复数的运算(一)

复数的运算法则在数学中，复数是由实数和虚数组成的，并且以a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。

复数的运算法则是用来描述复数之间的加法、减法、乘法和除法运算规则。

下面将详细介绍复数的运算法则。

一、复数的加法和减法法则复数的加法法则是将实部分和虚部分分别相加。

假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。

则两个复数的和为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。

复数的减法法则是将第二个复数的实部和虚部各自取相反数再相加。

假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。

则两个复数的差为：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。

二、复数的乘法法则复数的乘法法则是根据分配律展开计算，并根据虚数单位的性质i^2 = -1 简化计算。

假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中a1, b1, a2 和 b2 都是实数。

则两个复数的乘积为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。

三、复数的除法法则复数的除法法则是通过将被除数和除数都乘以共轭复数，然后利用乘法法则进行计算。

假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数，并且z2 ≠ 0。

则两个复数的商为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。

综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法法则。

这些法则可以帮助我们对复数进行精确计算，并在实际问题中应用。

了解和掌握这些运算法则对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。

复数的基本运算公式复数是由实数和虚数构成的数学概念，在高中数学中被广泛应用。

复数的运算是高中数学的重要内容之一，其基本运算公式包括加法、减法、乘法和除法。

本文将详细介绍这些基本运算公式，并给出相应的实例，以帮助读者更好地理解和掌握复数的基本运算。

一、复数的加法复数的加法是指将两个复数相加得到一个新的复数，其基本公式如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i其中，a、b、c、d均为实数，i为虚数单位，表示-1的平方根。

这个公式的实现方法相当简单，只需要将两个复数的实部（即a和c）相加，并将虚部（即b和d）相加即可。

例如，将复数（3+2i）和（4-5i）相加，运用上述公式，可以得到结果为（7-3i）。

二、复数的减法复数的减法与加法类似，只是将两个复数相减，其基本公式如下：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i同样，实现方法也很简单，只需要将两个复数的实部相减，并将虚部相减即可。

举个例子，将复数（6-5i）减去（3+2i），使用上述公式，可以得到结果为（3-7i）。

三、复数的乘法复数的乘法是将两个复数相乘得到一个新的复数，其基本公式如下：(a+bi)×(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i其中，a、b、c、d均为实数，i为虚数单位。

推导这个公式较为复杂，因此我们直接给出一个例子：将复数（2+3i）和（4-5i）相乘，运用上述公式，可以得到结果为（23-2i）。

四、复数的除法复数的除法是将一个复数除以另一个复数得到一个新的复数，其基本公式如下：(a+bi)÷(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i]÷(c²+d²)需要注意的是，作为除数的复数不能为0。

另外，需要将分子和分母同时乘以（c-di），再根据公式进行简化。

例如，将复数（1+2i）除以（3+4i），运用上述公式，可以得到结果为（11-2i）÷25。

【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。

接下来分享有关虚数的定义及运算公式，供参考。

我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。

当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

(1)加法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

(2)乘法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。

两个复数的积仍然是一个复数。

(3)除法运算
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

复数的运算法则（一）引言概述：
复数的运算法则是指在复数集合上进行加法和乘法操作时遵循的规则。

复数是由实部和虚部构成的数，加法和乘法操作可以用于复数的相加和相乘。

本文将介绍复数的运算法则，包括加法和乘法的定义以及其性质。

正文内容：
1. 加法的定义
a. 复数的加法是指将两个复数的实部和虚部分别相加。

b. 加法的结果是一个复数，其实部等于原复数的实部之和，虚部等于原复数的虚部之和。

2. 加法的性质
a. 加法满足交换律，即复数的加法操作不受顺序影响。

b. 加法满足结合律，即多个复数的加法操作可以按照任意顺序进行。

3. 乘法的定义
a. 复数的乘法是指先求两个复数的实部和虚部的乘积，再进行合并得到结果。

b. 乘法的结果是一个复数，其实部等于原复数的实部乘积减去虚部乘积，虚部等于原复数的实部乘积加上虚部乘积。

4. 乘法的性质
a. 乘法满足交换律，即复数的乘法操作不受顺序影响。

b. 乘法满足结合律，即多个复数的乘法操作可以按照任意顺序进行。

c. 乘法满足分配律，即复数的乘法可以与加法结合进行，满足分配律的性质。

5. 其他运算法则
a. 复数的减法是指将两个复数的实部和虚部分别相减。

b. 复数的除法是将两个复数进行乘法的逆运算，即除以另一个复数的倒数。

总结：
复数的运算法则包括加法和乘法的定义，以及它们满足的性质。

复数的加法满足交换律和结合律，乘法还满足分配律。

此外，复数的减法可以看作加法的逆运算，除法可以看作乘法的逆运算。

掌握复数的运算法则对于理解复数的加法和乘法操作至关重要。

复数的运算加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有：z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。

乘除法乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。

两个复数的积仍然是一个复数。

在极坐标下，复数可用模长r与幅角θ表示为(r,θ)。

对于复数a+bi,r=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)。

此时，复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。

除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。

所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。

除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c2+d2) y=(bc-ad)/(c2+d2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2) +((bc-ad)/(c2+d2))i②利用共轭复数将分母实数化得（见图1）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化。

复数的三角形式的运算(一)·教案示例目的要求1．掌握复数三角形式的乘法运算法则．2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用．内容分析1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系．2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和．上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数)其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)．3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下：在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示积z1z2．也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小．</PGN0236A.TXT/PGN>4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)．可以用数学归纳法说明：1°当n ＝2时，乘法公式成立．2°假设n ＝k(k ≥2)时，乘法公式成立，即r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ1)·…·rk(cos θk ＋isin θk)＝r1r2…rk[cos(θ1＋θ2＋…＋θk)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk)]则n ＝k ＋1时，有r1(cos θ1＋isin θ2)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rk(cos θk ＋isin θk)·rk+1(cos θk+1＋isin θk+1)＝r1r2…rk[cos(θ1＋θ2＋…＋θk)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk)]·rk+1(cos θk+1＋isin θk+1)＝r1r2…rk+1[cos(θ1＋θ2＋…＋θk+1)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk+1)]即复数的乘法公式也成立． 由1°、2°可知，复数乘法公式对一切不小于2的正整数都成立．相应地，此时积的辐角主值与各复数辐角主值的关系是arg(z1z2…zn)＝argz1＋argz2＋…＋argzn ＋2k π(k 取某一整数)其中整数k 使argz1＋argz2＋…＋argzn ＋2k π∈[0，2π)．5．本课时的重点是两个复数的乘法法则、复数乘法的几何意义，难点是乘法的几何意义及其应用． 教学过程1．复习引入(1)复数的三角形式、模、辐角．(2)复数代数形式的乘法法则．2．提出问题(1)三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？(2)三角形式表示的两个复数的乘法，是否有用r1、r2和θ1、θ2表示的简单公式？乘积的模与r1、r2有何关系？乘积的辐角与θ1、θ2有何关系？3．讲解新课(1)(学生计算得出)三角形式下两复数的乘法公式和乘法法则，解决前面提出的问题．(2)提出新的问题：法则中的“辐角”能否换成“辐角主值”？给出两个三角形式的复数，如何求积的辐角主值？(在学生讨论后加以解决)(3)讲解复数乘法的几何意义．(4)两个复数相乘的公式推广到有限个复数相乘，指出其证明方法，证明过程留给学生课后去完成．</PGN0237A.TXT/PGN>4．应用举例(1)补充例题：求arg(3＋i)＋arg(2＋i)的值．解法一：设α＝arg(3＋i)，β＝arg(2＋i)，则有tan tan 0α＝，β＝，α、β∈，π13122⎛⎝ ⎫⎭⎪∴α＋β＝αβαβ＝×＝tan()1tan tan tan tan +-+-1131211312∵0＜α＋β＜π∴α＋β＝π，即＋＋＋＝π．解法二：∵＋十＝＋＝π444arg(3i)arg(2i)arg[(3i)(2i)]arg(55i)又＋、＋∈，π∴＋＋＋＝π．arg(3i)arg(2i)0arg(3i)arg(2i)44⎛⎝ ⎫⎭⎪点评：解法二利用复数乘积的辐角(主值)与原来两个复数辐角(主值)的关系求解．这种方法用在三个以上复数的乘积中，效果则会更加明显．</PGN0237B.TXT/PGN>(2)讲评例2．指出与复数对应的向量旋转，即是两个复数的乘法问题，这是复数乘法几何意义的逆用．(3)讲评例3．这是复数乘法几何意义的具体应用．5．课堂练习教科书第217页练习第1题．补充练习：设复数z1＝1－2i 、z2＝1＋i 、z3＝1－3i 的辐角主值分别是α、β、γ，求α＋β＋γ的值．6．课堂小结(1)复数三角形式的乘法法则．(2)复数乘法的几何意义．布置作业教科书习题5．6第1、2、4(1)题．。

复数与复数的运算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。

实部是一个实数，虚部则包含一个实数与单位虚数i的乘积。

复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，下面将详细介绍复数与复数的各种运算。

一、复数加法与减法复数的加法和减法可以通过分别相加或相减实部和虚部来实现。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。

1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。

结果为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

例子：计算(2+3i)+(4+5i)的结果。

解答：将实部2和4相加，得到6；将虚部3i和5i相加，得到8i。

因此，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。

2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。

结果为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

例子：计算(5+6i)-(2+3i)的结果。

解答：将实部5和2相减，得到3；将虚部6i和3i相减，得到3i。

因此，(5+6i)-(2+3i)=3+3i。

二、复数乘法复数的乘法可以通过使用分配律和乘法公式来实现。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。

乘法法则为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

例子：计算(2+3i)×(4+5i)的结果。

解答：将实部2和4相乘，得到8；将虚部3i和5i相乘，得到-15。

同时，实部2和5i相乘，得到10i；将虚部3i和4相乘，得到12i。

因此，(2+3i)×(4+5i)=8-15+10i+12i= -7+22i。

三、复数除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行简化来实现。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数且c+di≠0。

除法公式为：(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/((c+di)×(c-di))。

例子：计算(5+6i)÷(2+3i)的结果。

复数的运算公式大全
1.加法法则
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

2、减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。

3、乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。

两个复数的积仍然是一个复数。

4、除法法则
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。

所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。

复数的概念及运算教学目标：掌握复数的有关概念；掌握复数的分类方法，通过复平面认识复数的几何表示，复数的减法是加法的逆运算，除法是乘法逆运算，掌握复数的加、减、乘、除、乘方运算，体会共轭复数与模的运算性质的证明过程并能应用解题。

教学重难点：掌握复数的有关概念，复数的加、减、乘、除、乘方运算，共轭复数与模的运算性质的证明过程。

教学过程：一、基础训练：1、复数22(252)(2)x x x x i ++++-为虚数，则实数x 满足__________．2、若复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，则b = _______． 3、已知集合22{1,2,(31)(56)}M m m m m i =--+--，集合{1,3}P =-，{3}M P = ，则实数m 的值为__________．4、数13z i =+，21z i =-，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于第__________象限5、2i -的共轭复数是_______．6、设3z i =+，则z 1等于_______． 二、典型例题：例1、已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，求当m 为何值时， ⑴ z ∈R ； ⑵ z 是虚数； ⑶ z 是纯虚数； ⑷ z =21+4i ．例2、⑴、已知z=1＋i ，122+-++z z b az z =1－i ，求实数a 、b 的值．⑵、已知x y R ∈，，复数12()z x x y i =--，22(41)z y x i =++，当122(1)z i z i -=-+时， ①、求12||z z ⋅； ②、求()z z 125-的值．⑶、设复数32z =的模||z =23，求实数m 的值例3、(1)复数z 满足,1=z 且()z i ⋅+43是纯虚数，求z(2)求2011321ii i i ++++的值 （3）已知bi ia -=+11其中b a ,是实数。