倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制
- 格式：doc
- 大小：876.50 KB
- 文档页数：14
下载文档原格式
合集下载
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
倒立摆系统的主要控制方法
倒立摆系统的主要控制方法控制理论自诞生之日起至今主要经历了经典控制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等几个阶段。
伴随着控制理论的不断发展，对倒立摆的控制也出现了采用经典控制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等多种控制理论的方案和控制方法，并均实现了实物实验的成功。
经典控制理论提供了解决单输入单输出系统的控制方法。
利用牛顿第二运动定律对倒立摆系统进行力学分析，建立小车在水平运动和摆杆在垂直位置上的动力学方程，并进行合理的线性化，拉氏变换，得出系统的传递函数，从而得到零极点分布情况。
根据使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器，需引入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左半平面上。
用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的被控对象的数学模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量就能获得系统参数在很宽范围内的稳定性。
文献介绍了黄永宜选用经典控制理论的频域法实现了单级倒立摆的稳定控制。
现代控制理论采用状态空间法，把经典控制理论中的高阶定常微分方程转换为一阶微分方程组，用来描述系统的动态过程。
这种方法可以解决多输入多输出问题，系统可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。
与经典控制理论相比，现代控制理论具有较强的系统性，从分析、设计、到综合都有比较完整的理论和方法。
利用H∞状态反馈方法、极点配置法和最优状态调节器方法都可以实现对二级倒立摆的控制。
基于H∞状态反馈方法的二级倒立摆控制方案：针对倒立摆系统具体的有参数摄动及干扰，构造状态反馈控制u Kx=使不确定闭环系统是具有干扰衰减度γ的H∞鲁棒最优系统，且性能指标()()()T TJ x t Qx t u Ru t dt∞⎡⎤=+⎣⎦⎰具有最小的上界。
利用极点配置法和最优线性二次状态调节器LQR和线性二次输出调节器LQR控制倒立摆的方法。
使用极点配置法首先需要建立系统的线性模型，然后确定系统的闭环极点，再通过Ackerman公式算出对应的反馈增益矩阵Kf。
倒立摆系统控制的研究
摘要倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。
通过它能有效地反映控制过程中诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等多种关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。
因此，对倒立摆系统的稳定性研究在理论上和方法上具有深远的意义。
对倒立摆的研究可以归结对非线性、多变量、不稳定系统的研究。
在应用上，倒立摆广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人等领域，在自动化领域中具有重要的价值。
另外，由于此装置成本低廉，结构简单，便于用模拟、数字等不同方式控制，在控制理论教学和科研中也有很多应用。
对其的稳定控制是控制界一个极具挑战性的难题。
本文首先叙述了对倒立摆系统稳定性研究的意义，综述了倒立摆的研究现状，并介绍了当前已有的稳定倒立摆的各种控制方法。
本文建立了一级、二级倒立摆的数学模型，分析了系统的能控性和能观测性，采用经典控制理论和现代控制理论对单级倒立摆的控制进行仿真研究。
关键词：倒立摆；数学模型；仿真AbstractInverted pendulum is a typical lmodel of multi-variable,nonlinear,essentially unsteady system.During the control process,pendulum can effectively reflect many pivotal problems such as equanimity,robust,follow-up and track.Therefore,it is a perfect model used to testing various control theories.and researching stability of inverted Pendulum system has the profound meaning in theory and methodology.The research on inverted pendulum can be diverted to the research on nonlinear,multi-variable and unsteady system.And in application many equipments such as aviation,robots cannot do without it.The inverted pendulum plant is in common use in control theory teaching and research as it is also so cheap and easy to get.So it is amusing valuable for a senior student to do research on this subject.The stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for the researchers in the controlling field because of the difficulty of the problem.In this dissertation，first of all，analyze the meaning of researching the inverted pendulum system,give a summary on the research actuality of inverted pendulum,and introduce many control ways on making inverted pendulum system steady.In this paper,we establish mathematical models of single,double inverted pendulum system,and analyze the controllability and observability of these models.We do research on the stabilization control of a single inverted pendulum system by means of classical control theory and modern control theory.Key words：Inverted Pendulum; Mathematical models;Simulation目录摘要 (I)Abstract (II)1 绪论 (1)1.1课题研究的背景和意义 (1)1.1.1倒立摆系统研究的工程背景 (1)1.1.2倒立摆系统研究的意义 (2)1.2国内外研究现状 (2)1.2.1稳定问题的研究 (2)1.2.2起摆问题的研究 (6)1.2.3倒立摆控制存在的主要问题 (6)1.3本论文的主要工作 (7)2倒立摆系统的建模与分析 (9)2.1倒立摆系统的建模 (10)2.1.1直线一级倒立摆的数学模型 (10)2.1.2直线二级倒立摆的物理模型 (18)2.2倒立摆系统的定性分析 (22)2.2.1一级倒立摆系统模型分析 (22)2.2.2二级倒立摆系统模型分析 (23)2.3本章小结 (23)3直线一级倒立摆系统的控制 (25)3.1MATLAB控制系统工具箱简介 (25)3.2基于根轨迹校正的直线一级倒立摆控制 (26)3.2.1系统根轨迹分析 (26)3.2.2根轨迹校正及控制 (27)3.3直线一级倒立摆PID控制 (33)3.4直线一级倒立摆频率响应分析与校正 (36)3.5基于状态空间综合法的直线一级倒立摆控制 (40)3.5.1反馈控制系统设计 (40)3.6本章小结 (47)4总结与展望 (48)参考文献 (49)致谢 (50)附录A：英文文献 (51)附录B：中文翻译 (65)附录C：程序 (72)1 绪论1.1课题研究的背景和意义1.1.1倒立摆系统研究的工程背景在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
固高科技《倒立摆与自动控制原理实验》
固高科技《倒立摆与自动控制原理实验》《倒立摆与自动控制原理实验》是一个固高科技开展的实验项目，旨在培养学生对自动控制原理的理解和应用能力。
该实验通过搭建倒立摆的物理模型，利用自动控制原理来实现倒立摆的平衡控制。
以下是对该实验项目的介绍，包括实验目的、原理以及实验步骤。
实验目的：1.理解自动控制原理的基本概念和应用。
2.掌握使用固高科技控制系统进行实验的方法。
3.了解倒立摆的特性和控制方法。
4.通过实验，提高学生的动手实践能力和创新思维。
实验原理：倒立摆是一个经典的自动控制系统，由一个摆杆和一个旋转关节组成。
摆杆可以沿着旋转关节旋转，目标是使摆杆保持直立状态。
倒立摆系统可以看作是一个负反馈控制系统，输入为倒立摆的角度和角速度，输出为控制摆杆旋转的力矩。
通过调节输入和输出之间的关系，可以实现倒立摆的平衡控制。
实验步骤：1.准备实验所需的材料和仪器，包括固高科技控制系统、倒立摆模型、电源等。
2.搭建倒立摆的物理模型，将摆杆固定在旋转关节上，并与驱动电机相连。
3.将摆杆的角度和角速度传感器与固高科技控制系统相连。
4.将固高科技控制系统通过USB接口连接到计算机上，并打开控制系统控制软件。
5.运行控制软件，配置摆杆的初始角度和目标角度，并设置控制参数。
6.开始实验，观察摆杆的运动状态，尝试调节控制参数以实现倒立摆的平衡控制。
7.记录实验结果，分析控制参数对倒立摆平衡控制的影响。
通过以上步骤，可以实现对倒立摆的平衡控制。
学生通过实际操作和观察，加深对自动控制原理的理解和应用。
此外，他们还可以探索倒立摆系统的多种控制方法和策略，提高自己的创新能力。
总结：《倒立摆与自动控制原理实验》是一个很有意义的实验项目，旨在培养学生对自动控制原理的理解和应用能力。
通过实际操作和观察，学生可以深入了解倒立摆的特性和控制方法，并通过调节控制参数实现倒立摆的平衡控制。
通过这个实验，学生不仅可以提高动手实践能力，还可以培养创新思维，为将来的研究和工作打下坚实的基础。
倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制
倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制(齐国元,陈增强,袁著祉)(1.天津科技大学自动化系,天津300222;2.南开大学自动化系,天津300071)摘要:利用提取的系统高阶微分信息,提出了自适应高阶微分反馈控制器.某种程度上该控制器不依赖于单输入单输出(SISO)非线性仿射系统的模型.并且分析了闭环系统的稳定性和鲁棒性.通过将摆角方程的位移加速度看作是控制输入,将倒立摆系统转化成相互影响的两个SISO仿射系统,从而用两个串级高阶微分反馈控制器成功地实现了倒立摆系统的镇定与调节.数字仿真表明,控制器对摆的基准模型实现了较为满意的控制,而且该控制方法对非线性摩擦项,对摆长、摆质量、小车质量等参数变化以及外扰动具有强鲁棒性.关键词:倒立摆系统;高阶微分器;自适应高阶微分反馈控制器;不依赖模型控制器;鲁棒性1.引言作为一个典型的不稳定非线性装置，倒立摆系统的镇定和调节的问题在不同的控制设计技术中的演示和推动成为了一个基准的例子。
例如，基于郑和约翰提出摆动能量的非线性控制器的模型是使用L 小增益逼近和林提供了线性状态反馈控制器是摆平衡。
咔哇他你线性化了并列的两个倒立摆系统的非线性数字模型，然后通过使用状态反馈增益载体和全状态观测器设计了一个稳定性控制器。
姚首先通过模糊法来识别动态线性化模型，然后根据这个模型设计出极点分配控制器使系统稳定。
这些文献中涉及到的控制器取决于非线性基准模型或倒立摆的线性化模型。
一些设计的方法考虑到了鲁棒控制器的摩擦项。
但是不确定性低于基准模型。
实际上，基于标准控制器取决于控制装置的模型是现代控制理论的重要特征。
我们发现可测量的信息和它们的n阶微分方程在放射系统中具有重要的意义。
微分不仅是可变输出速率，而且也是系统的内部状态，翰利用高阶微分提出了自抗扰控制器。
但是对控制器的闭环系统设有一个稳定性和收敛性的解决方法。
在文献6中，我们设计了高阶微分器独立于控制装置，取决于信号本身。
高阶微分器可以接近实际信号和提取n阶微分。
基于倒立摆的两种控制策略的研究
基于倒立摆的两种控制策略的研究作者：潘健王俊汤才刚来源：《现代电子技术》2008年第01期摘要：倒立摆系统被广泛应用于检验各种控制理论和控制策略的有效性中。
分析了两种简单而有效的控制策略：极点配置法和线性二次最优控制策略的LQR法，并通过Matlab仿真对单极倒立摆系统进行了控制效果的对比，从理论和仿真结果上讨论了这两种控制策略的优缺点。
关键词：倒立摆;极点配置法中图分类号：TP273 文献标识码：A文章编号：Study of the Two Control Strategies Based on the Inverted Pendulum(School of Electrical & Electronic Engineering,Hubei University ofTechnology,Wuhan,430068,China)Abstract：Inverted pendulums are widely used to verify some qualities and effect of certain control theory or method.The paper analyses the two single and effective control strategies:the pole-placement method and the optimization strategies of LQR method.We compare the control results of the single inverted pendulum system with the two control strategies by the Matlab experiment.The paper points out the advantage and disadvantage between the two different methods through theories and the results of the Matlab experiment.Keywords：inverted pendulum;pole-placement method;LQR;Matlab1 引言倒立摆系统是一种绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中理想的实验对象，他为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制新理论和新思想的发展。
倒立摆控制系统的设计
自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计学生姓名：指导教师：班级：二O一三课程设计指导教师评定成绩表：指导教师评定成绩：指导教师签名：年月日重庆大学本科学生课程设计任务书目录一、倒立摆控制系统概述倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。
通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉与的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。
在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。
在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。
倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。
倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制与人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。
倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。
一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
倒立摆控制系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以与控制平台（包括运动控制卡和机）三大部分组成。
本次课程设计利用单级倒立摆，主要设计机内控制函数，减小超调量和调节时间！二、数学模型的建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以与输出变量之间的数学关系。
【文献综述】倒立摆系统状态反馈控制器的设计
文献综述电气工程及其自动化倒立摆系统状态反馈控制器的设计前言倒立摆系统的控制是控制理论应用的一个典型范例。
其结构简单、成本较低，便于用模拟或数字的方法进行控制。
虽然其结构形式多种多样,但无论何种结构,就其本身而言,都是一个非最小相位、多变量、绝对不稳定的非线性系统。
由于倒立摆系统的绝对不稳定,必须采取有效的措施稳定它。
其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如控制火箭发射垂直度、控制机器人平衡行走和控制卫星飞行姿态等。
现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，这是因为倒立摆的控制过程能有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、随动问题以及跟踪问题。
二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点[3]。
对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。
倒立摆系统不仅具有结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且可以用与它有关的实验来研究控制理论中许多典型问题，这主要是因为它是一个典型的多变量系统。
许多理论都可以用在这样的非线性系统，这些理论有观测器理论、状态反馈理论和滤波理论等。
倒立摆实验模型对现代控制理论的教学来说，自然成为一个相当理想的实验模型，而且也可以作为数控技术应用的典型的对象。
另一方面对系统的研究也比较有实用价值。
日常生活中的一些控制问题和倒立摆控制都很相像，如我们所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，控制空间飞行器和各类伺服云台使之稳定的问题。
除此之外，我们可以利用倒立摆系统的不稳定、多变量、非线性等特性来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的变结构控制、无源性控制、自由行走、非线性观测器、摩擦补偿、非线性模型降阶等控制思想，并且不断从中发掘出新的控制理论和控制方法，相关的成果在航空航天和机器入学方面获得了广阔的应用[1]。
主题一、对倒立摆的控制，当前有几种控制方法来实现控制。
倒立摆系统的控制算法及仿真
倒立摆系统的控制算法及仿真1．1 倒立摆控制算法1．1．1 倒立摆控制算法概述单级倒立摆的稳定控制，实际上是一单输入多输出系统的稳定控制。
此时系统输入是电机控制电压u，输出是倒立摆竖直方向角度θ和旋臂位置ϕ。
对方程(2.5)进行变形即得θ与u 之间的输入输出方程,很明显,它是一个不稳定的二阶系统。
控制倒立摆使之稳定的方法很多,当前已有的倒立摆控制规律可总结为:(1)PID控制,通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是就可设计出PID控制器实现其控制；(2)状态反馈H∞控制，通过对倒立摆物理模型的分析,建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，于是就可应用H∞状态反馈和Kalman 滤波相结合的方法,实现对倒立摆的控制；(3)利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值,用语言值构成规则,形成一种定性的推理机制。
这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验,通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题；(4)神经网络控制，业已证明神经网络(NeuralNetwork ,NN) 能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制；(5)遗传算法( Genetic Algorithms , GA)，高晓智在Michine 的倒立摆控制Boxes 方案的基础上，利用GA 对每个BOX 中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题；(6)自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器；(7)模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制；(8)使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等，(9)采用GA 与NN 相结合的算法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的贵传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA 学习的NN 控制器兼有NN 的广泛映射能力和GA 快速收敛以及增强式学习等性能。
倒立摆控制方法
倒立摆控制方法倒立摆是一种经典的控制系统问题，它是指一个竖直放置的杆子上面安装了一个质量集中在一点上的小球，通过控制杆子底部的电机或者其他形式的能源输入来控制小球在杆子上面做周期性运动。
倒立摆广泛应用于机器人、汽车、飞行器等领域，其控制方法也是研究自适应控制、非线性控制等领域的重要课题。
本文将介绍倒立摆的基本模型和常见的控制方法。
一、倒立摆模型1.单自由度倒立摆模型单自由度倒立摆模型是指小球只能在竖直方向上运动，并且可以忽略小球与杆子之间的滑动摩擦力和空气阻力。
这种模型可以用如下图所示的简单结构来表示：其中，m为小球质量，l为杆长，g为重力加速度，θ为小球相对竖直方向偏离角度。
2.多自由度倒立摆模型多自由度倒立摆模型是指考虑了小球与杆子之间滑动摩擦力和空气阻力等因素，可以用如下图所示的结构来表示：其中，x为小球与竖直方向的位移，θ为小球相对竖直方向偏离角度，u为输入控制量。
二、常见的倒立摆控制方法1.线性控制方法线性控制方法是指利用线性系统理论来设计控制器，使得系统能够稳定运行。
常见的线性控制方法包括PID控制器、LQR控制器等。
（1）PID控制器PID控制器是一种经典的线性反馈控制器，其输出信号由比例、积分和微分三个部分组成。
对于单自由度倒立摆模型，其PID控制器可以表示为：其中，Kp、Ki和Kd分别表示比例、积分和微分增益系数。
（2）LQR控制器LQR（Linear Quadratic Regulator）是一种基于最优化理论的线性反馈控制方法。
对于单自由度倒立摆模型，其LQR控制器可以表示为：其中，Q和R分别为状态权重矩阵和输入权重矩阵。
2.非线性控制方法非线性控制方法是指利用非线性系统理论来设计控制器，使得系统能够稳定运行。
常见的非线性控制方法包括滑模控制、自适应控制等。
（1）滑模控制滑模控制是一种基于变结构控制理论的非线性反馈控制方法，其主要思想是通过引入一个滑动面来实现系统稳定。
对于单自由度倒立摆模型，其滑模控制器可以表示为：其中，s为滑动面，sgn为符号函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制(齐国元，陈增强，袁著祉)（１.天津科技大学自动化系,天津30０222;２．南开大学自动化系,天津３000７1)摘要：利用提取的系统高阶微分信息，提出了自适应高阶微分反馈控制器.某种程度上该控制器不依赖于单输入单输出(SISO）非线性仿射系统的模型．并且分析了闭环系统的稳定性和鲁棒性.通过将摆角方程的位移加速度看作是控制输入,将倒立摆系统转化成相互影响的两个SISO仿射系统,从而用两个串级高阶微分反馈控制器成功地实现了倒立摆系统的镇定与调节.数字仿真表明,控制器对摆的基准模型实现了较为满意的控制，而且该控制方法对非线性摩擦项，对摆长、摆质量、小车质量等参数变化以及外扰动具有强鲁棒性．关键词:倒立摆系统；高阶微分器；自适应高阶微分反馈控制器;不依赖模型控制器;鲁棒性１.引言作为一个典型的不稳定非线性装置,倒立摆系统的镇定和调节的问题在不同的控制设计技术中的演示和推动成为了一个基准的例子。
例如,基于郑和约翰提出摆动能量的非线性控制器的模型是使用L 小增益逼近和林提供了线性状态反馈控制器是摆平衡。
咔哇他你线性化了并列的两个倒立摆系统的非线性数字模型，然后通过使用状态反馈增益载体和全状态观测器设计了一个稳定性控制器。
姚首先通过模糊法来识别动态线性化模型，然后根据这个模型设计出极点分配控制器使系统稳定。
这些文献中涉及到的控制器取决于非线性基准模型或倒立摆的线性化模型。
一些设计的方法考虑到了鲁棒控制器的摩擦项。
但是不确定性低于基准模型。
实际上,基于标准控制器取决于控制装置的模型是现代控制理论的重要特征。
我们发现可测量的信息和它们的ｎ阶微分方程在放射系统中具有重要的意义。
微分不仅是可变输出速率,而且也是系统的内部状态，翰利用高阶微分提出了自抗扰控制器。
但是对控制器的闭环系统设有一个稳定性和收敛性的解决方法。
在文献6中，我们设计了高阶微分器独立于控制装置，取决于信号本身。
高阶微分器可以接近实际信号和提取ｎ阶微分。
高阶微分器的稳定性和收敛性是已经证明了的。
利用提取的微分信息,我们设计了自适应高阶微分反馈控制器,它不取决于系统的模型,但是取决于n阶微分。
理论分析方法表明自适应高阶微分反馈控制器使闭环系统获得稳定性和收敛性。
如果我们把加速度看作是摆角动态方程的控制输入,把小车加速度看作是小车的位移动态方程的控制对象,然后倒立摆系统转换成双非线性SISO放射系统。
因此，用两个高阶微分反馈控制器,我们能使倒立摆镇定和调节。
当摆角变成零度，小车的位移可以通过控制器达到目标位移。
因为某种程度上该控制器取决于倒立摆的模型，高阶微分反馈控制器的扰动及参数变化具有强鲁棒性。
仿真和展示了所提出理论的有效性。
而且,高阶微分反馈控制器不取决于位移和速度和角的速度。
但是取决于摆位和摆角。
因此控制器是可适应的。
本论文有以下几部分组成；第二部分是，根据高阶微分呈现了自适应高阶微分反馈控制器的ＳIＳＯ放射系统。
第三部分,把倒立摆系统转换成放射系统和用自适应高阶微分反馈控制器使倒立摆镇定和调节。
第四部分,通过数字演算证明倒立摆控制的有效性。
2．自适应高阶微分反馈控制器考虑扰动的ＳIＳＯ放射系统,自适应高阶微分反馈控制器的微分方程表示为:()(,)()n yf X t d t u =++∏(1）其中u是控制输入,y是可测量的输出，()i y表示ｙ的i阶,X =1,2,...,Tn X X X ⎡⎤⎣⎦=(1)(1)(),,...,Tn n y y y R -⎡⎤∈⎣⎦表示输出微分向量,也是系统的状态向量。
()f •是未知稳定非线性有界时变函数，ｄ(t ）是未知有界稳定扰动，起始条件00()X t X =给定的对象的轨线r y 出现阶n 微分,()n r y 是连续的。
如果r y 不满足这些条件，我们使改变r y 直到满足条件。
设置已知的微分输入向量(1)(1),,...,n nr r r r x y y y R -⎡⎤=∈⎣⎦，设置已知的广义微分输入向量,(1)()1,,...,,Tn n r r r r y y y r R +⎡⎤=∈⎣⎦，广义微分输出向量(1)()1,,...,Tn n Z y y y R+⎡⎤=∈⎣⎦，广义微分误差向量[](1)()1121,,...,,,...,TTn n n e r z e e e e e e R ++⎡⎤=-==⊂⎣⎦,其中r e y y =-。
一般输出量y 和给定的输入量r y 是已知的，但是广义微分输出向量z 和给定的广义微分输入向量r 是未知的。
在文献6中提出一种高阶微分,这高阶微分为任一个具有n 阶微分的可测量信号提取了ｎ阶微分。
设置ˆz=［ˆ,y (1)ˆ,y ()ˆ...,n y ]T 用来表达，广义微分向量(1)(),,...,Tn Z y y y ⎡⎤=⎣⎦的估计量。
（注()ˆi y 表示()i y 的估计量，而不表示ˆy 的i 阶）。
现在的高阶微分用组合表达式来表示。
将n 阶动态系统(2）和n+1阶代数方程表示（3）连起来:∑ˆi x =1ˆi x ++10ˆ(),11i a y xi n -≤≤- (２)0ˆn x=01ˆ()n a y x -ˆy =1ˆx , ()ˆi y=1ˆi x ++ia (y -1ˆx)，2,...,i n =（3)其中0n 是系统∑的阶数,通常，设01,n n ≥+1ˆ,x2ˆx ,…,ˆn x 是系统∑的状态,0(1,...,)i a i n =是参数。
问题是根据可测量的信号怎样能获得滤波信号,此外,怎样才能获得估计信号(1)ˆy，…,()ˆn y。
显然,高阶微分的稳定性相等于系统∑,对方程（2)拉氏变换,我们易获得从y 到1ˆx的转变函数。
0000000111111...()...n n n n n n n a s a s a s s a s a s a φ----+++=++++如果没有准确给出参数0(1,..,)i a i n =的话,通过高阶微分来提取的差距是不可能是理想的，甚至系统∑是不稳定的。
在文献【6】中,我们根据轨迹分析系统的参数设计思想。
参数通过下列方程给出:[]0001111000,(1),2,30,1,2,...,n n i i i n a KC a K n a n a i n ----==-∈=（4）注意高阶微分精简成了两个可调的参数0n 和ａ。
通过参数公式(4）我们对高阶微分有下列讨论。
(看文献6）： 1) 高阶微分不取决于估算系统∏的模型,它是基于信号()y t 的附加系统；2) 高阶微分是一个渐进性稳定性系统； 3) 高阶微分支持较高的收敛性满足()ˆlim ,0,...,i a yi n →∞= (5)其中(0)ˆy表示ˆy,a →∞在数学上精确地。
在实际中只取[]2,30a ∈，高阶微分有较高的精确度。
下面我们将学习基于n 阶微分的控制问题。
假设1输入量z 的广义微分向量和相对输入量ｒ的广义微分向量都已知,()n y是连续。
定理1未知模型的时变非线性系统(1)和未知扰动的时变非线性系统,高阶微分反馈控制器可表示为ˆu ke u=+ （６）其中[]11,,...,,1n n k k k k -=1(1)n R ⨯+∈,多项式11...n n n s k s k -+++是一个赫维茨多项式，ˆu是控制量u 的滤波值，它满足ˆu=ˆu u λλ-+ (７）其中λ是一个较大的正数,00ˆ0,0uu ==。
高阶微分反馈控制器使闭环系统渐近稳定，对参数系统的扰动的变化具有强鲁棒性,应付收敛性lim lim rt x x λ→∞→∞=(8)证明从方程（１)和e的定义中，我们有()()()()()()((,)())((,)())n n n n n n n r r r e y y y f x t d t u y y y f x t d t u =-=-++=-+-++此外,以下方式满足1223()()()((,)())n n n r e e e e e y y y f X t d t u ===-+-++（９）设1,2,...,Tnr n x x e e e R ε⎡⎤=-=∈⎣⎦121010001000001000100,,000010001000001n n nn n m nn n A R b R A R k k k k ⨯⨯--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=∈=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从方程（9)中,我们有()()()()()()(((,)()))(((,)()))(((,)()))n n n r n n m r n m A b y y y f X t d t u A b K y y f X t d t u A b Ke y f X t d t u εεεεε=+-+-++'=++--++=++-++(１0）其中[]1()11,,...,n n n k k k k R⨯-'=∈制定m A 是一个赫维茨矩阵,它意味着存在矩阵0Tp p=,对任意一个正定矩阵Q 满足Tm m PA A P Q +=-同样地，k 使11...n n n s k s k -+++成为了一个赫维茨多项式，在方程(10）中，使()((,)())0n ke y f X t d t u +-++=（11)我们有控制规律()((,)()n u ke y f X t d t =+-+(１2）因为求和项(,)()f X t d t +是未知的,控制规律不能够实现，从系统（1)中，我们有()((,)())n y f X t d t u-+=（13)但是u 是控制规律，它要求增值，因为它也不能够实现。
我们考虑到u 的滤波值ˆu 能够实现，因为从公式(7）中知滤波有延迟性，用ˆu代替ｕ，它意味着 ()ˆ((,)())n uy f X t d t ≈-+（14）把（14）代入（12)，我们获得控制器（６),再把（6)代入（1０）,我们对闭环系统有一个重要表达式ˆ())m A b u uεε=+-(15)下面我们证明闭环系统（１５)的稳定性,收敛性和鲁棒性。
方程（7)是一个滤波表达式。
滤波ˆu通过积分电路来实现,所以无论是否连续,滤波ˆu 是必定连续的。
它意味着只要是u 是可积的滤波ˆu 是连续性不取决于u 。
此外，假设1中()n y和()n r y 是连续的，由于in ，因此()i y 和()(0,...,1)i r y i n =-必定是连续的。
因此,我们获得的ｅ是连续的。
因此从(6）中我们得到的控制规律u 是一定连续的,再(7）,我们得到ˆuu s λλ=+（1６）从（１6）和u 的连续性，我们获得ˆlim uu λ→∞=（1７）因为m A 是一个赫维茨矩阵,闭环控制系统是渐近稳定，再从（５)和（17）中，我们获得lim lim 0t λε→∞→∞=（1８)因为我们用收敛性评论(８)。