复数及其运算

z1 z2
z1 z2
;
(5)zz;
(6 )zz R e (z )2 I m (z )2 |z|2 ;
恒为正整数或0,它的非负平方根称为z的模或绝对值
11
例 1 设 z13i , 求 R z )e I,m ( z )与 z( z. i 1i
解 z1 3i i 3i(1i) 3 1 i, i 1i ii (1i)1 (i) 2 2
18
19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) •17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 •18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉）
流 体 力 学u (x ,y )+ iv (x ,y )
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的点集 §1-3 复变函数及其极限和连续 §1-4 复球面与无穷远点
6
§1-1 复数及其运算
主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定 义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用
7
一 复数的概念及表示法
i2 1
定 义 ： 形 如 z x y i 或 z x i y 的 数 称 为 复 数 .
则z 1 z 2 x 1 x 2 且 y 1 y 2
8
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z的共轭复数记z. 为
即 z ： x i,y 则 若 z x i.y
x Rez zz , y Imz zz
2
2i
9
复数系关于加法,乘法,除法是自封闭的

复数公式及运算法则
复数公式：复数是由实部和虚部组成的数。

复数通常写成a + bi 的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i² = -1。

复数的运算法则：
1.复数的加法和减法：将实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减。

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
2.复数的乘法：使用分配律将两个复数相乘。

(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
因为i²=-1，所以可以将上式简化为：
(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
3.复数的除法：用分子分母都乘以分母的共轭复数（实部保持不变，虚部取负数），然后将分母变为实数。

(a + bi) / (c + di) = (a + bi) * (c - di) / (c² + d²)
因为乘法和除法都需要分别计算实部和虚部，所以计算复数的乘
法和除法时需要注意分配律和运用恒等式。

拓展：复数在物理学、工程学、数学等多个领域都有广泛应用，
如在电路分析、信号处理、量子力学等方面。

由于虚部可以表示位移、相位差等概念，复数可以用来表示波形、振动、旋转等物理量。

同时，复数的数学理论也非常丰富，包括复数拓扑学、复变函数论等多个分支。

高中数学中的复数及其运算规则在高中数学中，复数是一个重要的概念，它不仅可以用来解决实数范围内无解的方程，还可以应用于许多实际问题中。

本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些常见的应用。

一、复数的定义复数是由实数和虚数部分组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

实数部分 a 是复数的实部，虚数部分 b 是复数的虚部。

二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的和为 z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i，差为 z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。

2. 复数的乘法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的乘积为 z1*z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

3. 复数的除法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的商为 z1/z2 =(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2) + ((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。

4. 复数的共轭复数 z = a+bi 的共轭复数记作 z* = a-bi。

共轭复数的实部与原复数相同，虚部的符号相反。

5. 复数的模复数 z = a+bi 的模记作 |z|，定义为|z| = √(a^2+b^2)。

复数的模表示复数到原点的距离。

6. 复数的幂运算设有一个复数 z = a+bi 和一个正整数 n，则 z 的 n 次幂定义为 z^n = (a+bi)^n = r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中 r = |z|，θ 是 z 的辐角。

三、复数的应用1. 解方程复数可以用来解决实数范围内无解的方程，如 x^2+1=0。

设 x = a+bi 是方程的解，则代入方程得到 (a+bi)^2+1=0，展开后得到 a^2-b^2+2abi+1=0，由此可得到两个方程 a^2-b^2+1=0 和 2ab=0。

的虚部减虚部减去它的得的差是 3， 求复数ω. 2 3 + 3i 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的概念及其运算法则复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分构成。

在本文中，我们将介绍复数的概念、表示方法以及复数的运算法则。

一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。

虚数单位 i 是定义为√-1，虚数部分b 可以是任意实数。

复数的实部和虚部分别表示为 Re(z) 和 Im(z)，其中 z 是一个复数。

如果复数 z=a+bi 中实数部分 a=0，则该复数被称为纯虚数；如果虚数部分 b=0，则该复数被称为实数。

复数的模表示为 |z|，即复数 z 的绝对值。

复数的表示方法有多种形式，常见的包括代数形式、三角形式和指数形式。

代数形式即复数的标准表示形式 a+bi；三角形式通过模和幅角来表示复数，形如|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ 是复数的辐角；指数形式则是使用指数函数表示复数，形如|z|e^(iθ)。

二、复数的运算法则1. 复数的加法与减法复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算。

设z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的加法和减法如下：- 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i- 减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i2. 复数的乘法复数的乘法可以通过实部和虚部进行计算。

设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的乘法运算如下：z1*z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的形式来实现。

设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，z2 ≠ 0，则它们的除法运算如下：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i需要注意的是，对于复数的运算，虚数单位 i 具有如下性质：- i^2=-1- i^3=-i- i^4=1这些性质在复数运算过程中应用广泛。

复数概念及其运算复数是数学中一个非常重要的概念，起源于希腊数学。

在实数范围中，我们可以解决绝大多数方程和不等式问题，但在某些情况下，我们需要引入复数来进行运算。

本文将讨论复数的概念及其运算规则。

一、复数的概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。

虚数定义为包含负数的平方根的数。

通常情况下，复数用字母"z"表示。

一个复数可以表示为：z = a + bi其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，且满足i²= -1。

例如，一个典型的复数可以是：z = 3 + 4i。

在这个例子中，实数部分为3，虚数部分为4。

二、复数的运算规则1. 加法：复数的加法规则遵循实数和虚数分别相加的原则。

设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。

它们的和为：z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。

它们的和为：z₁ + z₂ = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i2. 减法：复数的减法规则与加法类似，实数部分和虚数部分分别相减。

设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。

它们的差为：z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。

它们的差为：z₁ - z₂ = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i3. 乘法：复数的乘法规则通过展开公式进行计算。

设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。

它们的积为：z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。

它们的积为：z₁ * z₂ = (3 * 2 - 4 * 5) + (3 * 5 + 4 * 2)i = -14 + 23i4. 除法：复数的除法规则通过乘以共轭复数并进行简化计算。

z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)

z2 0
z1 z2
z1
1 z2
| z1 | ei1
1 ei2 | z2 |
| z1 | ei(12 )
| z2 |
z1 | z1 | z2 | z2 |
任何两个复数商的模 等于它们模的商
Arg
(
z1 z2
)
1
2
Arg
( z1
)
Arg
(z2
)
任何两个复数商的辐角 等于它们辐角的差
16
(7)乘方 设 z | z | ei
23
18页11(2)试证 a bi, 1 , 1,1 四点共圆周 b 0 a bi
证明 在虚轴上取一点 ci, 则 ci, 1 的距离为 1 c2 , ci, 1 的距离为 1 c2
若 a bi,ci 的距离为 1 c2 则 a2 (b c)2 1 c2
3 )i, 2
z3
3
i
或 z3 z1 (z2 z1 ) e 3 1
3
z1
z3
z3 2 2i 第三个顶点为 z3
1 2
(2
3 )i, 2
x
或 z3 2 2i
12
(5)倒数
设 z x iy
1 z
z x iy z z x2 y2
x
iyபைடு நூலகம்
x2 y2 x2 y2
y
1 e i
整个平面 称为复平面 或z 平面
任何一个复数 z x iy 一一对应一个向量 OP
y
可以用向量 OP 来表示
向量的长度 称为z 的模 或绝对值
记为
y
P(x, y)
| z| r x2 y2
向量 O例Pz如为 终0 边时边| 1的,以角正i 的| 实弧轴度2为数始

复数的8种运算规则专题讲解1. 加法运算规则：复数的加法规则是将实部相加，虚部相加。

例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。

2. 减法运算规则：复数的减法规则是将实部相减，虚部相减。

例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。

3. 乘法运算规则：复数的乘法规则是将实部与虚部相乘，并通过虚部的平方成为负数来计算。

例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 除法运算规则：复数的除法规则是通过将被除数和除数同时乘以共轭复数的倒数来计算。

共轭复数是指将虚部取负的复数。

例如，对于两个复数a+bi和c+di的除法计算，可以使用公式[(a+bi)/(c+di)]*[(c-di)/(c-di)]来得到结果。

5. 模运算规则：复数的模运算规则是计算复数的绝对值，即复数的平方和的平方根。

例如，对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)。

6. 幂运算规则：复数的幂运算规则是通过将复数转换为极坐标形式，并使用欧拉公式计算。

欧拉公式可以表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ。

例如，对于复数a+bi的幂运算a^b，可以使用欧拉公式来计算。

7. 开方运算规则：复数的开方运算规则是将复数转换为极坐标形式，并使用特定的公式来计算。

例如，对于复数a+bi的开方运算，可以使用公式√(r*[cos(θ/n)+isin(θ/n)])来计算。

8. 对数运算规则：复数的对数运算规则是将复数转换为极坐标形式，并使用特定的公式来计算。

例如，对于复数a+bi的对数运算，可以使用公式ln(r)+i[θ+(2nπ)]来计算。

这些是复数的8种基本运算规则，了解和掌握这些规则将有助于在复数运算中进行准确的计算操作。

复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .

复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。

一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。

例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。

例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。

例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。

例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。

1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。

例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。

例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。

该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。

4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。

复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。

综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。

在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。

复数及其运算1． 复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位．两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x += ，特别地，000i += ，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为()x iy x iy +=- 或 x iy x iy -=+设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则复数四则运算规定：121212()()z z x x i y y ±=±±±1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++1121221122222222222(0)z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++ 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的． ２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系． 由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1 中可以知道，复数z x iy =+与从原点到点z 所引的向量oz 也构成一一对应关系（复数O 对应零向量）．从而，我们能够借助于点z 的极坐标r 和θ来确定点z x iy =+，向量oz 的长度称为复数z 的模，记为图1.10r z ==≥显然，对于任意复数z x iy =+均有x z ≤，y z ≤，z x y ≤+ (1.1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212z z z z +≤+ (1.2)（三角形两边之和≥第三边，图1.2）1212z z z z -≤- (1.3)（三角形两边之差≤第三边，图1.3）(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z ，2z 分别与12z z +及12z z -所表示的三个向量共线且同向．向量oz 与实轴正向间的夹角θ满足y xθ=tan 称为复数z 的幅角()Argument ，记为Argz θ= 由于任一非零复数z 均有无穷多个幅角，若以Argz 表示其中的一个特定值，并称满足条件A r g z ππ-<≤ (1.4)的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有arg 2Argz z k θπ==+(0,1,2,)k =±± (1.5) 注意：当0z =时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z ，即有(cos sin )z r i θθ=+ (1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler 公式：cos sin i e i θθθ=+ (1.7)则(1.6)可化为i z re θ= (1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222i i i i i i z z re r r r e z re r e z r r θθθθθθθθ+-⎫==⎪⎬==⎪⎭(1.9) 因此 1212z z z z =，1122z z z z = 2(0)z ≠ (1.10) 12121122()Argz z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+⎫⎪⎬=-⎪⎭(1.11) 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z ，2z 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当21z =时可得 12()12i z z re θθ+=此即说明单位复数()21z =乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2π的整数倍，即有 12121122()2()2Arg z z argz argz k z Arg argz argz k z ππ=++⎫⎪⎬=-+⎪⎭(1.12) 公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12n z z z === 时，有()(cos sin )n i n n in n z re r e r i θθθθ===+当1r =时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre 公式：(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+ (1.13)4.复数的n 次方根给定复数Z ，方程Z n=ω的根称为Z 的你、次方根，记为n Z ，可以推得： 1,,2,1,0)2sin 2(cos 1-=+++==n k nk i n k r Z nn k 其中πθπθω 几何意义：n Z 的n 个值是以原点为中心，nr 1为半径的圆的内接正n 边形的n 个顶点。

第四节复数的概念及其运算复习目标学法指导1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 理解复数的有关概念是基础,解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化,因此要用类比的思想学习复数的运算问题.一、复数的有关概念1.复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位).2.复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)()()()()=0=0baba⎧⎪⎪⎧⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).5.复数的模向量OZ u u u r的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22a b+(r≥0,r,a,b∈R).二、复数的几何意义1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数的几何表示复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ u u u r.三、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:12z z =i i a b c d ++=()()()()i i i i a b c d c d c d +-+-=22ac bd c d +++ 22bc adc d-+i(c+di ≠0). 2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 四、与复数运算有关的结论 1.(1±i)2=±2i.2.1i 1i +-=i,1i 1i-+=-i. 3.(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2. 4.(a ±bi)2=a 2-b 2±2abi. 5.i i a b +=b-ai.概念理解(1)复数的代数形式z=a+bi(a,b ∈R),虚部是b 而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b ≠0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等. (4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等. (5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi 的点Z 的坐标为(a,b),而不是(a,bi). 五、复数的模 1.复数的模的相关结论设z 1,z 2是任意两个复数, (1)|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|,|12z z |=12z z (|z 2|≠0).(2)|1n z |=|z 1|n (n ∈N *).(3)||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线;②当||z 1|-|z 2||=|z 1+z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|-|z 2||≤|z 1-z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线;②||z 1|-|z 2||=|z 1-z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线. 2.复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的 距离.(2)若复数z=a+bi,z 0=a 0+b 0i,则|z-z 0|表示复平面内两点(a,b)与(a 0,b 0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.六、与复数概念有关的结论1.实数集R 与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即R ∪{虚数}=C,R ∩{虚数}= .2.z=a+bi=0⇔a=b=0.3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.4.i 2=-1.5.i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0.6.共轭复数的性质设z=a+bi,z=a-bi(a,b∈R),则(1)z+z=2a,z-z=2bi;(2)z=z;(3)|z|=|z|=22+,z·z=a2+b2=|z|2=|z|2;a b(4)z∈R⇔z=z;(5)z与z在复平面内所对应的点关于实轴对称.1.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则z等于( D )(A)1+2i (B)-1+2i(C)1-2i (D)-1-2i解析:z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i,故选D.2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为( C )(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)±2或0解析:21a+41+,则a=±2.故选C.3.(2018·杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为( B )(A)2-2i (B)2+2i(C)-2+2i (D)-2-2i解析:方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可化为x2+4x+4+i(x+a)=0,由复数相等的意义得2440,0,x x x a ⎧++=⎨+=⎩解得x=-2,a=2,方程x 2+(4+i)x+4+ai=0(a ∈R)有实根b,故b=-2, 所以复数z=2-2i,所以复数z 的共轭复数为2+2i. 故选B.4.(2019·杭州市第二学期高三教学质量检测)已知复数z=1+i(i 是虚数单位),则211z z -+等于( A )(A)i (B)-i (C)1+i(D)1-i解析:211z z -+= 12i 2i -++=(12i)(2i)5-+-=5i5=i.故选A.考点一 复数的概念及分类 [例1] 复数z=(m 2+m-6)i+27123mm m -++为纯虚数,则实数m 的值为( )(A)2 (B)-3 (C)4 (D)3或4解析:由227120,30,60,m m m m m ⎧-+=⎪+≠⎨⎪+-≠⎩得m=3或m=4.故选D.处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题转化为实数问题来解决.1.若复数m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则实数m 的值为( C ) (A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 解析:因为m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则()220,320,m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩解得m=0.故选C. 2.复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( C )(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:因为z=(3-2i)i=2+3i, 所以z =2-3i.故选C. 考点二 复数的几何意义[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z=-3+2i,则在复平面内z 对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若复数z 满足z=()2i2i -- (i 是虚数单位),则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )(A)(425,325) (B)(-425,325) (C)(425,-325) (D)(-425,-325)解析:(1)由z=-3+2i,得z =-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故 选C. 解析: (2)z=()2i2i --=i 44i 1+-=i 34i +=()i 34i 25-=425+325i, 所以在复平面内,z 对应的点的坐标是(425,325).故选A.判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b ∈R)的形式,其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限及坐标.1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB 的中点C 对应的复数为( D )(A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B 的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB 的中点C 的坐标为(2,-1),所以线段AB 的中点C 对应的复数为2-i,故选D.2.(2019·宁波高三上期末考试题)设i 为虚数单位,给定复数z=2(1i)1i-+,则z 的虚部为 ,模为 .解析:z=2(1i)1i-+=2i 1i -+=2i(1i)2--=-1-i, 故z 的虚部为-1,模为2.答案:-123.若复数z 满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5表示以(0,3)为圆心,以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为5+13,最小值为5-13.考点三 复数代数形式的运算[例3] (1)i 是虚数单位,复数7i34i ++等于( )(A)1-i (B)-1+i(C)1725+3125i (D)-177+257i (2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( )(A)-4 (B)-45 (C)4 (D)45解析:(1)复数7i 34i ++=()()()()7i 34i 34i 34i +-+-=2525i 25-=1-i.故选A.解析:(2)z=43i 34i +-=534i- =()()()534i 34i 34i +-+=()534i 25++=35+45i,所以复数z 的虚部是45,故选D.(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i 的幂化成最简形式.(2)将所求复数z 分离出来,利用复数运算法则求解.1.已知z=1i 1i+-,其中i 是虚数单位,则z+z 2+z 3+…+z 2 017的值为( C ) (A)1+i (B)1-i (C)i (D)-i解析:由于z=1i 1i+-=i, 所以z+z 2+z 3+…+z 2 017=504(i+i 2+i 3+i 4)+i=i, 故选C.2.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,z 1·z 2是实数,求z 2.解:由(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 因为z 1·z 2是实数,所以a=4⇒z 2=4+2i.。

.
25
(2) zsinicos
55 显r然 z1,
sin5cos25
cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
故
zco3sisin 3
3 i
e10 .
10 10
26
乘幂与方根
设复z1数 和z2的三角形式分别为
z 1 r 1 (c1 o issi1 ） n , z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
其中 x,y为实数，z分 的别 实称 部,为 和虚
记 x 作 R z )e ,y (Im z ). ( 当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数
当y0时 , zx0i,我们把它x看 . 作 复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部
分别相等（求解复方程的基础）
z1 x1 y1i，z2x2y2i
24
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z si n ico ; s 55
解 (1) rz1 244, 因z在第三象, 限
arcta2 1 n2 πarcta3n3
5 6
,
故
z4 co s 6 5 isi n6 5
5i
4e 6
所 z 1 z 以 2 c o 3 s6 is i n 3 6 i,
z1c o s isi n 3 1 i.
z2 36 36 2 2
32
z1z2 z1 z2
a rg (z 1 z 2 ) a rg (z 1 ) a rg (z2 )
使用复数的语言， 任何平面几何问题 都能以清晰的面貌 重新呈现。
z 1 z 2 r 1 (1 c i s o 1 ) i r 2 ( n s 2 c i s o 2 ) in s r1r2[(c 1c oo s 2 ssi1 n si2 n ) i(s1 icno 2 sco 1ssi2 n )]

z x iy
x
o
z x iy
实部
虚部
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0 时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 即 设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算
一、复数的概念及其表示
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
为了解方程的需要 , 引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
(2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算 .
(3)虚数单位的特性:
复数z x iy也可用复平面上的向量 OP 表示
向量具有两个重要的属 性：长度、方向 .
（ⅰ）复数的模
y
记为 z r x2 y2 .
y
Pz x iy
注意:复数不能比较大小？
r
o x
x
但复数的模可以比较大小.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ).
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 3）两复数的商: 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2

复数的四则运算•复数的运算：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。

4、复数的除法运算规则：。

复数加法的几何意义：设为邻边画平行四边形就是复数对应的向量。

复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设，则这两个复数的差对应，这就是复数减法的几何意义。

共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。

•复数的运算律：1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。

3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3•共轭复数的性质：我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z 为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数的定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方)，为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d))：z1 + z2=(a+c,b+d)z1 ×z2=(ac-bd,bc+ad)容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) ×(b,0)令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。

二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。

三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。

f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。

g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。

2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。

四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。

五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。