2018年秋季新版新人教版七年级数学上学期4.3、角拓展素材

七年级上册数学第四章4.3角(人教版)3 角．3.1 角．理解角的两种定义，识别角的符号．．知道角的几种表示方法，并能够正确表示．．掌握角的度量单位及度、分、秒的进位制，能够熟练的进行转换．阅读教材P132，知道角的定义、角的表示方法．什么是周角、平角？知识探究．角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角也可以看作一条射线绕端点旋转而形成的图形．．如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角．继续旋转，当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角．．角的表示方法：角用“∠”表示，读做“角”．用三个大写字母表示；用表示角的顶点的字母表示；用一个数字或一个希腊字母表示．自学反馈．如图，下列表示角的方法错误的为A．∠AoBB．∠Bocc．∠αD．∠o．你能用不同的方法表示图中的各个角吗？阅读教材P133，理解角的度量单位和换算．知识探究度、分、秒是角的基本度量单位．°的角等分成60份就是1′的角；′的角等分成60份就是1″的角．角度制：1°＝60′，1′＝°.′＝60″，1″＝′.°＝3__600″.度、分、秒是60进制的．自学反馈．用度、分、秒表示：0.75°＝45′＝2__700″；°＝16′＝960″；24°＝16°14′24″．．用度表示：00″＝30′＝0.5°；°．50.675″＝30′40°0活动1 小组讨论例1 如图，图中的∠1表示成∠A，图中的∠2表示成∠D，图中的∠3表示成∠c，这样的表示方法对不对，如果错了，应该怎样改正？解：不正确，∠1表示成∠DAc，∠2表示成∠ADc，∠3表示成∠EcF.例2 38.15°与38°15′相等吗？如不相等，哪个大？解：38°15′大．例3 想一想：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多少度？解：67.5°.活动2 跟踪训练教材P134练习第1、2、3题．活动3 课堂小结角角的概念角的表示方法角的度量与换算3.2 角的比较与运算．会用量角器度量角，并会比较两个角的大小．．会根据图形判断角的和差倍分．．记住角平分线的定义．阅读教材P134～136，理解角的比较方法及角的定义和性质，会进行角度的加减运算．知识探究．比较两个角的大小，我们可以用量出，然后比较它们的大小，也可以把它们在一起比较它们的大小，这两种方法分别叫和．．角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．自学反馈．如图，用心填一填：∠Aoc＝∠AoB＋∠Boc，∠BoD＝∠coD＋∠Boc，∠Aoc＝∠AoD－∠coD，∠BoD＝∠AoD－∠AoB．．细心想一想，看谁做得最快．如图1，若oB是∠Aoc的平分线，则∠Aoc＝2∠AoB＝2∠Boc，∠AoB＝∠Boc＝12∠Aoc；图1图2如图2，若oB是∠Aoc的平分线，oc是∠BoD的平分线，你能从中找出哪些相等的角？解：∠AoB＝∠Boc＝∠coD，∠Aoc＝∠BoD.活动1 小组讨论的平分线，Boc是∠oE的平分线，AoB是∠oD如图，例且∠Aoc＝130°，求∠DoE的度数．如果改变∠Aoc的大小，其他条件不变，请你探究∠DoE的大小变化，从中得到的启示．解：∠DoE＝65°，∠DoE＝∠Aoc.活动2 跟踪训练如图，点A、o、B在一条直线上，∠Aoc＝80°，∠coE＝50°，oD是∠Aoc的平分线．试比较∠DoE与∠AoE，∠Aoc与∠Boc的大小；求∠DoE的度数；oE是∠Boc的平分线吗？为什么？解：∠DoE＜∠AoE，∠Aoc＜∠Boc.0°.是，因为∠coE＝∠BoE＝50°.活动3 课堂小结角的大小比较和运算角的大小比较度量法叠合法角的运算角平分线3.3 余角和补角．了解两个角互余或互补的意义．．掌握同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．．理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题．阅读教材P137～138，知道什么是补角和余角，以及它们的性质．知识探究．一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1与∠2互为余角．．一般地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补角．．性质：等角的余角相等，等角的补角相等．自学反馈．判断题：0度的角叫余角，180度的角叫补角．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．互补的两个角不可能相等．钝角没有余角，但一定有补角．互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余．如果∠A＝25°，∠B＝75°，那么∠A与∠B互为余角．如果∠A＝x°，∠B＝°，那么∠A与∠B互余．．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．解：45°.小组讨论1 活动例1 如图，点o在直线AB上，oD平分∠coA，oE平分∠coB.∠coB＋∠Aoc＝180°，∠EoD＝90°；图中互余的角有4对，互补的角有5对．例2 如图1，货轮o在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上．同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮c和海岛D.仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示客轮B、货轮c和海岛D方向的射线．画法：以点o为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边oB落在东与北之间．射线oB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向．请你在图2上画出表示货轮c和海岛D方向的射线．解：略．活动2 跟踪训练．如图，点A、o、B在同一直线上，oD平分∠AoB，∠coE ＝90°.回答下列问题：写出图中所有的直角∠AoD，∠BoD，∠Eoc；写出图中与∠AoE相等的角∠3；写出图中∠AoE所有的余角∠2，∠4；写出图中∠coD的补角∠EoB；写出图中∠DoE的补角∠Aoc．．用方位角描述下列方向．解：略．活动3 课堂小结．余角、补角的概念：和为90°的两个角互为余角；和为180°的两个角互为补角．．余角、补角的性质：等角的余角相等；等角的补角相等．。

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

余角和补角1、揭开数字预测的秘密说起对数字的迷信，很多同学一定有些不以为然，甚至嗤之以鼻，都什么年代了，还说迷信数字，这明摆着骗人的玩意儿早就失去了生存的“土壤”和“气候”！话虽说得不错，可你知道对数字的迷信曾风行到什么程度？回顾一下与它有关的历史片段，大家对痴迷和笃信的负面效应就会有进一步的理解和感悟．那还是在革命前的俄国，尽管迷信数字是没有任何根据，可人们已不知不觉身陷其中，人们对数字的迷信程度可从屠格涅夫的一篇小说中略见一斑，小说中的主人公根据数字上的偶合而自认为不被拿破仑所承认，于是郁闷消沉，最后选择了自杀了结一生．世界上巧合的事情太多，它根本不能成为主宰自己命运的根据．第一次世界大战初期，用数字占卜广为流传，当时甚至有人指望着借助这种占卜来预见战争的结局.1916年，瑞士某报就曾用数字作了有关德国和奥匈帝国皇帝命运的下述报导：因为两个和数都一样，而且每一个又都是当年年份(1916年)的2倍，该报由此得出结论，这一年对两位皇帝都是致命的一年，是预兆着灭亡的一年．只要动脑筋想一想，把各行计算变换一下位置马上真相大白.试着把各行改成下列顺序：出生年、年龄、登皇位年、统治年数，把一个人的出生年加上年龄，应该得到哪一年？当然应得到进行计算的那一年即1916年，同样，如果把登皇位年加上在位统治年数，同样得到的也是该年的年份即1916年.很显然，不论是关于哪位皇帝的这四个数目相加都会有同样的结果(得到该年份的两倍数字)．它给我们的启示是：一定要用科学的知识武装自己，遇事冷静地思考、判断、不盲从．2、打铁罐比赛集市上的"办得到"货推上摆着九个铁罐，每个上面都标有一个数字。

三个、三个地垒在一起(见下图):比赛者每人只许打三枪，每枪只许打落一个铁罐，如果一抢打掉了两个或两个以上的铁罐，就算失败了。

比赛者打掉第一只铁罐后，这个被打掉的铁罐上的数字就是他所得的分数;打掉第二个铁罐，他得到的分数是被打掉的第二只铁罐上的数字的2倍;第三个铁罐被打掉后，他所得分数是这个罐上的数字的3倍。