， 设直线l 的方程为x =my +4，联立抛物线的方程y 2=2px ，可得y 2−2pmy −8p =0， 则y 1y 2=−8p =−4p 2，可得p =2；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2−4ty +4=0，则y M +y N =4t ，y M y N =4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M−x 0+y N −y0x N−x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N=4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y 02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0=±2.故Q(1,2)或(1,−2)．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论． 本题考查直线和抛物线的位置关系，注意直线方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)当x <a 时，y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2，当x ≥a 时，y =30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗)，由a =16，得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)； (Ⅱ)若出栏112只，则a =16，y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P(Y 1=420)=0.15，P(Y 1=450)=0.2，P(Y 1=480)=0.65， Y 1的分布列为：E(Y 1)=420×0.15+450×0.2+480×0.65=465； 若出栏119只，则a =17，y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗)． 记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P(Y 2=417)=0.15，P(Y 2=448)=0.2，P(Y 2=479)=0.25，P(Y 2=510)=0.4， Y 2的分布列为：E(Y 2)=417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4=475.9． ∵E(Y 1)<E(Y 2)，∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x <a ，剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a =16代入求解；(Ⅱ)根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，考查离散型随机变量的分布列与期望，是中档题．21.【答案】解：(1)设M(x 0,y 0)，则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②， 由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e 2=ln2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0，对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx，求导得φ′(x)=x2e 2+1x >0， ∴φ(x)为增函数，且φ(2e)=0，故x 0=2e ；当x 0<0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22； 综上，M 的坐标为(2e,1)或(−ln22,−ln2)；(2)由(1)知，x 0=2e 时，a =−e,ℎ(x)=x 24e 2−ln(x −e)，则ℎ′(x)=x2e 2−1x−e ,ℎ″(x)=12e2+1(x−e)2>0，故ℎ′(x)在定义域上单调递增，则易知ℎ′(x)有唯一零点为x =2e ，则ℎ(x)≥ℎ(2e)=0， 故ℎ(x)有唯一零点； 当a <−e 时，ℎ(x)=x 24e2−ln(x +a)>x 24e 2−ln(x −e)≥0，ℎ(x)无零点；当−e <a ≤1时，ℎ′(x)=x 2e 2−1x+a 在[0,+∞)上至多一个零点，ℎ(x)在(0,+∞)上至少两个零点，而ℎ(0)=−lna ≥0，ℎ(2e)=1−ln(2e +a)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞， 故ℎ(x)在(0,2e)，(2e,+∞)上各一个零点；当a >1时，ℎ′(x)=x2e 2−1x+a 满足ℎ′(0)<0，ℎ′(2e)>0，故在(0,2e)上，ℎ′(x)仅一个零点，设为m ，在(0,m)上，ℎ(x)为减函数，在(m,+∞)上，ℎ(x)为增函数，而ℎ(0)=−1a <0,ℎ(m)<ℎ(0)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞， 故仅在(m,+∞)上有一个零点．综上可得，当a <−e 时，ℎ(x)无零点；当a =−e 或a >1时，ℎ(x)有1个零点；当−e <a ≤1时，ℎ(x)有2个零点．【解析】(1)设M(x 0,y 0)，分x 0≥0和x 0<0两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在x =x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；(2)结合(1)中得到的结论，分a=−e、a<−e、−e<a≤1、a>1四种情况讨论．本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，考查分类讨论思想，属于压轴题目．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l的普通方程为：√3x−y+1−2√3=0；椭圆C的直角坐标方程为：x216+y212=1．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：(3+sin2φ)t2+(12cosφ+ 8sinφ)t−32=0，由题意得：t1+t2=0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k=tanφ=−32，所以直线l的斜率为−32．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号，故f(x)的最小值为∣a−2∣，∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1．(Ⅱ)由不等式解集的意义可知：x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4．a=0时，如图所示：不合题意，舍去；a=4时，如图所示：由y=x与y=2x−6，解得：x=6．即m=6，综上，a=4，m=6．【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式，由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，求得f(x)最小值，再由∣a−2∣≥3求解；(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系，当x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4.再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数3第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |y =√1-2x },B ={x |log 2x <-2},则A ∪B =A.(0,14)B.(-∞,14)C.(14,12]D.(-∞,12]2．已知复数z 的共轭复数为z ¯,且z ¯-2=3+4i z,则|z |=A.√13B.√5C.5D.√23．已知α,β是两个不同的平面,a ,b 是两条不同的直线,且a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,给出下列命题:①若a ∥b ,则α∥β;②若a ⊥b ,则α⊥β;③若α⊥β,则a ⊥b .其中错误命题的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③4．某省普通高校招生考试方案规定:每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中随机选3门参加选考科目的考试,假设每位考生选考任何3门科目的可能性相同,那么从该省的所有考生中,随机选取4人,他们的选考科目中都含有物理的概率为A.164B.364C.116D.145．若a =(√3)43,b =915,c =8710,则有A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.a >c >b6．若(ax−√x )6展开式中的常数项为60,则展开式中含x -3项的系数为 A.240B.120C.-240D.157．将函数f (x )=√3sin(2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,得到函数g (x )的图象,则g (x )在[-π8,π3]上的最小值为A.0B.-12C.-√32D.-√38．运行如图所示的程序框图,则输出的S 的值为A.-115B.-35C.-37D.-99．已知经过坐标原点O 的直线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于M ,N 两点(M 在第二象限),A ,F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点,若直线MF 平分线段AN ,且|AF |=4,则该椭圆的方程为A.x 29+y 25=1B.x 236+y 24=1C.x 236+y 232=1D.x 225+y 224=110．在一个半球内挖去一个圆锥,所得几何体的三视图如图所示,已知该几何体的正视图与侧视图完全相同,且图中的三角形为正三角形,三角形的底边在图中半圆的直径上,上顶点在半圆弧的中点.若该几何体的表面积为10π,则该几何体的体积为A.3√3πB.11√33π C.√3π D.5√33π11．已知函数f (x )=13x 3+12bx 2+cx +d (b ,c ,d 为实数),若f (x )在区间(0,2)内有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则f '(0),f '(2)满足A.两个都小于1B.只有一个小于1C.两个都不小于1D.至少有一个小于112．在△ABC 中,A =120°,AC =2AB =6,点D 满足AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2x x+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y2x+2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为A.3√217B.3√7C.6√217D.3√2114第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知向量a =(1,2),b =(k ,-6),若a ⊥(b -a ),则k = . 14．已知α是第三象限角,且sin(α-π4)=-√55,则tan(α+π4)= .15．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动,某班级获得了某品牌的图书共4本,其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人,每人一本,并请这4个人在看自己得到的赠书之前进行预测,结果如下.甲说:乙或丙得到物理书;乙说:甲或丙得到英语书;丙说:数学书被甲得到;丁说:甲得到物理书.最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确,那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是 .16．已知双曲线C 经过点(2,3),且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y =√3x ,F 1,F 2分别为该双曲线的左、右焦点,P 为该双曲线右支上一点,点A (6,8),则当|PA |+|PF 2|取最小值时,点P 的坐标为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知数列{a n }为正项数列,且n a n+12-4(n +1)a n 2=0,令b n =n√n.(1)求证:{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,求数列{a n 2}的前n 项和S n .18．如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是梯形,AD ∥BC 且AD ⊥AB ,AB =BC =2AD =4,△PAB 是等边三角形,且平面PAB ⊥平面ABCD ,E 是PB 的中点,点M 在棱PC 上.(1)求证:AE ⊥BM ;(2)若M 为PC 的中点,求平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.19．NBA 球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一,在2017-2018赛季NBA 常规赛中,球员J 和H 在某15场常规赛中的每场比赛得分如图所示.(1)试以此样本估计球员J 在本赛季的场均得分以及球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数.(2)对以上样本数据,从两个球员得分都超过35分的场次中各随机抽取2场,进一步研究两名球员的得分情况,求在恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分的条件下,该球员是H 的概率.(3)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标,现统计了球员J 在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值,如表所示:若球员J 每场比赛的效率值y 与得分x 具有线性相关关系,试用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程(结果精确到0.001),并由此估计在上述15场比赛中,效率值超过31的场数.参考公式:b^=∑i=1n(x i −x-)(y i −y -)∑i=1nx i 2−nx-2=∑i=1nx i y i −nx -y -∑i=1nx i 2−nx-2,a ^=y -−b ^x -.参考数据:∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355.20．已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0),圆C 2:(x -1)2+y 2=r 2(r >0),抛物线C 1上的点(1,y 0)到其焦点的距离为54.(1)求抛物线C 1的方程.(2)如图,已知点P 为抛物线C 1在第一象限内一点,且横坐标为2,过点P 作圆C 2的两条切线分别交抛物线C 1于点A ,B (A ,B 异于点P ),问是否存在圆C 2使得AB 恰为其切线?若存在,求出r ;若不存在,请说明理由.21．已知函数f (x )=e x (ax 2+x )+1,其中e 为自然对数的底数,a ∈R .(1)若函数f (x )在[1,2]上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)若函数g (x )=f(x)xe x-1在(-∞,0)上有两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1+x 2+4<0.22．已知平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =1-35t,y =1+15t(t 为参数),椭圆C 的标准方程是x 29+y 2=1.(1)求直线l 的普通方程以及椭圆C 的参数方程;(2)若点M (2,2),点N 在椭圆C 上,求线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最大值.23．已知函数f (x )=|1-4x |-|1+2x |.(1)解不等式f (x )≤4;(2)若不等式f (x )≤k -f (-x2)有解,求实数k 的取值范围.参考答案1.D【解析】本题考查集合的并运算以及函数的定义域等,考查的核心素养是数学运算. 先求出集合A ,B ,再结合数轴求并集.因为A ={x |y =√1-2x }={x |x ≤12},B ={x |log 2x <-2}={x |0<x <14},所以A ∪B =(-∞,12].【备注】无 2.B【解析】本题考查复数的模、共轭复数、复数的四则运算以及复数相等的充要条件,考查的核心素养是数学运算.设出复数z 的代数形式,然后利用复数相等的充要条件求出复数z ,最后求得|z |. 由z ¯-2=3+4i z可得z (z ¯-2)=3+4i.设z =x +y i(x ,y ∈R ),则(x +y i)(x -y i-2)=3+4i,整理得x 2+y 2-2x -2y i=3+4i,所以{x 2+y 2-2x =3,-2y =4,得{x =1,y =-2,则z =1-2i,|z |=√5.【备注】无 3.D【解析】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.画出空间图形,考虑各种可能的情形,进行分析、判断.如图(1),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ∥b ,但是α与β相交,①错误;如图(2),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ⊥b ,但是α不垂直于β,②错误;如图(3),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且α⊥β,但是a ∥b ,③错误.故错误命题的序号为①②③.【备注】无 4.C【解析】本题考查古典概型、独立重复试验及其应用,考查的核心素养是逻辑推理、数据分析.首先求出任意一位考生的选考科目中含有物理的概率都为12,再利用独立重复试验的概率计算公式计算所求概率.依题意知,该省的任意一位考生的选考科目中含有物理的概率都为C 52C 63=12,故随机选取4人,他们的选考科目中都含有物理的概率为C 44·(12)4=116.【备注】无 5.B【解析】本题考查指数函数的性质及其应用,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理. 先利用指数函数的性质比较a ,b 的大小,并确定它们的大致范围,再确定c 的大致范围,最后确定三者的大小关系. 因为a =(√3)43=323,b =915=325,且1>23>25,所以3>323>325,即3>a >b .又c =8710=22110>4,所以c >a >b . 【备注】无 6.A【解析】本题考查二项式定理的应用,考查的核心素养是数学运算.先根据二项展开式的通项公式及展开式中的常数项为60求得实数a 的值,再求出含x -3项的系数. (ax −√x )6的展开式的通项T r +1=C 6r (a x )6-r (-√x)r=(-1)r C 6r a 6-r ·x 32r-6,令32r -6=0,解得r =4,于是(-1)4C 64a 2=60,解得a =±2.再令32r -6=-3,解得r =2,故展开式中含x -3项的系数为(-1)2C 62a 4=240.【备注】无 7.D【解析】本题考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理以及数学运算.首先求出g (x )的解析式,然后求g (x )在[-π8,π3]上的最小值.将函数f (x )=√3sin(2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度,得y =√3sin[2(x -π6)+π4]=√3sin(2x -π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,得g (x )=√3sin(4x -π12)的图象.当x ∈[-π8,π3]时,4x -π12∈[-7π12,5π4],因此当4x -π12=-π2,即x =-5π48时,g (x )在[-π8,π3]上取得最小值-√3.【备注】无 8.B【解析】本题考查“当型”循环结构的程序框图及其应用,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.运行该程序框图,k =1,S =1;S =3×1-2×1=1,k =2;S =3×1-2×2=-1,k =3;S =3×(-1)-2×3=-9,k =4;S =3×(-9)-2×4=-35,k =5.不满足k <5,故输出S =-35. 【备注】无 9.C【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查三角形的相似及其应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力.试题的命制立足于基础知识,考生可以根据几何直观与椭圆的几何性质解题,突出对数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的考查.取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,可证△OFP ∽△AFM ,从而可求得c 的值,进而求得a ,b 2的值,得到椭圆的方程.解法一 由|AF |=4得a -c =4,设线段AN 的中点为P ,M (m ,n ),则N (-m ,-n ),又A (a ,0),所以P (a-m 2,-n 2),F (a -4,0).因为点M ,F ,P 在一条直线上,所以k MF =k FP ,即n-0m-(a-4)=-n 2-0a-m2-(a-4),化简得a =6,所以c =2,b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.解法二 如图,取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,因为O 是MN 的中点,P 是AN 的中点,所以OP ∥MA ,且|OP |=12|MA |,因此△OFP ∽△AFM ,所以|OF||AF|=|OP||AM|=12,即c 4=12,因此c =2,从而a =c +|AF |=2+4=6,故b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.【备注】无 10.D【解析】本题考查几何体的三视图,几何体表面积、体积的求法,球的体积、表面积公式等,考查空间想象能力和运算求解能力.试题通过三视图重点考查考生对空间几何体及“切割”问题的掌握情况,考查直观想象、数学运算等核心素养.利用三视图的性质及几何体的表面积求出半球的半径以及圆锥的底面半径、高和母线长,从而计算几何体的体积.设半球的半径为R ,圆锥的底面半径为r ,则圆锥的高为R ,母线长为2r ,因此2r ·√32=R ,即R =√3r .因为该几何体的表面积由圆锥的侧面积以及半球的表面积减去圆锥的底面积构成,所以12·4π·(√3r )2+π·(√3r )2-πr 2+π·r ·2r =10π,得r =1.因此该几何体的体积V =12×43π×(√3)3-13π×12×√3=5√33π. 【备注】对一个几何体进行挖切后,所得几何体与原几何体相比,所得几何体在减少一些面的同时,又会增加另外的一些面,在求解所得几何体的表面积时,不能忽视这一点. 11.D【解析】本题主要考查导数、函数的极值点、基本不等式的应用等,考查逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.试题结合函数与导数知识命制发散性试题,对考生的创新意识要求较高,将要解决的问题转化为比较f '(0)·f '(2)与1的大小关系,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 易得f '(x )=x 2+bx +c ,由f (x )在区间(0,2)内有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1<x 2),可知方程x 2+bx +c =0有两个不同的实数根x 1,x 2,且0<x 1<x 2<2,则f '(x )=(x -x 1)(x -x 2),则f '(0)·f '(2)=(0-x 1)(0-x 2)(2-x 1)(2-x 2) =[(x 1-0)(2-x 1)]·[(x 2-0)(2-x 2)] ≤[(x 1-0)+(2-x 1)2]2·[(x 2-0)+(2-x 2)2]2=1, 当且仅当{x 1-0=2-x 1,x 2-0=2-x 2时取等号,但由x 1<x 2知,等号不成立,所以f '(0)·f '(2)<1,则f'(0), f '(2)中至少有一个小于1.【备注】无 12.A【解析】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用以及平面向量的相关知识,考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.试题用向量的几何性质创设解三角形的情境,注重通性通法,全面考查逻辑推理和数学运算等核心素养,为考生灵活运用数学知识、思想方法解决问题提供了空间.延长AB 至点M ,使得AB =BM ,取AC 的中点N ,连接MN ,M C.首先将已知向量表达式变形,据此推出点D 在直线MN 上,从而将问题转化为求A 点到直线MN 的距离问题,然后由余弦定理以及三角形面积公式通过等面积法求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.解法一 延长AB 至点M ,使得AB =BM ,取AC 的中点N ,连接MN ,M C.则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2x+2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x x+y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yx+y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为xx+y+yx+y =1,所以D ,M ,N 三点共线,即D 点在直线MN 上.因此|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值即A 点到直线MN 的距离,作AH ⊥MN ,垂足为H ,则AH 的长即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.易知△AMN ≌△ACB ,则S △AMN =S △ABC =12·AB ·AC ·sin A =12×3×6×sin 120°=9√32. 由余弦定理可得MN =BC =√32+62-2×3×6×cos120°=3√7, 因此有12×3√7×AH =9√32,解得AH =3√217.故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为3√217. 解法二 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y2x+2yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2x x+y )2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+(y 2x+2y )2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2·2x x+y ·y 2x+2y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =36x 2(x+y)2+36y 2(2x+2y)2−18xy (x+y)2=9·4x 2-2xy+y 2x 2+2xy+y2.令4x 2-2xy+y 2x 2+2xy+y2=t ,则(4-t )x 2-(2+2t )xy +(1-t )y 2=0.易知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,y ≠0,所以当y ≠0时,令xy=m ,则(4-t )m 2-(2+2t )m +(1-t )=0,依题意有Δ=[-(2+2t )]2-4(4-t )(1-t )≥0,解得t ≥37,因此|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥277,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥3√217,故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为3√217. 【备注】【解后反思】本题给出了两种解法,其中解法二解题过程复杂繁琐,部分考生很难做出正确结果;解法一的解题过程相对简单,需要考生认真分析题目中给出的向量表达式,在原三角形的基础上,通过延长边AB 以及取边AC 的中点,结合三点共线的条件,确定D 点所在的直线,再利用余弦定理、三角形面积公式即可求得结果. 13.17【解析】本题考查向量的坐标表示、向量垂直等,考查考生对基础知识的掌握情况. 利用向量垂直得到相关等式,解出k 即可.由题意知,b -a =(k -1,-8),a ·(b -a )=0,即k -1+2×(-8)=0,解得k =17. 【备注】无 14.-2【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,考查考生的化归与转化能力和运算求解能力.因为α是第三象限角,所以π+2k π<α<3π2+2k π,k ∈Z,所以3π4+2k π<α-π4<5π4+2k π,k ∈Z,所以cos(α-π4)<0,所以sin(α+π4)=sin[(α-π4)+π2]=cos(α-π4)=-√1-sin 2(α-π4)=-2√55,cos(α+π4)=cos[(α-π4)+π2]=-sin(α-π4)=√55, 所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=-2. 【备注】无15.化学、英语、数学、物理【解析】本题考查推理的相关知识,考查的核心素养是逻辑推理.从4个人的预测结果均不正确入手,逐一分析,推断出甲、乙、丙、丁4个人得到的书. 由甲、丁的预测均不正确可知,丁得到的是物理书,结合乙的预测不正确可知,乙得到的是英语书,结合丙的预测不正确可知,甲得到的是化学书,故丙得到的是数学书. 【备注】无 16.(1+3√22,3+3√22) 【解析】本题主要考查双曲线的定义、几何性质,考查数形结合思想、化归与转化思想.由题意,可设双曲线C 的方程为y 2-3x 2=k ,将(2,3)代入,得32-3×22=k ,得k =-3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1,作出双曲线C 如图所示,连接PF 1,AF 1.由双曲线的定义,得|PF 1|-|PF 2|=2,所以|PF 2|=|PF 1|-2,则|PA |+|PF 2|=|PA |+|PF 1|-2≥|AF 1|-2,当且仅当A ,P ,F 1三点共线时,等号成立.由A (6,8),F 1(-2,0),得直线AF 1的方程为y =x +2,由{y =x +2,x 2-y 23=1,得2x 2-4x -7=0,解得x =1±3√22,因为点P 在双曲线的右支上,所以点P 的坐标为(1+3√22,3+3√22). 【备注】无 17.解:(1)由n a n+12-4(n +1)a n 2=0,得a n+12n+1=4·a n 2n,因为a n >0,所以n+1√n+1=2·n√n.又b n =n√n,所以b n +1=2b n ,因此b n+1b n=2.故数列{b n }是公比为2的等比数列. (2)b 1=1√1=1,所以结合(1)得b n =2n -1,即n√n=2n -1,所以a n =√n ·2n -1,因此a n 2=n ·4n -1.于是S n =1+2×4+3×42+…+n ×4n -1,所以4S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n -1+n ×4n , 以上两式相减得,-3S n =1+4+42+…+4n -1-n ·4n=1-4n 1-4-n ·4n=(1-3n)·4n -13.故S n =(3n-1)·4n +19.【解析】本题考查等比数列的定义以及通项公式,考查用错位相减法求数列的前n 项和. 试题主要考查等比数列的概念和通项公式、错位相减法,引导考生培养提取有效信息的能力,用数学思想方法分析问题、解决问题的能力,较好地体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.(1)将已知条件进行变形,可得到b n +1,b n 的关系,然后根据等比数列的定义即可证得结论;(2)结合(1)先求出数列{b n }的通项公式,再得到数列{a n 2}的通项公式,最后用错位相减法求前n项和. 【备注】无18.解:(1)因为AD ∥BC 且AD ⊥AB ,所以BC ⊥A B.又平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ∩平面ABCD =AB ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PAB , 因此BC ⊥A E.因为△PAB 是等边三角形,E 是PB 的中点,所以AE ⊥P B. 又BC ∩PB =B ,所以AE ⊥平面PBC , 又BM ⊂平面PBC ,故AE ⊥BM .(2)解法一 如图,以AB 的中点O 为坐标原点,OB ,OP 所在直线分别为x 轴、z 轴,过点O 且平行于BC 的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),D (-2,2,0),P (0,0,2√3),C (2,4,0),所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2√3),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,-2√3). 设平面PDC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则由{n 1·PD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{-2x 1+2y 1-2√3z 1=0,2x 1+4y 1-2√3z 1=0,取x 1=1,则y 1=-2,z 1=-√3,所以n 1=(1,-2,-√3)是平面PDC 的一个法向量. 因为B (2,0,0),E 是PB 的中点,所以E (1,0,√3). 因为M 为PC 的中点,所以M (1,2,√3), 于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-2,√3),DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,√3). 设平面DME 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则由{n 2·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{3x 2-2y 2+√3z 2=0,3x 2+√3z 2=0,取x 2=1,则y 2=0,z 2=-√3,所以n 2=(1,0,-√3)是平面DME 的一个法向量. 所以|cos<n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=2√2×2=√22. 故平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√22. 解法二 因为M 为PC 的中点,E 是PB 的中点, 所以EM ∥BC ,EM =12BC =2,由题意易得AD ⊥AP ,所以PD =2+AP 2=√22+42=2√5, 因为PB ⊥BC ,所以PC =√PB 2+BC 2=√42+42=4√2, 又DC =√AB 2+(BC-AD)2=2√5,所以PD =DC ,又M 为PC 的中点,所以DM ⊥P C. 易知DM =AE =2√3,AD ⊥AE ,所以DE =√AD 2+AE 2=√22+(2√3)2=4, 所以DM 2+EM 2=DE 2,因此DM ⊥EM ,因此∠PME 就是平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的平面角. 又EM ∥BC ,所以∠PME =∠PCB =45°,所以cos∠PME =√22.故平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】本题考查空间中线线垂直的证明以及二面角余弦值的求解,考查逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.试题在全面考查考生立体几何基础知识的同时,通过问题的分层设计,使不同层次考生的水平都得以发挥,体现了《课程标准》对立体几何教学的知识要求和能力要求,使直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养得到了有效考查.(1)要证AE ⊥BM ,只需证明AE ⊥平面PBC ,而易知AE ⊥PB ,再通过BC ⊥平面PAB 证得BC ⊥AE ,即可使问题得证;(2)可建立空间直角坐标系利用空间向量法求解,也可利用几何法在图形中找到所求锐二面角的平面角,然后在三角形中求解. 【备注】无19.解:(1)由样本数据可得球员J 在15场比赛中的场均得分为115(15+18+21+22+22+24+27+30+32+33+36+37+38+39+41)=29(分),故球员J 在本赛季的场均得分约为29分.由样本数据可得球员H 在15场比赛中,得分超过32分的有6场,故球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数约为615×75=30.(2)设事件A :“恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分”. 事件B :“2场比赛得分都超过37分的球员是H”.依题图知,球员J 得分超过35分的场数是5,球员H 得分超过35分的场数是4. 球员J 得分超过37分的场数是3,球员H 得分超过37分的场数是3. 所以P (A )=C 32·3+C 32·(C 21C 31+1)C 52C 42=12,P (AB )=C 32·(C 21C 31+1)C 52C 42=720,故P (B |A )=P(AB)P(A)=72012=710.故在恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分的条件下,该球员是H 的概率为710.(3)由已知数据可得x ¯=18+21+27+30+315=25.4,y ¯=19+20.5+26.5+28.8+30.25=25,因为∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355,所以b ^=∑i=15x i y i -5x ¯ y¯∑i=15x i2-5x ¯2=3 288.2-5×25.4×253 355-5×25.42≈0.876于是a ^=y ¯−b ^x ¯≈25-0.876×25.4≈2.750,故回归直线方程为y =0.876x +2.750.由于y 与x 正相关,且当x =32时,y =0.876×32+2.750=30.782<31, 当x =33时,y =0.876×33+2.750=31.658>31,因此估计在15场比赛中,当球员J 的得分为33,36,37,38,39,41时,效率值超过31,共6场.【解析】本题考查茎叶图、样本的数字特征及其应用,考查条件概率的求解以及回归直线方程,考查的核心素养是数据分析、数学运算.(1)利用样本的数字特征估计总体的数字特征,运用相关公式计算即可;(2)设出相关事件,利用条件概率的计算公式进行计算;(3)代入相关数据,求出回归直线方程,并将样本数据代入进行判断.【备注】【解后反思】本题第(2)问是条件概率的计算问题,解决这类问题时,首先要用字母表示相关事件,然后利用条件概率的计算公式求解,其中要特别注意P (AB )是指事件A 和B 同时发生的概率.20.解:(1)由题意得,抛物线的焦点为(p2,0),1+p2=54,解得p =12,所以抛物线C 1的方程为y 2=x . (2)由(1)知,P (2,√2).假设存在圆C 2使得AB 恰为其切线,设A (y 12,y 1),B (y 22,y 2),则直线PA 的方程为y -√2=y 1-√2y 12-2·(x -2),即x -(y 1+√2)y +√2y 1=0.由点C 2(1,0)到PA 的距离为r ,得√2y 1√1+(y 1+√2)2=r ,化简,得(2-r 2)y 12+2√2(1-r 2)y 1+1-3r 2=0,同理,得(2-r 2)y 22+2√2(1-r 2)y 2+1-3r 2=0.所以y 1,y 2是方程(2-r 2)y 2+2√2(1-r 2)y +1-3r 2=0的两个不等实根, 故y 1+y 2=-2√2(1-r 2)2-r ,y 1y 2=1-3r 22-r. 易得直线AB 的方程为x -(y 1+y 2)y +y 1y 2=0, 由点C 2(1,0)到直线AB 的距离为r ,得12√1+(y 1+y 2)2=r ,所以(1+1-3r 22-r 2)2=r 2+r2[-2√2(1-r 2)2-r 2]2, 于是,(3-4r 2)2=r 2(2-r 2)2+8r 2(1-r 2)2,化简,得r 6-4r 4+4r 2-1=0,即(r 2-1)(r 4-3r 2+1)=0. 经分析知,0<r <1,因此r =√5-12, 所以存在圆C 2使得AB 恰为其切线,且r =√5-12. 【解析】本题主要考查抛物线的定义和几何性质,直线与圆、抛物线的位置关系等,考查运算求解能力、数形结合思想.试题以抛物线和圆为载体设题,求解时利用直线与圆、抛物线的位置关系列方程,彰显了直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养,考查考生思维的灵活性和综合应用知识解决问题的能力.(1)由抛物线的定义和几何性质列出方程,求出p 的值,进而可求出抛物线的方程;(2)设出A ,B 两点的坐标,得到直线PA ,PB ,AB 的方程,利用圆心到PA ,PB ,AB 的距离均为r 列出方程,结合题意,求出r 的值.【备注】【易错警示】本题在利用直线与圆相切得到关于r 的方程(r 2-1)(r 4-3r 2+1)=0后,可以求得6个r 的值,根据r >0可排除3个值,但很多考生不能分析出0<r <1,从而在另外3个值的取舍上出错21.解:(1)f '(x )=e x [ax 2+(2a +1)x +1],因为f (x )在[1,2]上单调递减,所以e x (ax 2+2ax +x +1)≤0在[1,2]上恒成立, 即ax 2+2ax +x +1≤0在[1,2]上恒成立,所以a ≤-x+1x 2+2x在[1,2]上恒成立.令p (x )=-x+1x 2+2x,则p'(x )=x 2+2x+2(x 2+2x)2>0,所以p (x )在[1,2]上单调递增,所以当x ∈[1,2]时,p (x )min =p (1)=-23,故实数a 的取值范围为(-∞,-23]. (2)g (x )=f(x)xex -1=ax +1xex =x (a +1x 2e x),令h (x )=a +1x 2ex ,则h'(x )=-(x+2)x 3e x.当x <-2时,h'(x )<0,h (x )单调递减; 当-2<x <0时,h'(x )>0,h (x )单调递增. 所以h (x )在x =-2处取得极小值a +e 24.依题意知h (x )在(-∞,0)上有两个不同的零点x 1,x 2,不妨设x 1<x 2, 则x 1<-2<x 2<0.令F (x )=h (-2+x )-h (-2-x ),-2<x <0, 则F (x )=a +1(x-2)e -a -1(x+2)e =e 2-x (x-2)−e 2+x(x+2),-2<x <0,F'(x )=xe 2-x (2-x)3−xe 2+x(x+2)3=x [e 2-x(2-x)3−e 2+x(x+2)3]. 令P (x )=e xx3,则P'(x )=e x (x-3)x 4,显然当0<x <3时,P'(x )<0,P (x )在(0,3)上单调递减,当x >3时,P'(x )>0,P (x )在(3,+∞)上单调递增.当-2<x <0时,2<2-x <4,0<2+x <2,因为P (2)-P (4)=e 28−e 464=e 2(8-e 2)64>0,所以P (2)>P (4),所以当-2<x <0时,P (2-x )<P (2+x ),即当-2<x <0时,e 2-x(2-x)−e 2+x(x+2)<0,于是F'(x )>0,所以F (x )在(-2,0)上单调递增,于是F (x )<F (0)=0,所以当-2<x <0时,h (-2+x )<h (-2-x ).又-2-x 2∈(-2,0),所以h [-2+(-2-x 2)]<h [-2-(-2-x 2)],即h (-4-x 2)<h (x 2)=h (x 1).因为-4-x 2<-2,x 1<-2,且h (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以-4-x 2>x 1,故x 1+x 2+4<0.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的零点问题,考查考生分析问题、解决问题的能力.试题通过利用导数研究函数的单调性、极值等,体现对逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的考查.【备注】无22.解:(1)由{x =1-35t,y =1+15t 消去参数得,x -1=-3(y -1),整理得直线l 的普通方程为x +3y -4=0. 因为椭圆C 的标准方程是x 29+y 2=1,所以椭圆C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数). (2)设N (3cos θ,sin θ),又M (2,2),所以点P 的坐标为(3cosθ+22,sinθ+22), 于是点P 到直线l 的距离d =|3cosθ+22+3·sinθ+22-4|√10=3√510|sin(θ+π4)|, 因此当|sin(θ+π4)|=1时,d max =3√510.故线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最大值为3√510. 【解析】【考查目标】本题考查直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化,考查的核心素养是数学抽象、数学运算.(1)消去参数t 即得直线l 的普通方程,引进参数θ即得椭圆C 的参数方程;(2)利用椭圆C 的参数方程设出N 点的坐标,然后根据中点坐标公式得到P 点坐标,利用点到直线的距离公式得到点P 到直线l 的距离关于θ的表达式,最后结合三角函数知识求得最大值.【备注】无23.解:(1)不等式f (x )≤4可化为不等式组:①{x ≥14,4x-1-(2x +1)≤4或②{-12<x <14,1-4x-(2x +1)≤4或③{x ≤-12,1-4x +(2x +1)≤4.解①得14≤x ≤3,解②得-12<x <14,解③得-1≤x ≤-12, 所以-1≤x ≤3,故不等式f (x )≤4的解集为{x |-1≤x ≤3}.(2)由f (x )≤k -f (-x 2)可得|1-4x |-|1+2x |≤k -(|1+2x |-|1-x |),整理得k ≥|1-4x |-|1-x |. 令g (x )=|1-4x |-|1-x |,则g (x )={3x,x ≥1,5x-2,14<x <1,-3x,x ≤14,因此当x =14时,g (x )取得最小值-34. 故当不等式f (x )≤k -f (-x 2)有解时,实数k 的取值范围是[-34,+∞). 【解析】本题考查绝对值不等式的解法、不等式有解,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)利用零点分段法求解;(2)将原不等式整理成k ≥|1-4x |-|1-x |的形式,令g (x )=|1-4x |-|1-x |,将g (x )=|1-4x |-|1-x |化为分段函数,并求得其最小值,即得实数k 的取值范围.【备注】无。

第二讲 二项式定理1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.考向一 通项公式的运用【例1】（1）(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)（2）⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为 。

（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 。

（4）展开式中x 2的系数为 。

【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出【举一反三】1．展开式中项的系数是（）A．270 B．180 C．90 D．452．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．1123．在的展开式中，含项的系数为A． B． C． D．4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.【举一反三】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．402．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（ ）. A ．4B ．8C ．12D ．113．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（）A．B．C．D．4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于A．B．C．D．考向三二项式定理单调性【例3】若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A．200 B．110 C．210 D．150【举一反三】1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（）A．10 B．42 C．50 D．1822．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项A．4 B．3 C．2 D．13．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.考向四整除【例4】(1)若S＝C127＋C227＋…＋C2727，求S除以9的余数．【举一反三】1．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为 () A．0 B．2 C．7 D．0或72．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．123．除以的余数是（）A． B． C． D．4．237除以17，所得余数是（）A．－1 B．－2 C．15 D．16考向五求近似值【例5】_____（小数点后保留三位小数）．【套路总结】1.利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，（1＋x）n≈1＋nx.2.利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式数展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.【举一反三】1.求1.025的近似值．(精确到两位小数)【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（）A．4 B．-4 C．2 D．-22．已知二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为A．20 B．C．40 D．3．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a n(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)n a n等于A．(3n－1) B．(3n－2) C．(3n－2) D．(3n－1)4．若的展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．5．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为( ) A．11 B．20 C．15 D．166．记，则（）A．81 B．365 C．481 D．7287．，则A．B．C．64 D．658．已知的展开式中常数项为-40，则的值为（）A．2 B．-2 C．±2 D．49．的展开式中，的系数为（）A．-10 B．-5C．5 D．010．的展开式的常数项是（）A．-3 B．-2 C．2 D．311．多项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数是（）A．B．C．D．12．若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（ ） A ．3B ．-3C ．2D ．-213．被49除所得的余数是 A ． B ． C ．D ．14．若n 为正奇数，则112217?7?7?7n n n n n n n C C C ---++++L 被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．815．若二项式的展开式中的系数为，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________．16．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.17．设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则___．18．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为______．19．在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则__________．20．的展开式中的系数是______.（用数字作答）.21．若的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含项的系数是___22．展开式中的系数为________________23．在 的展开式中，常数项为_____．24．在的展开式中，含的项的系数是__________．25．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝__________．26．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．27．_____（小数点后保留三位小数）．28．已知2235n n n a +⋅+-能被25整除，则最小值A=_____________________29．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有有理项的系数之和.30．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）求展开式中的含x 2的项．31．（1）证明：为偶数（n ∈N *）；（2）证明：大于的最小整数能被整除（n ∈N *）.32．(1)设()42340123431x a a x a x a x a x -=++++. ①求01234a a a a a ++++；②求024a a a ++；③求1234a a a a +++；(2)求1227272727S C C C =+++L 除以9的余数．。

2020高考数学压轴冲刺专题——二项式定理考试要求 1.了解二项式定理；2.理解二项式系数的性质.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[常用结论与易错提醒]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )2.(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.803.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 018＋C 22 018＋C 42 018＋…＋C 2 0182 018的值为( ) A.2 B.4C.2 019D.2 018×2 0194.(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝ ________.5.(2018·浙江卷)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________.6.(2019·丽水测试)(x ＋2)(x ＋1)6展开式中，x 3项的系数为________；所有项系数的和为________.考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 (1)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( ) A.7 B.5 C.4D.3(2)(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的常数项为( )A.－160B.80C.240D.－120(3)(2018·湖州适应性考试)在(1－x )5＋(1－x )6＋…＋(1－x )18＋(1－x )19的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A.4 840 B.－4 840 C.3 871 D.－3 871【训练1】 (1)(一题多解)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A.15 B.20 C.30D.35(3)若(2x ＋1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋a 3(x ＋1)3＋a 4(x ＋1)4＋a 5(x ＋1)5，则a 4＝( ) A.－32 B.32 C.－80 D.80考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】 (1)(2019·北京海淀区一模)已知(5x －1)n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64∶1，则n ＝________.(2)(2019·嘉兴检测)已知(1－x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则x 2项的二项式系数是________；|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.(3)(2018·金华一中模拟)若(3－2x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋10a 10＝________.【训练2】 (1)若(x 2－2x －3)n 的展开式中所有项的系数之和为256，则n ＝________，含x 2项的系数是________(用数字作答).(2)(2018·学军中学模拟)设(x －2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则a 0＝________，a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________. (3)(2019·金丽衢十二校联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x－3x n的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100，则n 的最小值为________；当n 取最小值时，该展开式中的常数项是________.考点三 “杨辉三角”与“莱布尼兹三角”【例3】 (2019·绍兴适应性考试)在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，C 36＝________，C 47＝________(用数字作答).【训练3】 (2018·嵊州适考)德国数字家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是指分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形.根据前5行的规律，则第6行的左起第3个数为________.基础巩固题组一、选择题1.(2018·衢州质检)二项式(1＋2x )4展开式的各项系数的和为( ) A.81 B.80 C.27D.262.(2019·温州适考性考试)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 9的展开式中，常数项是( )A.C 39B.－C 39C.8C 39D.－8C 393.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为( )A.270x －1B.270xC.405x 3D.243x 54.(2019·宁波模拟)使得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A.4 B.5 C.6D.75.(2019·镇海中学模拟)记(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为( ) A.1 B.2 C.129D.2 1886.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A.63B.64C.31D.327.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32 B.－32 C.243D.－2438.(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210 B.210 C.30 D.－30二、填空题9.(2018·上海卷)在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为________.10.(2019·杭州质检)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5(a ∈R )的展开式中，若含x 7的项的系数为－10，则a ＝________.11.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).12.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a0＝________；a2＋a4＋…＋a12＝________(用数字作答).13.(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.14.C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数为________.能力提升题组15.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，a k(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A.5B.6C.7D.816.设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.1217.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A.45B.60C.120D.21018.已知n∈N*且n≥3，则2n与2n＋1的大小关系是________.19.设(2x－1)6－x6＝(x－1)(a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5)，其中a0，a1，a2，a3，a4，a5为实数，则a0＝________，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.20.已知（2－x）71＋x＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＋a1＋x，那么a0＋a＝________；a4＝________.第3节 二项式定理考试要求 1.了解二项式定理；2.理解二项式系数的性质.知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. [常用结论与易错提醒]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.性质 性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n ＝C n －kn增减性二项式当k ＜n ＋12(n ∈N *)时，是递增的系数C k n当k ＞n ＋12(n ∈N *)时，是递减的二项式系数最大值当n 为偶数时，中间的一项2C n n取得最大值当n 为奇数时，中间的两项 与 取得最大值12C n n-12C n n +2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )解析 二项式展开式中C k n an －k b k 是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.答案 C3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 018＋C 22 018＋C 42 018＋…＋C 2 0182 018的值为( ) A.2 B.4C.2 019D.2 018×2 019解析 原式＝22 01922 018－1＝22＝4.答案 B4.(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝ ________.解析(1＋x)n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n＝10.答案105.(2018·浙江卷)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x＋12x8的展开式的常数项是________.解析该二项展开式的通项公式为T r＋1＝C r8x8－r3⎝⎛⎭⎪⎫12xr＝C r8⎝⎛⎭⎪⎫12rx8－4r3.令8－4r3＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C28×⎝⎛⎭⎪⎫122＝7.答案76.(2019·丽水测试)(x＋2)(x＋1)6展开式中，x3项的系数为________；所有项系数的和为________.解析二项式(x＋1)6的展开式的通项为T r＋1＝C r6x6－r，令6－r＝3得r＝3，则x3项的系数为C36＝20，令6－r＝2得r＝4，则x2项的系数为C26＝15，所以(x＋2)(x ＋1)6的展开式中，x3项的系数为15＋2×20＝55.在(x＋2)(x＋1)6中，令x＝1，得所有项系数的和为(1＋2)(1＋1)6＝192.答案55192考点一求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】(1)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为()A.7B.5C.4D.3(2)(x2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x－2x6展开式的常数项为()A.－160B.80C.240D.－120(3)(2018·湖州适应性考试)在(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)18＋(1－x)19的展开式。

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。

二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。

组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。

二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。

例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。

2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。

例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。

3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。

例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。

三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。

例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。

解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。

解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。

计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。

专题26 排列组合、二项式定理考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度计数原理、排列、组合(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题(2)排列与组合①理解排列、组合的概念;②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;③能解决简单的实际问题掌握2020天津,14;2020课标全国Ⅱ,5;2020课标全国Ⅲ,12;2020四川,6;2020安徽,8选择题★★☆两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第一问中,难度中等或中等偏上.考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度二项式定理的应用能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题掌握2020课标全国Ⅰ,6;2020课标全国Ⅰ,14;2020课标Ⅰ,10选择题填空题★★★分析解读 1.掌握二项式定理和二项展开式的性质.2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题.3.二项展开式的通项公式是高考热点.本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现,分值约为5分,属容易题.2020年高考全景展示1．【2020年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

2．【2020年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.3．【2020年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.4．【2020年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．5．【2020年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.2020年高考全景展示1.【2020课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.2.【2020课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】试题分析：()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y - 展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=- 可得：当3r = 时，()52x x y - 展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=- ， 当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()22352180C ⨯⨯-= ，则33x y 的系数为804040-= . 故选C .【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.3.【2020课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。

（全国Ⅰ卷）2020届高考数学百日冲刺金卷（二）理注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第I卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡.上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A＝{x|x<6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为(A)30 (B)31 (C)62 (D)63(2)已知复数z满足：z·(1＋i)＝1十3i，则|z|＝(D)5(3)已知sin(32＋α)＝13，则co sα＝(A)13(B)－13(C)3(D)－3(4)李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人。

金元时期的数学家。

与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。

在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。

李冶所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何。

翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为(A)x 2＋z 2＝y 2? (B)x 2＋y 2＝z 2? (C)y 2＋z 2＝x 2? (D)x ＝y?(5)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制。

每局甲赢的概率是23，乙赢的概率是13，则甲以3：1获胜的概率是 (A)827 (B)1627 (C)1681 (D)3281(6)双曲线C 1：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线C 1的渐近线方程为(A)y ＝±12x (B)y ＝±13x (C)y 2x (D)y 3(7)已知向量|a|＝1，|b|＝2，|2a ＋b|3|2a －b|，则向量a 与b 的夹角为(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°(8)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋6π)(ω>0)的图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为(A)[1，32) (B)(43，32) (C)(43， 73) (D)[1，73] (9)当0<x 1<x 2<m 时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为 (A)1 (B)e (C)1e e (10)已知(1＋2x)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，其中a 0＋a 1＋…＋a n ＝243，则0121231n a a a a n +++⋅⋅⋅=+ (A)182 (B)1823 (C)913 (D)1829(11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为623(12)已知函数f(x)＝ln(x－a)，若∃x1，x2∈(a，＋∞)，使得[x1－f(x2)]2＋[x2－f(x1)]2＝4，则实数a的取值范围是(A)(21] (B)(－∞，22] (C)(2] (D)(－∞，2] 第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【高考复习】2020年高考数学(理数) 排列组合与二项式定理小题练一、选择题1.5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )A ．A 55A 24种B ．A 55A 25种C ．A 55A 26种D ．(A 77－4A 66)种2.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种3.已知A ，B ，C ，D 四个家庭各有2名小孩，四个家庭准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名小孩(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有( ) A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种4.将甲、乙、丙、丁4名学生分配到三个不同的班，每个班至少1名，则不同分配方法的种数为( )A ．18B ．24C ．36D ．725.若(1－3x)2 018=a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )A ．22 018－1B ．82 018－1C ．22 018D ．82 0186. (1－3x)7的展开式的第4项的系数为( )A ．－27C 37B ．－81C 47 C ．27C 37D ．81C 477.若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．158. (x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A ．－30B ．120C ．240D ．4209.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种10.某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A ．484B ．472C ．252D ．23211.若(x －2y)6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( )A.152 B ．154 C ．120 D ．24012.已知(x ＋2)9=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312二、填空题13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．15.已知集合M={1，－2,3}，N={－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________．16.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同取法的种数为 .17.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．18.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．19.在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a=________.20.在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy 3的系数为________．21.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)22.设a ，b ，c ∈{1,2,3,4,5,6}，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．23.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________．24.已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．答案解析1.答案为：A ；解析：首先5名大人先排队，共有A 55种排法，然后把2个小孩插进中间的4个空中，共有A 24种排法，根据分步乘法计数原理，共有A 55A 24种排法，故选A.2.答案为：A ；解析：由题意知将甲、乙两本书放在两端有A 22种放法，将丙、丁两本书捆绑，与剩余的两本书排列，有A 33种放法，将相邻的丙、丁两本书排列，有A 22种放法，所以不同的摆放方法有A 22×A 33×A 22=24(种)，故选A.3.答案为：B ；解析：若A 家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则甲车中另外2名小孩来自不同的家庭，有C 23C 12C 12=12种乘坐方式，若A 家庭的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车中来自同一个家庭的2名小孩来自B ，C ，D 家庭中的一个，有C 13C 12C 12=12种乘坐方式，所以共有12＋12=24种乘坐方式，故选B.4.答案为：C ；解析：将4人分成三组，有C 24=6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33=6种分配方法， 依据分步乘法计数原理可得不同分配方法有6×6=36(种)，故选C.5.答案为：B ；由已知，令x=0，得a 0=1，令x=3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018=(1－9)2 018=82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018=82 018－a 0=82 018－1，故选B.6.答案为：A ；解析：(1－3x)7的展开式的第4项为T 3＋1=C 37×17－3×(－3x)3=－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.7.答案为：C ；解析：由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x)n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4=是常数项， 可得n2－6=0，解得n=12.8.答案为：B ；解析：[(x ＋2y)＋z]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y)4z 2，(x ＋2y)4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22=480－360=120，故选B.9.答案为：C.解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C 23A 33=18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C 13A 33=18(种)． 由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18=36(种)．10.答案为：B.解析：若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C 14C 212=264(种)选法． 若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C 312－3C 34=208(种)选法．故总共有264＋208=472(种)不同的选法．11.答案为：B ；解析：由题意知，S=C 06＋C 16＋…＋C 66=26=64，P=C 46(－2)4=15×16=240，故P S =24064=154.故选B.12.答案为：D ；解析：由题意得，因为(x ＋2)9=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8=a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x=1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9=310， 令x=－1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9=9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2=(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)=310×9=312.13.答案为：16；解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C 12C 24种，有2位女生参加有C 22C 14种．故共有C 12C 24＋C 22C 14=2×6＋4=16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C 36种情况，没有女生参加的情况有C 34种，故共有C 36－C 34=20－4=16(种)．14.答案为：36；解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23·C 14=12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13·C 11=3种报法． 由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C 23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A 24种方法．由分步乘法计数原理得共有C 23·A 24=36(种)．15.答案为：14；解析：分两类：一是以集合M 中的元素为横坐标，以集合N 中的元素为纵坐标有3×2=6个不同的点；二是以集合N 中的元素为横坐标，以集合M 中的元素为纵坐标有4×2=8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8=14个不同的点．16.答案为：472；17.答案为：0；解析：二项展开式的通项T r ＋1=C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r =a r C r 9x 9－2r ，令9－2r=3，得r=3，所以a 3C 39=－84， 所以a=－1，所以二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9，令x=1，则(1－1)9=0，所以展开式的各项系数之和为0.18.答案为：－48；解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x=1，得(1－a)×1=2，解得a=－1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1=C r 5(2x)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r =(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r=3，得r=1， 展开式中含x 3项的系数为T 2=(－1)×24C 15=－80，令5－2r=5，得r=0，展开式中含x 5项的系数为T 1=25C 05=32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32=－48.19.答案为：－2；解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1=C r 5(ax 2)5－r×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =， 令10－5r 2=0，得r=4，所以C 45a 5－4=－10，解得a=－2.20.答案为：120；解析：因为二项式(1＋2x)6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y)5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35=120.21.答案为：1 080；解析：解析：分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为：A 45=120(个)，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为C 14C 14A 35=960(个)，则共有1 080个．22.答案为：27；解析：由题意知以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形， (1)先考虑等边三角形情况则a=b=c=1,2,3,4,5,6，此时有6个．(2)再考虑等腰三角形情况，若a ，b 是腰，则a=b ，当a=b=1时，c ＜a ＋b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时，c ＜4，则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个； 当a=b=3时，c ＜6，则c=1,2,4,5，此时有4个； 当a=b=4时，c ＜8，则c=1,2,3,5,6，此时有5个；当a=b=5时，c ＜10，有c=1,2,3,4,6，此时有5个； 当a=b=6时，c ＜12，有c=1,2,3,4,5，此时有5个； 由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6=27(个)．23.答案为：120；解析：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4,23C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02=40＋80=120.24.答案为：3；解析：因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)=－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14·a =4a ，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x 的系数为1×4a＋1×(－10)=2，所以a=3.。