微分练习题

常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。

习题1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x xy的定义域和值域。

3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g xxx f ==。

4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。

7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。

8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

大学微分练习题微分学是高等数学中的一个重要分支，它研究函数变化率的性质和计算方法。

作为大学数学课程的一部分，微分学的学习对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。

本文将为大家提供一些微分学的练习题，帮助大家巩固和加深对微分学的理解和掌握。

1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导数。

解答：首先，根据导函数的定义，我们可以采用求导公式对给定的函数进行求导。

对于 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，分别对 x 的各项进行求导。

f'(x) = d/dx(3x^2) - d/dx(2x) + d/dx(1)= 6x - 2因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导数为 f'(x) = 6x - 2。

2. 求函数 f(x) = sin(2x) 的导数。

解答：对于函数 f(x) = sin(2x)，我们使用链式法则对其进行求导。

根据链式法则，导数 f'(x) = (d/dx)sin(2x) = (d/dt)sin(t)|t=2x * (d/dx)2x = 2cos(2x)。

因此，函数 f(x) = sin(2x) 的导数为 f'(x) = 2cos(2x)。

3. 求函数 f(x) = e^x / (1 + e^x) 的导数。

解答：对于函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，我们可以使用除法求导法则对其进行求导。

根据除法求导法则，导数 f'(x) = ((d/dx)e^x*(1+e^x) -e^x*(d/dx)(1+e^x)) / (1 + e^x)^2= (e^x*(1 + e^x) - e^x*e^x) / (1 + e^x)^2= (e^x + e^2x - e^2x) / (1 + e^x)^2= e^x / (1 + e^x)^2因此，函数 f(x) = e^x / (1 + e^x) 的导数为 f'(x) = e^x / (1 + e^x)^2。

常微分方程练习题习题一一、单项选择题.1.微分方程yy32coyy5的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某y22C.某dyyd某0D.某dyyd某0 2某某4.用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y 某(a某b某c)e5．Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程y某tany的所有常数解是.某2某某22某某2某某2某某3某2C满足的一阶方程是.2．函数y523．设y1某e某e2某,y2某e某e 某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.d某某dt5．系统的零解的是稳定的.dyydt三、求下列一阶微分方程的通解.dyy4某2y210d某某dyyy2(co某in某)2.d某1.3.(某2y)d某某dy0.四、求下列高阶方程的通解.1.yy1co某2.试用观察法求方程(1ln某)y11y2y0的通解．某某某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.d某A某Cemt，有一解形如：(t)Pemt.dt习题二一、单项选择题1.微分方程dyy2某2的阶数是（）.d某A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意n1个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．当n时，微分方程yP(某)yQ(某)y为伯努利方程．n某2某某22某某2某某2某某某2．在方程某p(t)某q(t)某0中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(某)，y=y2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设某0I，Y1(某),,Yn(某)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(某),,Yn(某)在区间I上线性相关的条件是向量组Y1(某0),,Yn(某0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.某yy(某y)ln2.某y某dyyy2(co某in某)d某3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解.1.y某yy02.yy21co某d某5y4某dt五、求解微分方程组的通解.dy4y5某dtd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设分因子.f(某,y)及f连续,试证方程dyf(某,y)d某0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与某的积yd2ydyp(某)q(某)y0中，p(某)在区间I上连续且恒不为零，2.设在方程试证它的任意两个线d某d某2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程y某某iny的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某yC.某dyyd某0D.某2dyy2d某03.微分方程yP(某)yQ(某)y，当n1时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程y2yy(某22某)e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．函数某c1cotc2int(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．3．设y1某e某e2某,y2某e某e某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.n某某2某某2某某2某某22某5．与初值问题某2某7t某et,某(1)7,某(1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.(某1)y2某y02.22dyyy2(co某in某)d某3.(某4y)y2某3y5四、求下列高阶方程的通解.1.t某2t某2某02.某某2某02某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程y某y某2的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当n1时，微分方程yp(某)yq(某)yn最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.某,C.e某2,某1,某1B.0,某,某2,某3e某2D.e2某,某e某25．用待定系数法求方程y2yy某2e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1.方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．2．若yy1(某),yy2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．23．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.某2某某2某某2某某22某4．已知cot和int是二阶齐次线性方程某a(t)某b(t)某0的两个解，则a(t)．5．如果常系数线性方程组某A某的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.dyyytand某某某dyy某22.d某2某2y3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解1.t某3t某5某02.某''某tant2d某4某5ydt五、求解常微分方程组.dy4y5某dt某ya某3六、判定系统（这里的a）的零解稳定性.3y某ay七、设y(某)在[0,)上连续可微，且有lim[y(某)y(某)]0，试证：limy(某)0.某某。

常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

() 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。

③x yy dx dyx ln ⋅=是 。

④x x y y x sin 2+='是 。

⑤02=-'+''y y y 是 。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是 。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。

7．xy 1=所满足的微分方程是 。

8．x y y 2='的通解为 。

9．0=+xdy y dx 的通解为 。

10．()25112+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

习题1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数的定义域和值域。

3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。

4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。

7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。

8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。

微分方程练习题一、选择题 １、微分方程3+2=2x dx dy 的阶数为（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４２、微分方程6+3+2=′2x x y 的通解是（ ）ＡC x x x +6+3+223 Ｂ．C x x +23+323 Ｃ C x x x +6+23+3223 Ｄ．C x 23x 3223++ ３、微分方程0=4+′x y 的通解是（ ）Ａ．213++32c x c x Ｂ．c x +323 Ｃ． 213++2c x c x Ｄ．213++23c x c x 4、微分方程yx xy y dx dy 321++=是（ B ）.A 线性微分方程；B 可分离变量的微分方程；C 齐次微分方程；D 一阶线性非齐次微分方程. 5、微分方程 y 2dx －(1－x)dy=0是（ D ）微分方程。

A 一阶线性齐次B 一阶线性非齐次C 二阶线性齐次D 变量可分离6、下列各组函数中，是线性无关的是（ ）A 3x 与2xB 5sinx 与6sinxC sin2x 与cos2xD 2x 与23x7、微分方程06y y 5y =-'+''的通解是（ ）A x 26x 1e C eC +- B x 26x 1e C e C + C -x 26x 1e C e C +-D -x 26x 1e C e C +8、微分方程0y y 2y =+'+''的通解是（ ）A ()x21e x C C + B ()2x 21e x C C + C ()-x 21e x C C + D ()-2x 21e x C C +9、微分方程025y y 6y =+'-''的通解是（ ）A ()sin2x C cos2x C e 213x +B ()sin4xC cos4x C e 213x +C ()sin2x C cos2x C e 21-3x +D ()sin3x C cos3x C e 214x +10、下列函数是微分方程2x 5e6y y 5y -=+'-''的一个特解的是（ ） A 2x 5xe B 3x 5xe C 2x 5e D -2x 5xe二、填空题。

微分方程练习题一、一阶微分方程1.求 dy dx =2xy 的通解。

2.求微分方程x dy =y +�x 2+y 2 (x >0)满足y (1)=0的特解。

3.求微分方程 y ′−3x y =x 的通解。

4.求微分方程 y ′+y tanx =cosx 的通解。

5.求 x 2y ′+xy =y 2满足初始条件y (1)=1的特解。

6.求微分方程sec 2x coty dx −csc 2y tanx dy =0的通解。

7.求微分方程dy dx −2y x +1=(x +1)52的一个特解。

8.求微分方程xdy =yln y x dx 的通解。

9.求微分方程 dy dx =y x +y 3e y 的通解。

10求微分方程 y ′+y =e −x 的通解。

11.求微分方程xy 2dy =(x 3+y 3)dx 的通解。

12.求微分方程y =�1+(y ′)2 满足条件y (0)=1的特解。

13.求微分方程 xy ′+2y =x lnx 满足初始条件y (1)=−19的特解。

14.求微分方程 xy ′+y =x 2 y 2 lnx 的通解。

15.设f (x )=�f �t 2�dt +ln2，求f (x )的表达式。

2x 0二、高阶微分方程 1.求y ′′=1+(y ′)2的通解。

2.求 y ′′−2y ′−y =0的通解。

3.求 y ′′+2xy ′2=0，y (0)=1,y ′(0)=−12的特解。

4.求 y ′′−2y ′−5y =1的通解。

5.求 y ′′+y ′+y =8的通解。

6.求微分方程d 2y dx 2+w 2y =0的通解。

7.求微分方程 y ′′−3y ′+2y =xe x 的通解。

8.求微分方程 x 2y ′′+4xy ′+2y =x 的通解。

9.求微分方程 yy ′′+y ′2=y ′ 的通解。

10.求微分方程 x 2y ′′+3xy ′−3y =x 3的通解。

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。