圆锥曲线培优讲义

一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积．2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ．（1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距离，并证明 S =12∣x 1y 2−x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33,√33)，S =13，求 k 的值．（3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变动，面积 S 保持不变．3. 已知椭圆()0,01:2222>>=+b by x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足.127,121221ππ=∠=∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求22OC OB +的值.4. 在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点是轨迹上相异的两点．(I)过点A ，B 分别作抛物线的切线、，与两条切线相交于点，证明：；xoy (,)M x y (2,0),(2,0)-14-M C 1122(,),(,)A x y B x yC 2y =1l 2l 1l 2l ()N t 0NA NB =(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值·5. 已知 A 、 B 分别是 x 轴和 y 轴上的两个动点，满足 ∣AB∣=2，点 P 在线段 AB 上，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =tPB ⃗⃗⃗⃗⃗ （t 是不为 0 的常数），设点 P 的轨迹方程为 C ．（1）求点 P 的轨迹方程 C ；（2）若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，试求实数 t 的取值范围； （3）若 t =2，点 M ，N 是曲线 C 上关于原点对称的两个动点，点 Q 的坐标为 (32,3)，求 △QMN 的面积 S 的最大值．6. 已知椭圆 C 1 的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点；抛物线 C 2 的焦点在 y轴上，顶点在坐标原点．在 C 1，C 2 上各取两个点，将其坐标记录于表格中： x3−24√2y908√2（1）求 C 1，C 2 的标准方程；（2）已知定点 C (0,18)，P 为抛物线 C 2 上一动点，过点 P 作抛物线 C 2的切线交椭圆 C 1 于 A ，B 两点，求 △ABC 面积的最大值．7. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点．（1）若 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线 AB 的斜率； （2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C ，求四边形 OACB 面积的最小值．8. 设椭圆 C 1：x 2a +y 2b =1 (a >b >0) 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2，下顶点为 A ，线段 OA 的中点为 B （O 为坐标原点），如图．若抛物线 C 2：y =x 2−1 与 y 轴的交点为 B ，且经过 F 1，F 2 点．（1）求椭圆 C 1 的方程；14-AOB S∆（2）设 M (0,−45)，N 为抛物线 C 2 上的一动点，过点 N 作抛物线 C 2 的切线交椭圆 C 1 于 P 、 Q 两点，求 △MPQ 面积的最大值．二 定点定值问题9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ． （Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D 抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动点．且PA⊥PB ，问直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√63，直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A,B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为2√63．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 E 的坐标为 (√32,0)，点 A 在第一象限且横坐标为 √3，连接点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ，求 △PAB 的面积； （3）是否存在点 E ，使得 1EA 2+1EB 2 为定值?若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆的左焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）如果直线FA ，FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2）如果FA ⊥FB ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．13. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线l 的斜率为k . （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点恒过定点，请说明理由.14. 如图，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率是√22，过点 P (0,1) 的动直线 l 与椭圆相交于 A ，B 两点．当直线 l 平行于x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2√2．（1）求椭圆 E 的方程；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得∣QA∣∣QB∣=∣PA∣∣PB∣ 恒成立? 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15. 已知动圆过定点 (p2,0)，且与直线 x =−p2 相切，其中 p >0．（1）求动圆圆心 C 的轨迹的方程；（2）设 A 、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和 OB的倾斜角分别为 α 和 β，当 α，β 变化且 α+β 为定值 θ(0<θ<π) 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．16. 已知抛物线 E:y 2=2px (p >0) 的准线与 x 轴交于点 K ，过点 K 做圆C:(x −5)2+y 2=9 的两条切线，切点为 M ，N ，|MN|=3√3． （1）求抛物线 E 的方程；（2）设 A ，B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =94 （ 其中 O 为坐标原点）． ①求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标；②过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G ，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值．17.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x0，y0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M:22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k1，k2 (1)求证：k1k2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.三 中点弦问题20. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB 的长的取值范围.21. 在平面直角坐标系xoy 中，过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点的直线20x y +-=交椭圆C 于,M N 两点，P 为,M N 的中点，且直线OP 的斜率为13． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设另一直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，原点O 到直线l 的距离为2，求AOB ∆面积的最大值．22. 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>左右顶点为A 、B ，左右焦点为1212,,4,23F F AB F F ==，直线(0)y kx m k =+>交椭圆E 于点C 、D 两点，与线段12F F 椭圆短轴分别交于M 、N 两点（M 、N 不重合），且CM DN =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线,AD BC 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围.23. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a bya x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.24. 已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点 A (0,−1)，且离心率 e =√32． （1）求椭圆 M 的方程；（2）若椭圆 M 上存在点 B,C 关于直线 y =kx −1 对称，求 k 的所有取值构成的集合 S ，并证明对于 ∀k ∈S ，BC 的中点恒在一条定直线上．P DMA Oxy E25. 如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P (1,12) 到抛物线 C:y 2=2px (p >0) 的准线的距离为 54．点 M (t,1) 是 C 上的定点，A ，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分．（1）求 p ，t 的值；（2）求 △ABP 面积的最大值．26. 已知抛物线 C:y 2=4x ，过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线，分别交抛物线 C 于点 P 1，P 2 和点 P 3，P 4，线段 P 1P 2，P 3P 4 的中点分别记为 M 1，M 2．（1）求 △FM 1M 2 面积的最小值；（2）求线段 M 1M 2 的中点 P 满足的方程．27. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．四 定比分点28. 已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知m =，BF n NB =，求n m +的值.29. 在直角坐标系xOy 上取两个定点12(A A 再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=>，求证：NF FQ λ=.30. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=． （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．五 结论31. 已知椭圆 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2 2，2，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.32. 过点 (1,√32)，离心率为 √32．过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为 −14 的直线分别交椭圆 C 于 M ，N 两点． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 MN 是否过定点 D ?若过定点 D ，求出点 D 的坐标，若不过点 D ，请说明理由．33. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与直线分别交于两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标.34. 已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ =（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.()15,0F -)25,0F M 120MF MF ⋅=128MF MF ⋅=P 12A A 、12PA PA ，352x =,E F EF x35. 已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其右准线 l 与 x 轴交于点 A ，椭圆的上顶点为 B ，过它的右焦点 F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点 P ，直线 AB 恰经过线段 FP 的中点 D ．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是 A 1 、 A 2，且 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设 Q 是椭圆右准线 l 上异于 A 的任意一点，直线 QA 1，QA 2 与椭圆的另一个交点分别为 M 、 N ，求证：直线 MN 与 x 轴交于定点．36. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM的斜率分别记为AM k 与BM k ，且2AM BM k k ⋅=-．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出OPQ ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由．37. 已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 过点F （0,2)做两条可相垂直的直线21,l l ，设1l 与曲线C 交于A,B 两点, 2l 与曲线 C 交于C,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，M,N 两点。