黑龙江省大庆实验中学2014届高考最后一次冲刺模拟考试数学试题 文

2014年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若全集U={-1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁U P=（）A.{2}B.{0，2}C.{-1，2}D.{-1，0，2}【答案】A【解析】解：∵x2＜2∴-＜x＜∴P={x∈Z|x2＜2}={x|-＜x＜，x∈Z|}={-1，0，1}，又∵全集U={-1，0，1，2}，∴∁U P={2}故选：A．先解出集合P，然后根据补集的定义得出答案．此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A.对任意x∈R，都有x2＜0B.不存在x∈R，都有x2＜0C.存在x0∈R，使得x02≥0D.存在x0∈R，使得x02＜0【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3.某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元），与该周每天销售这种服装件数x 具有线性相关关系，其回归直线方程为=4.75x+51.36，则下列结论中不正确的是（）A.y与x具有正相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该周每天销售这种服装件数x增加1件，则获利约增加4.75元D.若每周每天销售这种服装10件，则可断定获利必为98.86元【答案】D【解析】解：对于A，4.75＞0，y与x具有正相关关系，正确；回归直线过样本点的中心（，），正确；若该周每天销售这种服装件数x增加1件，则获利约增加4.75元，正确；若每周每天销售这种服装10件，则可预测获利必为98.86元，故不正确．故选：D．根据回归直线方程为=4.75x+51.36，可知A，B，C正确；利用回归直线方程，可以进行预测．本题考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4.函数f（x）=lnx2（）A.是偶函数且在（-∞，0）上单调递增B.是偶函数且在（0，+∞）上单调递增C.是奇函数且在（0，+∞）上单调递减D.是奇函数且在（-∞，0）上单调递减【答案】B【解析】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∵f（-x）=ln（-x）2=ln x2=f（x），∴f（x）为偶函数，∵当x＞0时，f（x）=ln x2=2ln x，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且在（-∞，0）上单调递减，故选B．先求出函数的定义域，并判断出是否关于原点对称，求出f（-x）根据函数奇偶性的定义判断，再由x的范围对解析式化简后，由对数函数的单调性和函数奇偶性的性质，判断出此函数的单调性，选出答案即可．本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，本题的关键熟练掌握定义和对数函数的单调性．5.已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得：Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}表示的区域是图中的三角形AOB，易得区域的面积S△AOB=18，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}表示的区域为图中的阴影部分，区域的面积S阴影=4，所以点P落入区域A的概率为．故选A．根据线性规划的知识画出Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}与A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}表示的区域，利用面积之比求出答案即可．解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的公式，并且正确的画出两个集合表示的区域．6.已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确的命题个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】解：①若m∥n，n⊂α，则m∥α，此命题不正确，在题设条件下，m⊂α是符合的；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n，此结论在平面中成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线位置关系可能是相交，平行，异面，故不成立；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β，不正确，当α∥β时，“m⊥n，m∥α，n∥β“是存在的；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β不正确，垂直于同一平面的两个平面可以相交．综上，有0个命题正确，故选A．以空间中点，线，面的位置关系对四个命题进行判断即可得出正确命题的个数本题以立体几何中线面位置关系为题面考查了命题真假的判断，熟练掌握空间中点线面的位置关系是解答的关键7.将函数y=sinx+cosx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数y=sinx+cosx=cos（x-），图象向左平移m个单位可得y=cos（x+m-），根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值，即cos（x+m-）=±1，解得，m-=kπ，∴m=kπ+，k∈Z，∵m＞0，∴k=0时，m的最小值为．故选：B．用两角和与差的三角函数化简函数y=cos（x-），通过图象的平移，得到函数的表达式，由函数图象关于y轴对称，函数在y轴处取得函数的最值，求解即可本题将三角函数图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，求m的最小值．着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识，属于基础题．8.阅读如图程序框图，输出的结果s的值为（）A.0B.C.D.-【答案】B【解析】解：由框图的流程知：算法的功能是求S=sin+sin+…+sin的值，∵不满足条件n≤2014的最小的正整数n为2015，∴输出S=sin+sin+…+sin，由sin+sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin-sin -sin-sin=0，∴输出S=sin+sin+sinπ+sin=sin=．故选：B．算法的功能是求S=sin+sin+…+sin的值，根据判断框的条件确定跳出循环的最小的正整数n值，再利用正弦函数的周期性求输出S的值．本题考查了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期，判断算法的功能是关键．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.92+14πB.92+24πC.80+10πD.80+20π【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体是半圆柱与长方体的组合体，长方体的长、宽、高分别为5、4、4；半圆柱的高为5，底面半径为2，∴几何体的体积V=×π×22×5+5×4×4=80+10π．故选：C．几何体是半圆柱与长方体的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高及半圆柱的高和底面半径，代入半圆柱与长方体的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．10.已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==．故选：B．根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率．本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．11.在△ABC中，•=7，|-|=6，则△ABC面积的最大值为（）A.24B.16C.12D.8【答案】C【解析】解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，由•=7，|-|=6，得bccos A=7，a=6①，S△ABC=bcsin A=bc=bc=，由余弦定理可得b2+c2-2bccos A=36②，由①②消掉cos A得b2+c2=50，所以b2+c2≥2bc，所以bc≤25，当且仅当b=c=5时取等号，所以S△ABC=≤12，故△ABC的面积的最大值为12，设A、B、C所对边分别为a，b，c，由•=7，|-|=6，得bccos A=7，a=6①，由余弦定理可得b2+c2-2bccos A=36②，联立①②可得b2+c2=50，由不等式可得bc≤25，即可求出△ABC面积的最大值．本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式不等式求最值等知识，综合性较强，有一定难度．12.已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx（a＞1），若对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有＞-1，则实数a的取值范围为（）A.（1，4）B.（1，4]C.（1，5）D.（1，5]【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx（a＞1），∴函数的导数f′（x）=x-a+，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有＞-1，即割线的斜率k＞-1，则等价为f′（x）=x-a+≥-1恒成立，即x+≥a-1，∵a＞1，∴a-1＞0，则x+≥2=2≥a-1，即4（a-1）≥（a-1）2，即（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5，∵a＞1，∴1＜a≤5，故选：D求函数的导数，＞-1的几何意义为函数曲线上任意两点的割线斜率k＞-1，转化为导数关系即可得到结论．本题主要考查导数的应用，根据函数单调性的几何意义以及斜率的关系，结合导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设i是虚数单位，则= ______ ．【答案】解：=故答案为：先进行幂的运算，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，i的幂的运算，是基础题．14.已知函数f（x）=x2-ax的图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，则a的值为______ ．【答案】-1【解析】解：∵f（x）=x2-ax，∴f′（x）=2x-a，∴根据导数的几何意义，y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，∵函数f（x）=x2-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，∴（2-a）×（-）=-1，∴a=-1，故答案为：-1．求导数，根据导数的几何意义，结合函数f（x）=x2-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值．本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，具体涉及到导数的几何意义，直线垂直的性质等知识点，是基础题．15.已知，则= ______ ．【答案】【解析】解：∵=，∴tanα=，∴cos2α===，故答案为．由条件利用两角和的正切公式求得tanα=，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简要求的式子为，运算求得结果．本题主要考查两角和的正切公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．16.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y-3）2=1上一个动点，那么点P 到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是______ ．-1【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y-3）2=1的圆心为C（0，3），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：|FC|-1=-1．故答案为：-1．先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，且满足前三项的和为9，前三项的积为15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（I）由题意得，∴，…（2分）解得a2=3，d=2，d=-2（舍），…（4分）∴a n=3+2（n-2）=2n-1．…（6分）（II）S n==n2，…（8分）∴b n==-，…（10分）∴T n=1-+-+…+-=1-=．…（12分）【解析】（Ⅰ）利用等差数列满足前三项的和为9，前三项的积为15，建立方程组，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）确定数列{b n}的通项，利用裂项法求数列{b n}的前n项和T n．本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．18.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中M，及图中的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．【答案】解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，∴所求概率为．【解析】（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．19.如图所示，在直角梯形PBCD中，PD∥BC，∠D=90°，PD=9，BC=3，CD=4，点A在PD上，且PA=2AD，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．（Ⅰ）求证：SA⊥AD；（Ⅱ）点E在SD上，且SE=SD，求三棱锥E-ACD的体积．【答案】（I）证明：∵PD=9，PA=2AD，∴PA=6，AD=3，又∵BC=3，AD∥BC，∠D=90°，∴四边形ABCD为矩形，AB⊥BC，又∵SB⊥BC，AB∩SB=B，∴BC⊥平面SAB，从而BC⊥SA，又∵BC∥AD，∴SA⊥AD；（Ⅱ）解：在平面SAD内，过E作EH⊥AD，垂足为H，∵SA⊥AD，EH⊥AD，∴EH∥SA，又∵SA⊥AB，∴EH⊥AB，而AB∩AD=A，∴EH⊥平面ABD，即EH是三棱锥E-ACD底面ACD的高，由EH∥SA，知，又SE=SD，∴=，∴EH=SA=4，故V E-ACD=×AD•CD•EH=×3×4×4=8．【解析】（Ⅰ）由平面几何的知识，证得四边形ABCD为矩形，再由线面垂直的判定定理证得BC⊥平面SAB，从而证得SA⊥AD；（Ⅱ）在平面SAD内，过E作EH⊥AD，垂足为H，通过线面垂直的判定定理，证EH⊥平面ABD，并求出EH的长，再由三棱锥的体积公式即可得到结果．本题考查直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，同时考查棱锥的体积公式，属于中档题．20.设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的中点为M（1，），点A关于x 轴的对称点为A′，求△ABA′的外接圆方程．【答案】解：（I）由已知a=2b，=1，解得a=2，b=1，…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）设直线l的方程为y-=k（x-1），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），…（6分）直线代入椭圆方程，得（1+4k2）x2-（8a2-2k）x+4k2-2k-=0则x1+x2=，x1x2=，…（7分）线段AB的中点为M（1，），∴x1+x2==2，解得k=-1．…（8分）△ABA′的外接圆的圆心为线段AB的垂直平分线与线段AA′（即x轴）的垂直平分线的交点，线段AB的垂直平分线的方程为y-=x-1，即y=x-，∴线段AB与x轴的交点为N（，0），即为△ABA′的外接圆的圆心．…（10分）∵|AB|=•=，∴=，点N（，0）到直线AB的距离d=，∴d2=，记△ABA′的外接圆的半径R，则R==，∴△ABA′的外接圆的方程为（x-）2+y2=．…（12分）【解析】（I）由已知a=2b，=1，解得a=2，b=1，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y-=k（x-1），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2-（8a2-2k）x+4k2-2k-=0，利用韦达定理，结合线段AB的中点为M（1，），求出k，线段AB与x轴的交点为N（，0），即为△ABA′的外接圆的圆心，再求出△ABA′的外接圆的半径，即可求△ABA′的外接圆方程．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查求△ABA′的外接圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：对任意的0＜a＜b，≤-1．【答案】解：（I）定义域为（0，∞），′=，当m≤0时，′＞＞，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，令′＞，得＜＜，∴f（x）在，上单调递增；令′＜，得＞，∴f（x）在，∞上单调递减．∴当m≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），无单调减区间；当m＞0时，f（x）的单调增区间是，，单调减区间是，∞．（II）由（I）知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（e）=lne-me+m=1+m（1-e）＞0，∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立；当m＞0时，由（I）得，若使f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，只需-lnm-1+m≤0，令g（m）=-lnm-1+m，′，∴当m∈（0，1）时，g'（m）＜0，当m∈（1，+∞）时，g'（m）＞0，∴g（m）min=g（1）=0，∴只有m=1符合题意，综上得，m=1．（III）由（II）知m=1，∴，∵b＞a＞0，∴＞，由（II）得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x-1，∴，∵＞，∴，∵＞，∴，∴．【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导函数，对参数m分m≤0，m＞0两类进行讨论，求出单调区间；（Ⅱ）f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即函数f（x）max≤0，结合第（Ⅰ）所求的单调区间，求出函数的最大值；（Ⅲ）先对要证明的不等式当变形，构造一个形如f（x）的函数，再根据已研究函数的性质，得出要证的结论．本题是一道导数的综合题，利用导数求函数的单调区间，这里要对参数进行讨论，解决恒成立问题，构造函数证明不等式，这些都是导数中常考的题型，初学者要多做些这方面的习题．属于中档题．22.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）当AC=1，BC=2时，求AD的长．【答案】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（5分）（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB-AD）•BA=2AD•BC，∴（2-t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．（10分）【解析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．本题考查与圆有关的比例线段的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的内接四边形的性质和切割线定理的合理运用．23.直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点T的极坐标；（Ⅱ）将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线W，过点T作直线m，若直线m被曲线W截得的线段长为，求直线m的极坐标方程．【答案】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为，将代入上式，整理得t2-4t+4=0，解得t=2，故点T的坐标为，，故极径ρ==2，极角θ满足tanθ==，结合点所在的象限可得θ=，故点T的极坐标为，．…（5分）（Ⅱ）依题知，坐标变换式为′′，故W的方程为：，即x2+y2=6．当直线m的斜率不存在时，其方程为，显然成立．当直线m的斜率存在时，设其方程为，即，则由已知，圆心（0，0）到直线m的距离为，故，解得．此时，直线m的方程为．综上，直线m的极坐标方程为：，或．…（10分）【解析】（Ⅰ）曲线C的普通方程为，将直线l的参数方程代入上式，解得t的值，可得点T的坐标，再化为极坐标．（Ⅱ）依题知，坐标变换式为′′，可得W的方程为x2+y2=6．分直线m的斜率不存在和直线m的斜率存在两种情况，分别依据条件求得直线m的方程，再化为极坐标方程．本题主要考查函数图象的变换规律，极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（I），，＜，＞．…（1分）当x≤-1时，由-3x+1＜4得x＞-1，此时无解；当-1＜x≤1时，由-x+3＜4得x＞-1，∴-1＜x≤1；当x＞1时，由3x-1＜4得＜，∴＜＜．…（4分）综上，所求不等式的解集为＜＜．…（5分）（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…（7分）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即-2≤a+1≤2，解得-3≤a≤1，故a的取值范围为{a|-3≤a≤1}．…（10分）【解析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。

2014年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若全集U ={−1, 0, 1, 2}，P ={x ∈Z|x 2<2}，则∁U P =( ) A {2} B {0, 2} C {−1, 2} D {−1, 0, 2}2. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A 对任意x ∈R ，都有x 2<0B 不存在x ∈R ，都有x 2<0C 存在x ∈R ，使得x 2≥0D 存在x ∈R ，使得x 2<03. 某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y （元），与该周每天销售这种服装件数x 具有线性相关关系，其回归直线方程为y ̂=4.75x +51.36，则下列结论中不正确的是（ ） A y 与x 具有正相关关系 B 回归直线过样本点的中心(x ¯, y ¯) C 若该周每天销售这种服装件数x 增加1件，则获利约增加4.75元 D 若每周每天销售这种服装10件，则可断定获利必为98.86元4. 函数f(x)=lnx 2( )A 是偶函数且在(−∞, 0)上单调递增B 是偶函数且在(0, +∞)上单调递增C 是奇函数且在(0, +∞)上单调递减D 是奇函数且在(−∞, 0)上单调递减5. 已知Ω={(x, y)|x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}，A ={(x, y)|x ≤4, y ≥0, x −2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ） A 29 B 23 C 13 D 196. 已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题： ①若m // n ，n ⊂α，则m // α； ②若m ⊥l ，n ⊥l ，则m // n ；③若m ⊥n ，m // α，n // β，则α⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β． 其中正确的命题个数有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7. 将函数y =14sinx +√34cosx(x ∈R)的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A π12 B π6 C π3 D 5π68. 阅读如图程序框图，输出的结果s 的值为（ ）A 0B √32 C √3 D −√329. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 92+14πB 92+24πC 80+10πD 80+20π 10. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B √7 C √13 D √1511. 在△ABC 中，AB →⋅AC →=7，|AB →−AC →|=6，则△ABC 面积的最大值为（ ） A 24 B 16 C 12 D 812. 已知函数f(x)=12x 2−ax +(a −1)lnx(a >1)，若对于任意x 1，x 2∈(0, +∞)，x 1≠x 2，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>−1，则实数a 的取值范围为（ ）A (1, 4)B (1, 4]C (1, 5)D (1, 5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 设i 是虚数单位，则i1−i 3=________．14. 已知函数f(x)=x 2−ax 的图象在点（1, f(1)）处的切线l 与直线x +3y +2=0垂直，则a 的值为________．15. 已知tan(α+π4)=2，则cos2α=________．16. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+(y −3)2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且满足前三项的和为9，前三项的积为15．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =1Sn +n，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．19. 如图所示，在直角梯形PBCD中，PD // BC，∠D=90∘，PD=9，BC=3，CD=4，点A在PD上，且PA=2AD，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．(I)求证：SA⊥AD；(II)点E在SD上，且SE=13SD，求三棱锥E−ACD的体积．20. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的中点为M(1, 14)，点A关于x轴的对称点为A′，求△ABA′的外接圆方程．21. 已知函数f(x)=lnx−mx+m，m∈R．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若f(x)≤0在(0, +∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(III)在(II)的条件下，证明：对任意的0<a<b，f(b)−f(a)b−a ≤1a−1．请考生在第22-24题三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

某某省某某实验中学2014届高考文综（历史部分）最后一次冲刺模拟考试试题新人教版24．钱穆在某篇文章中谈到：“清末人却一意想变法，把此制度也连根拔去。

民国以来，政府用人，便全无标准，人事奔竞，派系倾轧，结党营私，偏枯偏荣，种种病象，指不胜屈。

”“此制度”当指A．科举考试 B．君主专制 C．纲常伦理 D．军机六部25．辛弃疾说：“北方之人，养生之具不求于人，是以无甚富甚贫之家。

南方多末作以病农，而兼并之患兴，贫富斯不侔矣，”这种现象表明当时A．北方农业比南方发达 B．商业是贫富分化的根源C．南方商业比北方发达 D．北方社会比南方更稳定26．费正清在《中国：传统与变革》中指出：“……中国历史上社会秩序稳定的一个伟大时期。

……欧洲却经历了一系列翻天覆地的现代化发展……如果能更好地了解这几百年来的中国历史，我们应能发现不少的革新和发展。

”作者所说的“革新与发展”在思想领域的的表现是A．战国时期的百家争鸣 B．西汉时期的新儒学C．宋明时期的理学 D．明清时期的批判思潮27．中国的地学，从《尚书·禹贡》、《山海经》开始，到《汉书·地理志》，逐渐形成了着重于记载山川、道路、关塞、水利、土质、物产、贡赋，特别是政治区划变置的传统。

这可以佐证A．传统地学的政治性 B．古代科技的实用性C．地学记载的精准性 D．小农社会的狭隘性28．《十二铜表法》规定了“同态复仇”：指氏族、部落成员遭到外来伤害时，受害者给对方以同样的方式，按受伤害的程度实施正当的复仇，即“以眼抵眼，以鼻抵鼻、以耳抵耳、以齿抵齿、以命抵命”。

它的出现A．保护了奴隶的权益 B．限制了复仇的X围C．保护了财产的私有 D．限制了奴隶主权利29．在某某改革运动中，人文学者伊拉斯谟虽然同路德存在争论，但也有一些与路德相同的观点。

伊拉斯谟认为，如果人们心中没有上帝，他们表面上的虔诚活动，如朝圣、立誓、守夜、禁食，仍是没有用的。

这一主X与路德的思想相似之处是A．反对教会兜售赎罪券的欺诈行为 B．苦修不能达到救赎的目的C．主X教随国定并实行某某宽容 D．激励人们积极进取与发财致富30．下表反映了近代中国机器与工具进口的情况。

大庆实验中学2014届高三得分训练（二）数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M （ ） A ．∅ B ．{})0,2(),0,3( C ． ]3,3[- D ．{}2,32. 已知复数iii i i z ++++++=11201432 ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若1)na的展开式中含3a 项，则最小自然数n 是（ ）A ．2B ．5C ．7D ．124．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm 5．在ABC ∆中（O 为坐标原点）,(2cos ,2sin )OA αα=,(5cos ,5sin )OB ββ=.若5OA OB ⋅=-，则AOB ∆面积为（ ）A ．3B ．23 C ．53 D ．235 6．下列四个命题中真命题的个数是 （ ）①若)(x f y =是奇函数，则|)(|x f y =的图像关于y 轴对称；②若03lo g 3lo g <<n m ，则10<<<n m ；③若函数)(x f 对任意x ∈R 满足1)4()(=+⋅x f x f ，则8是函数)(x f 的一个周期；④命题“在斜ABC ∆中，tan tan A B A B >>是成立的充要条件；⑤命题 “2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意” A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知函数()f x 的图象如右图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x x x f ln 22-=B ．()x x x f ln 2-= C ．||ln 2||)(x x x f -=D ．||ln ||)(x x x f -=8．函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如右图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ） A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665- 9．已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）ABC ．D ．10．设集合21,0[=A ，]1,21[=B ,函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+=.),1(2,,21)(B x x A x x x f 若A x ∈0，且A x f f ∈)]([0，则0x 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,41 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,011. 设21,F F 分别为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。

2014年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数=（）A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i【答案】C【解析】解：===1+2i．故选C．把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|-1＜x＜3}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-1，-）C.（-，3）D.（3，+∞）【答案】C【解析】解：A={x∈R|3x+2＞0}={x|x＞}，B={x∈R|-1＜x＜3}，则A∩B={x∈R|＜x＜3}，故选：C根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0”的是（）A.f（x）=2xB.f（x）=|x-1|C.f（x）=-xD.f（x）=ln（x+1）【答案】C【解析】解：由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f（x）=，故函数在（1，+∞）单调递增，不合题意；选项C，由f′（x）=＜0可知函数在（0，+∞）上为减函数，符合题意；选项D，函数在（-1，+∞）上单调递增，故不合题意，故选C易得所求函数在区间（0，+∞）上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在（1，+∞）单调递增；C符合题意；D在（-1，+∞）上单调递增，可得答案．本题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属基础题．4.已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=（）A.-B.C.D.-【答案】B【解析】解：∵已知α∈（，π），sinα=，∴cosα=-，tanα==-2，则tan2α===，故选：B．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα，可得tanα，再利用二倍角公式求得tan2α=的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．5.若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）A.＞B.＞C.＞D.|a|＞-b【答案】B【解析】解：选项A，-=＞0，故正确；选项B，取a=-4，b=-2，此时不等式＞不成立，故不正确；选项C，∵a＜b＜0，则-a＞-b＞0，∴＞，故正确；选项D，∵a＜b＜0，则-a＞-b＞0，∴|a|=-a＞-b，故正确；故选B．选项A，利用作差法可证明真假，选项B，取a=-4，b=-2，此时不等式不成立，故可判断真假；选项C，根据a＜b＜0，则-a＞-b＞0，进行判断真假；选项D，根据a＜b ＜0，则-a＞-b＞0，从而|a|=-a＞-b，即可判断真假，从而选出正确选项．本题主要考查了不等式的基本性质，以及列举法的运用，同时考查了利用作差法比较大小，属于基础题．6.双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】D【解析】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是-=1．故选：D．根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．7.已知α，β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB.若m∥α，α∩β=n，则m∥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β【答案】A【解析】解：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由直线与平面垂直的性质定理知m⊥n，故A正确；若m∥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β平行或m⊂β或m与β相交，故D错误．故选：A．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．8.若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：依题意，∵|+|=|-|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==-，所以向量与的夹角是，故选C利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．9.下列四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2-4）x+1（a∈R，a≠0）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）=（）A. B. C.- D.1【答案】C【解析】解：∵f（x）=x3+ax2+（a2-4）x+1，∴f′（x）=x2+2ax+（a2-4）=（x+a）2-4，∴开口向上，对称轴x=-a，∵a∈R，a≠0∴只有第三个图是导函数y=f′（x）的图象，∴a2-4=0，x=-a＞0，∴a=-2，∴f（x）=x3-2x2+1，∴f（1）=，故选：C．先求出f′（x）=（x+a）2-4，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f′（x）的图象，再根据图象求出a的值，最后求出f（1）．本题主要考查了函数的图象的性质以及求函数的导数，找到图象的对称轴是关键，属于基础题．10.已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1（n≥2）a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是（）A.a2014=-1，S2014=2B.a2014=-3，S2014=5C.a2014=-3，S2014=2D.a2014=-1，S2014=5【答案】D【解析】解：∵a n+1=a n-a n-1（n≥2）a1=1，a2=3，∴a3=3-1=2，a4=2-3=-1，a5=-1-2=-3，a6=-3-（-1）=-2，a7=-2-（-3）=1，a7=1-（-2）=3…即数列{a n}是周期数列，周期是6，则a2014=a335×6+4=a4=-1，a1+a2+…+a6=1+3+…+（-2）=0，则S2014=335×（a1+a2+…+a6）+a1+a2+a3+a4=1+3+2-1=5，故选：D根据数列的递推关系得到数列{a n}是周期数列，即可得到结论．本题主要考查数列的通项公式和前n项和，根据数列的递推关系得到数列{a n}是周期数列是解决本题的关键．11.如图为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，B、C分别为图象的最高点和最低点，若•=||2，则ω=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设A（a，0），函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为T，则B（a+，），C（a+，-），∴=（，），=（，-2），∵•=||2，∴•-2×=+3，整理得：T2=144，∴T==12，解得：ω=．故选：B．由图可设A（a，0），函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为T，则B（a+，），C （a+，-），易求=（，），=（，-2），利用向量的坐标运算，将已知•=||2坐标化整理，可求得T==12，从而可得ω的值．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象解析式的确定，着重考查向量的数量积的坐标运算及其应用，属于中档题．12.设函数，对任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A.∞，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：∵函数，f（2mx）+2mf（x）＜0∴＜0①m＞0，x≥1，∴8m2x2-（1+4m2）＜0，∴＜∵x≥1，∴对一切x≥1，不可能始终满足条件；②m＜0，x≥1，∴8m2x2-（1+4m2）＞0，∴＞∵x≥1，∴＞，∴m＜-或m＞∵m＜0，∴m＜-故选A．根据函数解析式，整理可得＜0，分类讨论，转化为解m的不等式，即可求得结论．本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切，则p的值为______ ．【答案】2【解析】解：圆x2+y2-2x-3=0转化为（x-1）2+y2=4，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=-，∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．由抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切，知1+=2，解得p=2．由此能求出抛物线方程．本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．14.设函数f（x）=，，＞，则方程f（x）=的解集为______ ．【答案】{-1，，}【解析】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2-1，解得x=-1．若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，由log2x=，解得x=．由log2x=-，解得x==．故方程的解集为{-1，，}．故答案为：{-1，，}．结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．15.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为______ ．【答案】8π【解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD⊥AC，且OD⊂平面SAC，∵SA=AC=2，∴SC的中点O为外接球的球心，∴半径R=，∴外接球的表面积S=4π×2=8π．故答案为：8π．几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．16.已知a∈R，若实数x，y满足y=-x2+3lnx，则（a-x）2+（a+2-y）2的最小值是______ ．【答案】8【解析】解：由题意，由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即点在直线上动，∴求（a-x）2+（a+2-y）2的最小值，就是求y=-x2+3lnx上的点到直线距离的最小值．设平行于y=x+2，与y=-x2+3lnx相切的切点坐标为（a，b）（a＞0），则∵y=-x2+3lnx，∴y′=-2x+，∴由-2a+=1，可得a=-（舍去）或a=1，∴切点为（1，-1），∴切点到y=x+2的距离为=2．∴（a-x）2+（a+2-y）2的最小值是8．故答案为：8．由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即点在直线上动，求（a-x）2+（a+2-y）2的最小值，就是求y=-x2+3lnx上的点到直线距离的最小值．本题考查导数的几何意义，点到直线的距离公式等式知识的灵活应用，属于难题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知函数f（x）=sin2x-cos2x-．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若sin B=2sin A，求a、b的值．【答案】解：（I）f（x）===cos2x-1=．由2kπ-，得kπ-，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为，．（II）由f（C）=0，得，∵0＜C＜π，∴-＜＜π，∴2C-，∴C=．∵sin B=2sin A，由正弦定理，得=2①．由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos，即a2+b2-ab=3②，由①②解得a=1，b=2．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=，令2kπ-，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．（Ⅱ）设△ABC中，由f（C）=0，可得，根据C的范围求得角C的值，再利用正弦定理和余弦定理求得a、b的值．本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的单调性、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．18.已知公比为整数的等比数列{a n}中，a1=1，a3=2a2+3，在等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和S n．【答案】解：（I）设q为等比数列{a n}的公比，则由a1=1，a3=2a2+3，得q2=2q+3，解得q=3或q=-1（舍去）．…（2分）∴{a n}的通项公式为．…（3分）∵b1+b2+b3=15，∴b2=5，又d=2，∴b1=b2-d=3．…（5分）∴b n=3+2（n-1）=2n+1．…（7分）（II）由（I）知①∴3S n=3×3+5×32+7×33+…+（2n-1）×3n-1+（2n+1）×3n②∴①-②得=3+2（3+32+33+…+3n-1）-（2n+1）×3n==-2n•3n…（11分）∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）设q为等比数列{a n}的公比，依题意，可求得q=3，从而可得数列{a n}的通项公式；由等差数列{b n}的公差d=2，且b1+b2+b3=15，可求得{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（I）知，3S n=3×3+5×32+7×33+…+（2n-1）×3n-1+（2n+1）×3n，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和S n．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其应用，突出考查错位相减法求数列的和，考查等价转化思想与运算能力，属于难题．19.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，CD=3，AB=1，EA=AD=DE=2，EC=．（Ⅰ）若F是线段DC上的点，DF=2FC，求证：AF∥平面EBC；（Ⅱ）求三棱锥E-BDC的体积．【答案】（I）证明：∵CD=3，DF=2FC，∴FC=AB=1，又∵AB∥CD，∴四边形ABCF为平行四边形．…（2分）∴AF∥BC，又∵AF⊄平面EBC，BC⊂平面EBC，∴AF∥平面EBC．…（5分）（II）解：取AD的中点H，连接EH、CH．∵EA=AD=DE=2，∴△ADE为正三角形，∴EH⊥AD，．…（6分）在R t△HDC中，CD=3，DH=1，∴，在△EHC中，，，，∴EC2=EH2+HC2，∴∠EHC=90°，EH⊥HC．…（8分）又∵AD⊂平面ABCD，HC⊂平面ABCD，AD∩HC=H，∴EH⊥平面ABCD，…（10分）∵，故．…（12分）【解析】（Ⅰ）证明四边形ABCF为平行四边形，可得AF∥BC，利用线面平行的判定定理，即可证明AF∥平面EBC；（Ⅱ）取AD的中点H，连接EH、CH，证明EH⊥平面ABCD，即可求出求三棱锥E-BDC 的体积．熟练掌握平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、及三棱锥体积的求法是解题的关键．20.已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3）2+（y-1）2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若不过A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且•=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．【答案】（I）解：圆M的圆心为（3，1），半径．…（2分）由题意知A（0，1），F（c，0），直线AF的方程为，即x+cy-c=0，…（4分）由直线AF与圆M相切，得，解得c2=2，a2=c2+1=3，故椭圆C的方程为．…（6分）（Ⅱ）证法一：由知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，…（7分）解得x=0或，故点P的坐标为，，同理，点Q的坐标为，，…（9分）∴直线l的斜率为，…（10分）∴直线l的方程为，即．…（11分）所以直线l过定点，．…（12分）（Ⅱ）证法二：由，知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2-1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，（*）由△=（6kt）2-4（1+3k2）×3（t2-1）＞0，得3k2＞t2-1．…（9分）由，得，，，将（*）代入，得，…（11分）所以直线l过定点，．…（12分）【解析】（I）圆M的圆心为（3，1），半径．直线AF的方程为x+cy-c=0，由直线AF与圆M相切，得c2=2，a2=c2+1=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由，知AP⊥AQ，设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，求得点P，，点Q，，由此能证明直线l过定点，．（Ⅱ）法二：由，知AP⊥AQ，设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2-1）=0．由，利用韦达定理证明直线l过定点，．本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=a（x2-1）-xlnx（Ⅰ）若F（x）=f′（x），当a=时，求F（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（I）当时，，∵F（x）=f'（x）=x-lnx-1．∴′，令F'（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，函数F（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，函数F（x）是增函数．∴F（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．（II）f'（x）=2ax-lnx-1，由（I）知F（x）min=F（1）=0，①若＞，f'（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函数；若，f'（x）=x-lnx-1≥0，f（x）是增函数．∴，f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．②若＜＜，设， ′，当，时，h'（x）＜0，函数h（x）是减函数，则f'（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在，上是减函数，这时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．③若a≤0，则当x∈（1，+∞）时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，此时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．综上，a的取值范围是，∞．【解析】（I）当时，，由F（x）=f'（x）=x-lnx-1．得′，令F'（x）=0，得x=1，从而F（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．（II）f'（x）=2ax-lnx-1，由（I）知F（x）min=F（1）=0，分别讨论①若＞，②若＜＜，③若a≤0时的情况，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，求参数的范围问题，考查导数的应用，是一道综合题．22.选修4-1：几何证明选讲如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（Ⅰ）求证AC•BC=AD•AE：；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=2，CF=4，求AC的长．【答案】（I）证明：如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=4，∴42=2BF，解得BF=8．∴AB=BF-AF=6．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴，∴=3．【解析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得，即可得出．本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23.在平面直角坐标系x O y中，已知直线l经过点P（，1），倾斜角α=，在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-）．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【答案】解：（I）直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数）．由得：ρ=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，∴x2+y2=2x+2y，故圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（II）把代入（x-1）2+（y-1）2=2得，则，，∴|PA|+|PB|=．【解析】（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．24.设函数f（x）=|2x-1|-|x+4|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．【答案】选修4-5：不等式选讲解：（I），，＜＜，…（3分）当x≤-4时，由f（x）＞0得-x+5＞0，解得x≤-4，…（4分）当＜＜时，由f（x）＞0得-3x-3＞，解得-4＜x＜-1，…（5分）当时，由f（x）＞0得x-5＞0，解得x＞5，…（6分）综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞5}．…（7分）（II）∵f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9．…（8分）∴由题意可知|a-1|≤9，解得-8≤a≤10，…（9分）故所求a的取值范围是{a|-8≤a≤10}．…（10分）【解析】（Ⅰ）通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉原函数式中的绝对值符号，再解相应的不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9可得|a-1|≤9，解之即可．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．。

大庆实验中学2014届高三第四次月考文 科 数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若1(,)1a bi a b R i=+∈-，则复数a bi += ( )(A)1i + (B)12i + (C)2i - (D)2i + 2. 对于集合M 、N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且,()()M N M N N M ⊕=-- 。

设{}3,x A y y x R ==∈, {}2(1)2,B y y x x R ==--+∈，则A B ⊕= ( )A ．),0(+∞B ．]2,(-∞C ．(,0](2,)-∞+∞D ．(,0)(2,)-∞+∞ 3. 求和：1+3+5+┄+（4 n —3）= ( ) A . n （2n+1） B.（2n-1）2 C.（n+2）（2n+1） D.（2n+1）2 4.一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为85123π+， 则正视图中x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25. 若cos α+ sin α=tan α(0<α<21π),则α∈ ( )（A ）（0，61π） （B ）（61π，41π） （C ）（41π，31π） （D ）（31π，21π） 6. 已知函数)2sin()(ϕ+=x x f 满足：)()(a f x f ≤对R x ∈恒成立，且能取到等号，则（ ）A. 函数)(a x f +一定是偶函数B. 函数)(a x f -一定是偶函数C. 函数)(a x f +一定是奇函数D. 函数)(a x f -一定是奇函数7. 若ΔA 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于ΔA 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则 （ ）（A ） ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2都是锐角三角形 （B ）ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2都是钝角三角形（C ） ΔA 1B 1C 1是锐角三角形，ΔA 2B 2C 2是钝角三角形 （D ）ΔA 1B 1C 1是钝角三角形，ΔA 2B 2C 2是锐角三角形8. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段11D B 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，则与线段1DB 相交且互相平分的线段MN 有( ) A ．0条 B.1条C. 2条D.3条9. 已知函数)(x f y =定义域为),(ππ-，且函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，当),0(π∈x 时，x x f x f ln sin )2()(ππ-'-=，若0.3(3),(log 3)a f b f π==，31(log )9c f =，则c b a ,,的大小关系是 ( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b a c >>10. 设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A ．4(,)3-∞ B ．2(,)3-∞- C ．1(,)3-∞ D ．5(,)3-∞-11．直线044=--k y kx 与抛物线x y =2交于B A ,两点，若4=AB ，则弦AB 的中点到直线021=+x 的距离等于（ ）（A ）47 （B ）2 （C ）49（D ）4 12.已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B +=⋅ ，则m 的值为 （ ） A ． 1 B ． A sin C ．A cos D ． A tanA1D 1A 1C 1B DCBNMGF EDCBAO第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ____1}{2取值范围，则，是递增数列，且已知数列λλ*∈++=N n n n a a n n 14. 在直线坐标平面内，向量)1,3(),3,1(-==OB OA 在直线l 上的射影长相等，则直线l 的斜率 为15. 已知非直角ABC ∆，4AB =，BC a =，3C π=,满足条件的ABC ∆只有一个，则实数a 的取值范围为_______________.16. 已知实数0a ≥,0b ≥，若2x >是x a x b -<-成立的充分条件，则a b -的最大值为____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2014年黑龙江省大庆市实验中学高考数学训练试卷（文科）（五）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={1，2}，B={1，a，b}，则“a=2”是“A⊆B”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵集合A={1，2}，B={1，a，b}，∴当a=2时，B={1，2，b}，∴A⊆B，充分性成立；当A⊆B时，有a=2或b=2，∴必要性不成立；∴“a=2”是“A⊆B”的充分不必要条件；故选：A．判定a=2时，A⊆B是否成立，看充分性；判定A⊆B时，a=2是否成立，看必要性．本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题．2.i•z=1-i（i为虚数单位），则z=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】解：∵i•z=1-i（i为虚数单位），∴z====-1-i，故选：D．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式即可．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．3.若a＞b，则下列不等式成立的是（）A.lna＞lnbB.0.3a＞0.3bC.＞D.＞【答案】D【解析】解：不妨令a=-1、b=-2，代入各个选项检验可得A、B、C都不成立，只有D成立，故选：D．不妨令a=-1、b=-2，代入各个选项检验，可得结论．本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法．4.已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）A.若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB.若l∥α，m⊂α，则l∥mC.若l⊥α，m∥α，则l⊥mD.若l⊥α，l⊥m，则m∥α【答案】C【解析】解：A．当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B．当满足条件l∥α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C．当l⊥α，m∥α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D．当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．A．利用线面垂直的定义和性质．B．利用线面平行的性质和判断定理．C．利用线面垂直的性质．D．利用线面，线线垂直的性质．本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为（）A.80B.81C.82D.83【答案】C【解析】解：根据平均数的公式可知该班的数学测试平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82，故选：C根据频率分布表，利用平均数的计算公式即可得到结论．本题主要考查统计的知识，利用频率分别表中的数据，结合平均数的计算公式是解决本题的关键，比较基础．6.已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*、设（n∈N*），则数列{c n}的前10项和等于（）A.55B.70C.85D.100【答案】C【解析】解：已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*又∵（n∈N*），∴c1+c2+…+c10==又∵，∴=4+5+6+…+13=85，故选C．将{c n}的前10项和用{a n}．{b n}的通项公式表示出来，再利用其关系求解．本题主要考查等差数列的通项公式和数列中的函数思想．7.在△ABC中，+=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）等于（）A. B. C.- D.-【答案】D【解析】解：：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为，所以，，所以•（+）=．故选D．易得M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，进而得•（+）=，由数量积的定义可得答案．本题考查向量加减混合运算及几何意义，属基础题．8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos（A-C）=1-cos B，a=2c，则cos2C的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵cos（A-C）=1-cos B，∴cos A cos C+sin A sin C=1+cos（A+C）=1+cos A cos C-sin A sin C，∴sin A sin C=，∵a=2c，∴sin A=2sin C，∴2sin2C=，cos2C=1-2sin2C=，故选：A．利用两角和公式对原式进行整理求得sin A sin C的值，然后利用正弦定理求得sin A和sin C 的关系，进而求得sin C，最后通过二倍角公式求得答案．本题主要考查了两角和与差的余弦函数和二倍角公式的运用．考查了学生对三角函数基础公式的熟练记忆和灵活运用．9.设变量x，y满足约束条件＜，则目标函数z=-2y-3x的（）A.最大值为，最小值为B.最大值为，最小值不存在C.最大值为-2，最小值不存在D.最大值不存在，最小值为【答案】B【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=-2y-3x，则y=x-，平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-经过点A时，直线y=x-的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线y=x-的截距最小，此时z最大，由得，即A（，）由得，即B（，）此时z min=-2×-3×=，z max=-2×-3×=，故＜z≤，即最大值为，最小值不存在，故选：B作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．10.如图，是一个算法程序框图，在集合A={x|-10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间（-5，3）内的概率为（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8【答案】D【解析】解：根据程序框图可知，其功能为计算y=，＜，，＞，∵输出的y值落在区间（-5，3），即-5＜y＜3，①当x＜0时，y=x+3，∴-5＜x+3＜3，解得-8＜x＜0，故-8＜x＜0符合题意；②当x=0时，y=0∈（-5，3），故x=0符合题意；③当x＞0时，y=x-5，∴-5＜x-5＜3，解得0＜x＜8，故0＜x＜8符合题意．综合①②③可得，x的取值为（-8，8），∵在集合A={x|-10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x，故输出的y值落在区间（-5，3）内的概率为==0.8．故选：D．分析题中程序框图，可以得到该程序的功能是计算分段函数的值，根据题意可以求得分段函数，结合y的值在（-5，3），分类讨论，列出关于x的不等式，求解即可得到x的取值范围，从而得到所求概率．本题考查了程序框图，重点考查了条件结构的应用，本题的解题关键在于弄清程序框图的功能是求分段函数的值，对于分段函数，一般运用分类讨论和数形结合的思想进行求解．还考查了几何概型的应用，本题的几何概型的测度为“长度”．属于中档题．11.设F1，F2是双曲线＞，＞的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵，∴，∴-=0，OP=OF2=c=OF1，∴PF1⊥PF2，R t△PF1F2中，∵，∴∠PF1F2=30°．由双曲线的定义得PF1-PF2=2a，∴PF2=，sin30°====，∴2a=c（-1），∴=+1，故选D．利用向量的加减法可得，故有OP=OF2=c=OF1，可得PF1⊥PF2，由条件可得∠PF1F2=30°，由sin30°==求出离心率．本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断△PF1F2是直角三角形是解题的关键．12.定义域为R的函数f（x）=，若关于的方程（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x2+x4+x5）等于（）A.0B.21g2C.31g2D.1【答案】C【解析】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．∴x1=2，c=-b-1．当x＞2时，f（x）=lg（x-2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]2+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，x2=12或lg（x-2）=b，x3=2+10b．当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]2+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，x4=-8或lg（2-x）=b，x5=2-10b．∴f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b-8+2-10b）=f（10）=lg|10-2|=lg8=3lg2．故选C．分情况讨论，当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x1=1；当x＞2时，f（x）=lg（x-2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]2+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，或lg（x-2）=b，从而求出x2和x3；当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]2+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，或lg （2-x）=b，从而求出x4和x5，5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5都求出来后，就能求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值．这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件分别根据a=0、a＞0和a＜0三种情况求出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0的5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，然后再求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.tan300°+°°的值为______ ．【答案】【解析】解：tan300°+°°=°°°=．故答案为：．利用诱导公式，结合特殊角的三角函数，即可得出结论．本题考查诱导公式，特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，正确运用诱导公式是关键．14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为______ ．【答案】4π【解析】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2，半径为∴三棱锥的外接球体积为=4π故答案为：4π由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论．本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．15.设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切，则m+n的取值范围是______ ．【答案】（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）【解析】解：由圆的方程（x-1）2+（y-1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2-4x-4≥0，∵x2-4x-4=0的解为：x1=2+2，x2=2-2，∴不等式变形得：（x-2-2）（x-2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2-2，则m+n的取值范围为（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）．由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．16.函数B1的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2-2x（x∈R）是单函数；②函数f（x）=，，＜是单函数；③若y=f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是______ （写出所有真命题的编号）．【答案】③【解析】解：①中函数f（x）=x2-2x（x∈R），当x=0或x=2时，f（x）=0，故∃x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；②中函数f（x）=，，＜，当x=0或x=4时，f（x）=2，故∃x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；③由“单函数”的定义可得f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）成立，故③为真命题④中函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题只有③故答案为：③根据已知中“单函数”的定义，可得函数f（x）为单函数时，对任意x1≠x2，均有f（x1）≠f（x2）成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．本题以命题的真假判断为载体考查了新定义“单函数”，正确理解“单函数”的定义是解答的关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知向量=（cosα，sinα），=（1+cosβ，-sinβ）．（1）若α=，β∈（0，π），且⊥，求β；（2）若β=α，求•的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴，整理得．∴=，（k∈Z）．∵β∈（0，π），取k=0可得．（Ⅱ）∵β=α，∴．令t=cosα，t∈[-1，1]，∴．∴当t=1时，，当时，．∴的取值范围为，．【解析】（I）由可得=0，再解出三角函数方程即可；（II）利用数量积运算可得，再通过换元法利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了⇔=0、三角函数方程、数量积运算、换元法、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．18.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工（Ⅰ）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为7，分别求甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅱ）质检部分从该车间甲、乙两组中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若2人加工的合格零件个数之和超过14，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【答案】解：：（I）由题意可得甲=（4+5+x+9+10）=7，解得x=7．再由乙=（5+6+7+y+9）=7，解得y=8．分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，=[（4-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（9-7）2+（10-7）2]=5.2，甲=[（5-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（9-7）2]=2，乙∴，S甲2＞S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（II）设事件A表示：该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9）（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9）（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种（9分）事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共11种∴该车间“质量合格”的概率为．【解析】（Ⅰ）由表中数据我们易求出两组数据的平均数，代入方差公式后，易求出两组数据的方差，分析平均数，平均数大的一组，表示总体水平高，平均数小的一组，表示总体水平低，平均数相等，表示总体水平相同；方差大的一组，水平差异较大，方差小的一组，水平差异较小．（Ⅱ）要计算该车间“质量合格”的概率，我们要先求出从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件总个数，再求出该车间“质量合格”包含的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可求出答案．本题主要考查在实际背景下，将统计与概率相结合，考查了样本的平均数与方差的计算，以及求随机事件的概率，考查了归纳推理、应用数学知识解决实际问题的能力．19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别为BC、CC1的中点．（1）求证：B1E⊥平面AEF；（2）当AB=2时，求点E到平面B1AF的距离．【答案】解：（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，不妨设|AB|=|AA1|=a，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵E、F分别为BC、CC1的中点，∴，，，∴，∴B1E⊥EF，又∵AE⊥BC，B1B⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，∴AE⊥面BCC1B1∴B1E⊥AE，AE∩EF=E，∴B1E⊥平面AEF．（2）解：由条件知，，，，，，，∵AE⊥EF，∴，在△AFB1中，∠∠，∴∠，设点E到平面B1AF的距离为d，则，∴，即点E到平面B1AF的距离为1．【解析】（1）利用勾股定理可证明B1E⊥EF，再由题意可得BB1⊥AE，从而证明B1E⊥平面AEF；（2）由条件知，，，，，，，从而可求得，再解△AFB1，从而可得，从而解得．本题考查了线面垂直的证明与勾股定理的应用，同时考查了面积与体积的求法及等体积的应用，属于中档题．20.过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1）令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），-------------------（1分）∴，，，∵∴x1+a=，，整理得，------------（2分）∵B点在椭圆上，∴，∴，∴，即，∴-------------------（4分）（Ⅱ）∵，可设b2=3t．a2=4t，∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0-------------------（5分）∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P∴△=0，即64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12t）=0整理得m2=3t+4k2t------------------（8分）设P（x1，y1）则有，∴，又M（1，0），Q（4，4k+m）若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，∴，，恒成立整理得3+4k2=m2，------------------（10分）∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1所求椭圆方程为------------------（12分）【解析】（Ⅰ）设直线AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a），利用，求出B的坐标，代入椭圆方程，求解离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为3x2+4y2-12t=0，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，知识综合性强．21.已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=e x lnx（e=2.71828…）．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，到点（1，0）的距离为，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定a的取值范围；（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=e x+a，f（1）=e+a．y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=e+a，∴切线l的方程为y-（e+a）=（e+a）（x-1），即（e+a）x-y=0．又点（1，0）到切线l的距离为，∴=，解之得，a=-e+1或a=-e-1．（Ⅱ）∵x≥0，f（x）=e x+ax＞0恒成立，若x=0，f（0）=1＞0恒成立；若x＞0，f（x）=e x+ax＞0恒成立，即a＞-，在x＞0上恒成立，设Q（x）=-，则Q′（x）=-=，当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，+∞0时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，+∞）上单调递减；∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（1）=-e，∴a的取值范围为（-e，+∞）．（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为y=e x lnx-e x+x，令M（x）=e x lnx-e x+x，∴M′（x）=+1=（）•e x+1，设h（x）=，则h′（x）=-+=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0，故h（x）在[1，e]上单调增函数，因此h（x）在[1，e]上的最小值为h（1）=0，即h（x）=≥h（1）=0，又x0∈[1，e]时，e x＞0，≥0，∴M′（x）=（）•e x+1＞0，曲线y=e x lnx-e x+x在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′（x）=0有实数解，但是M′（x）＞0，M′（x）=0没有实数解，故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．【解析】（Ⅰ）切点坐标（1，e+a），切线斜率k=f′（1）=e+a，由点斜式可得切线方程，再由点到直线的距离公式可得a的方程，解出即可；（Ⅱ）易判断x=0时不等式恒成立；当x＞0时分离出参数a，化为函数的最值即可，利用导数可求得函数的最值，注意两种情况下参数的范围要求交集；（Ⅲ）曲线C的方程为y=e x lnx-e x+x，令M（x）=e x lnx-e x+x，问题即为a=-1时，是否存在实数x0∈[1，e]，M′（x）=0有实数解，构造函数利用导数可判断M′（x）＞0，于是得到结论；该题考查导数的几何意义、函数恒成立、函数的零点等知识，考查学生运算求解能力、推理论证能力与问题的转化能力，综合性较强，难度较大．22.如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【答案】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【解析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．23.已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求|MF1|-|NF1|的值．【答案】解：（1）曲线C：可化为+=1，其轨迹为椭圆，焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．经过A（0，）和F2（1，0）的直线方程为+=1，即x+y-=0；（2）由（1）知，直线AF2的斜率为-，因为l⊥AF2，所以l的斜率为，倾斜角为30°，所以l的参数方程为（t为参数），代入椭圆C的方程中，得13t2-12t-36=0．因为M，N在点F1的两侧，所以|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=．【解析】（1）求出椭圆方程的普通方程，求出焦点，运用直线方程的截距式写出直线AF2的直角坐标方程；（2）运用两直线垂直的条件，求得直线l的斜率和倾斜角，写出参数方程，代入椭圆方程，由韦达定理及参数的几何意义，即可得到所求．本题考查椭圆的参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的性质和直线方程的参数式和运用，考查运算能力，属于基础题．24.已知函数f（x）=|x-1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；当-3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤-5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab-1|＞|a-b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab-1|2-|a-b|2=（a2b2-2ab+1）-（a2-2ab+b2）=（a2-1）（b2-1）＞0，所以|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab-1|＞|a-b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab-1|2-|a-b|2＞0，从而得到所证不等式成立．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

黑龙江省大庆市2014届高三下学期第三次质量检测（三模）数学文试卷（清晰扫描版，答案word版）大庆市高三年级第三次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（文科）2014.4说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）1122i +； （14）1-； （15）45； （161.三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）由题意得⎩⎨⎧==++159321321a a a a a a ，∴⎩⎨⎧=++=+15)2)((9331111d a d a a d a ， …………………2分解得32=a ，2=d ，2-=d (舍)， ∴121=-=d a a ， ………………………4分∴12)1(1-=-+=n d n a a n . ………………………6分（II ）21)1(21n d n n na S n =-+=， ………………………8分 111)1(1112+-=+=+=+=n n n n n n n S b n n ， ………………………10分∴1111)111()4131()3121()211(+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n n n n T n .…………………12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）由分组)15,10[内的频数是10，频率是25.0，D A PE S ∴25.010=M ，∴40=M . …………………………1分∵频数之和为40，∴4022410=+++m ，∴4=m ， …………………………2分10.0104==p ， …………………………3分 ∵a 是对应分组)20,15[的频率与组距的商，∴12.054024=⨯=a . ……………………4分（II ）∵该校高三学生有240人，分组)15,10[内的频率是25.0，∴估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在此区间的人数为6025.0240=⨯. …………………………7分（III ）所取样本中，参加体育活动的次数不少于20次的学生共有62=+m 人，……8分设参加体育活动的次数在区间)25,20[内的人为4321,,,a a a a ，在区间]30,25[内的人为21,b b .则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)a a a a a a a b a b a a a a a b ，，),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21241423134322b b b a b a b a b a a a b a 共15种情况， …………9分其中至少有1人参加体育活动次数在区间]30,25[内有),)(,(),,(122111b a b a b a ,),(22b a ,),(),,(),,(),,(),,(2124142313b b b a b a b a b a 共9种情况， ………………………10分所以所求概率为53159==P . ………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（I ）∵9PD =，2PA AD =，∴6PA =，3AD =，又∵3BC =，AD ∥BC ，2D π∠=，∴四边形ABCD 为矩形，AB BC ⊥， ……………………………2分又因为SB BC ⊥，AB SB B =，故BC ⊥平面SAB ， ……………………………4分从而BC SA ⊥，又∵BC ∥AD，∴SA AD ⊥ ……………………………6分在平面SAD 内，过E 作EH AD ⊥，垂足为H ，∵SA AD ⊥，EH AD ⊥，∴EH ∥SA ， …………………………8分又∵SA ⊥AB ，∴EH AB ⊥，而ABAD A =，∴EH ⊥平面ABD ，………………10分即EH 是三棱锥E ACD -底面ACD 的高，由EH ∥SA ，知EH ED SA SD =，又13SE SD =，∴23EH ED SA SD ==，∴243EH SA ==， 故111134483232E ACD V AD CD EH -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. ………………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I ）由已知b a 2=，122=ab ，解得1,2==b a ， ……………………………3分∴椭圆的方程为1422=+y x . ……………………………4分 （II ）设直线l 的方程为)1(41-=-x k y ，),(),,(2211y x B y x A ， ……………………6分 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)1(411422x k y y x ，得041524)28()41(2222=--+--+k k x k k x k 则222122214141524,4128k k k x x k k k x x +--=+-=+， (7)分 又线段AB 的中点为)41,1(M ，∴241282221=+-=+k k k x x ，解得1-=k . …………………8分A AB '∆的外接圆的圆心为线段AB 的垂直平分线与线段A A '（即x 轴）的垂直平分线的交点，线段AB 的垂直平分线的方程为141-=-x y ，即43-=x y ， ∴线段AB 与x 轴的交点为)0,43(N ，即为A AB '∆的外接圆的圆心. ……………………10分 ∵522)20944(24))[(1(212212=⨯-=-++=x x x x k AB ，∴1011)21(2=AB ， 点)0,43(N 到直线AB ：)1(41--=-x y 的距离22124543=-=d ，∴812=d ， 记A AB '∆的外接圆的半径R ，则4049811011)21(222=+=+=d AB R ， ∴A AB '∆的外接圆的方程为4049)43(22=+-y x . ………………………………12分 （21）（本小题满分12分）解：（I ）1()(0)mx f x x x-'=>. ……………………………1分当0m ≤时，1()0(0)mx f x x x-'=>>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0m >时，令1()0mx f x x -'=>，得10x m <<，∴()f x 在1(0,)m上单调递增； 令1()0mx f x x -'=<，得1x m >，∴()f x 在1(,)m +∞上单调递减. ……………………4分∴当0m ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无单调减区间；当0m >时，()f x 的单调增区间是1(0,)m ，单调减区间是1(,)m +∞. ……………………5分（II ）由（I ）知，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(e)ln 1(1)0f e me m m e =-+=+->，∴()0f x ≤在(0,)+∞上不恒成立； …………6分当0m >时，由（I ）得max 1()()ln 1f x f m m m==--+， 若使()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，只需ln 10m m --+≤， ………………………7分CE B D A 令()ln 1g m m m =--+，1()m g m m-'=，∴当(0,1)m ∈时，()0g m '<， 当(1,)m ∈+∞时，()0g m '>，min ()(1)0g m g ==，∴只有1m =符合题意，综上，1m =. …………………………………9分（III ）由（II ）知1m =，∴ln()()ln ln 1111bf b f a b a a b b a b a a a--=-=⋅----， ∵0b a >>，∴1b a >，由（II ）得，当(0,)x ∈+∞时，ln 1x x ≤-， …………………10分 ∴ln 1b b a a ≤-，∵1b a >，∴ln11b a b a ≤-，∵10a >，∴ln 11111b a b a a a ⋅-≤--， ∴()()11f b f a b a a-≤--. …………………………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证：（I ）连结DE ，∵四边形ACED 为圆的内接四边形，∴BCA BDE ∠=∠, ………………1分又CBA DBE ∠=∠，∴BDE ∆∽CBA ∆， ∴CADE BA BE =，∵AC AB 2=， ∴DE BE 2=， …………………………3分又CD 是ACB ∠的角平分线，∴DE AD =，从而AD BE 2=. ……………………………5分（II ）由已知得22==AC AB ，设t AD =， ……………………………6分由割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅, ……………………………7分 即22)(⋅=⋅-AD BA AD AB ，∴222)2(⋅=⋅-t t ，解得32=t ，即32=AD . ……………………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）曲线C 的普通方程为12622=+y x , (1)分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==t y t x 21223代入上式整理得0442=+-t t ，解得2=t ， ……………………………3分故点T 的坐标为)1,3(，其极坐标为)6,2(π. (5)分 （II ）依题意，坐标变换式为⎩⎨⎧='='yy x x 3 (6)分故W 的方程为12)3(622=+y x ，即622=+y x , …………………………7分 当直线m 的斜率存在时,设其方程为)3(1-=-x k y ，即013=+--k y kx ， 由已知圆心)0,0(到直线m 的距离为3， 故31132=++-k k ，解得33-=k ，此时直线m 的方程为233+-=x y ， 当直线m 的斜率不存在时，其方程为3=x ，显然成立. 故直线m 的极坐标方程为3cos =θρ或2cos 33sin =+θρθρ. …………………10分 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-+--≤+-=1,1311,31,13)(x x x x x x x f . (1)分当1-≤x 时，由413<+-x 得1->x ，此时无解；当11≤<-x 时，由43<+-x 得1->x ，∴11≤<-x ；当1>x 时，由413<-x 得35<x ，∴351<<x . …………………………4分综上，所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-351x x . …………………………5分（II ）由（I ）的函数解析式可以看出函数)(x f 在)1,(-∞单调递减，在),1(+∞单调递增，故)(x f 在1=x 处取得最小值，最小值为2)1(=f ， ………………………7分 不等式1)(+≥a x f 对任意的R x ∈恒成立等价于12a +≤，即212≤+≤-a ，解得13≤≤-a ，故a 的取值范围为{}13≤≤-a a .………………10分。

黑龙江省大庆实验中学2014届高三高考最后一次冲刺模拟考试文科数学试题本试卷分为第I 卷和第2卷两局部，共2页。

考试时间120分钟，总分为150分。

须知事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第l 卷每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3、第2卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4． 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷〔选择题〕一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，{1,3,9}B =，x A ∈，且x B ∉，如此x = 〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数13i1i+-对应的点位于 〔 〕 A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的答案是( )A ．直线l 过点(x －，y －)B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定一样4. 假设01a <<，log (1)log a a x x -<，如此 〔 〕A ．01x <<B ．12x <C ．102x <<D ．112x << 5．函数2cos 2sin y x x =+，R ∈x 的值域是 〔 〕A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]6．假设,a b 表示直线，α表示平面，且b α⊂，如此“//a b 〞是“//a α〞的 〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 在ABC ∆中，10,(),3,42CA CB CD CA CB CA CB ==+==，如此向量CD 与CB 夹角余弦值为A ．51B ．52C ．53 D ．54 8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3,cos )m b c C =-，(,cos )n a A =，//m n ，如此cos A 的值等于( )A.36B.34C.33D.329.某几何体的三视图如下列图，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，如此该几何体的体积为 〔 〕A ．43π3+ B ．3283π3+ C ．323π3+ D ．433π3+ 10．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．假设圆C ：222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点，如此r 的取值范围是 〔 〕 A ．[22,25]B ．(22,32]C ．(0,22)(25,)+∞D ．(0,32)(25,)+∞11．设R a ∈，假设函数x ey ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，如此 〔 〕 A ．3->a B.3-<a C. 31->a D. 31-<a12．点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、正视图 侧视图 俯视图 〔第6题〕右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 两条渐近线相交,M N 两点〔如图〕，点N 恰好平分线段2PF ，如此双曲线的离心率是 〔 〕 A ．5 B ．2 C ．3 D ．2第II 卷〔非选择题〕二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分． 13．设数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=，如此5a =． 14．假设某程序框图如下列图，如此运行结果为．15．两点(10)A ，，(0)B b ，，假设抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，如此b ＝_________ ．16．点(3,0)A -和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P 〔异于,A B 〕是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，(0)PE ED λλ=>，直线PA 与BE 交于C ，如此当λ=时，||||CM CN +为定值．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．〔此题总分为12分〕在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+． 〔I 〕求角C ； 〔II 〕求c ba +的取值范围．18．〔此题总分为12分〕某校高三年级在5月份进展一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：[)0,400 [)400,480 [)480,550 [)550,750文科考生 67 35196理科考生53xyz用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进展质量分析，其中文科考生抽取了2名．〔 I 〕求z 的值；〔II 〕图6是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差；〔Ⅲ〕该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1:2，不低于400分的文科理科考生人数之比为2:5，求x 、y 的值．19．〔此题总分为12分〕如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，G 是AC 中点，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥． 〔I 〕求证：BCE AE 平面⊥；〔II 〕求三棱锥BGF C -的体积．20．〔此题总分为12分〕如图，抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P是抛物线1C 上的动点．〔I 〕求抛物线1C 的方程与其准线方程；〔II 〕过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值． 21．〔此题总分为12分〕R a ∈，函数()ln (1)f x x a x =--．〔I 〕假设11a e =-，求函数|()|y f x =的极值点；〔II 〕假设不等式22(12)()ax a ea xf x e e+-≤-+恒成立，求a 的取值范围．〔e 为自然对数的底数〕请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，如此按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22. 〔本小题总分为10分〕 《选修4——1:几何证明选讲》开始i 输出结束是否?49<s 1=i 0=s is s 1+=1+=i i 〔第14题〕OxyPMN 1C 2C 〔第20题〕2 4 13如图，,,A B C 是圆O 上三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交圆O 于D ，过B 做直线BE 交AD 延长线于E ，使BD 平分EBC ∠.〔I 〕求证：BE 是圆O 的切线；〔II 〕假设6AE =，4AB =，3BD =，求DE 的长. 〔本小题总分为10分〕 《选修4——4:坐标系与参数方程》在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕．在极坐标系〔与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴〕中，圆C的方程为2sin 10ρθ--=. 设圆C 与直线l 交于点A ，B，且(0,P .〔I 〕求AB 中点M 的极坐标； 〔II 〕求|PA |＋|PB |的值.24．〔本小题总分为10分〕 《选修4——5:不等式选讲》函数()12f x m x x =----，R ∈m ，且(1)0f x +≥的解集为[]1,0. 〔I 〕求m 的值；〔II 〕假设R ,,,,,∈z y x c b a ，且222222,x y z a b c m ++=++= 求证: 1ax by cz ++≤.文科数学 参考答案一、选择题1．B ；2．B ；3．A ；4．C ；5．A ；6．D ；7．D ；8．C 9．A ；10．C ；11．B ．12．A二、填空题13．81； 14．5； 15．15,3-； 16．81．三、解答题17．解：〔I 〕C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+，…3分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…6分〔II 〕C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…9分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ．故，cba +的取值范围是]2,1(．…12分 18. 解：〔I 〕依题意2526z-=，∴9z =………………………………………………………3分〔II 〕1111201251281321341256x +++++==………………………………………5分 ∴这6名考生的语文成绩的方差()()()()()()222222211111251201251251251281251321251341256s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-⎣⎦22222211450379606⎡⎤=⨯+++++=⎣⎦…………………………………………………8分 〔Ⅲ〕依题意196192y +=+，35196295x y ++=++…………………………………………………10分 解得100,41x y ==……………………………………………………………………………12分 19．〔I 〕证明： ABE AD 平面⊥，BC AD // ∴ABE BC 平面⊥，如此BC AE ⊥又 ACE BF 平面⊥，如此BF AE ⊥ ∴BCE AE 平面⊥ 解： BFD AE 平面//∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点∴FG AE //且121==AE FGACE BF 平面⊥∴CE BF ⊥∴BCE Rt ∆中，221===CE CF BF ∴12221=⋅⋅=∆CFB S ∴3131=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFGC20． 解：〔I 〕1C 的焦点为)2,0(pF ，…1分所以102+=p，2=p ．…2分故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…4分〔II 〕设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ， 如此PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ． 同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ．…6分 MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-， 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …8分 所以直线MN 的方程为222t tx y -+=． …10分于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=．令)1(412≥+=s t s ，如此366216921=+≥++=s s d 〔当3=s 时取等号〕． 所以，d 的最小值为3．…12分21． 解：〔I 〕假设11-=e a ，如此11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．…1分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ．…3分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…4分〔II 〕不等式e x ea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…〔*〕设a e x a e ax x x g ++-+=)21(ln )(22，如此e ae ax x x g 2121)('2+-+=〔0>x 〕 xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …6分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立．…8分②当0>a 时，x e e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe a e x --=．令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，如此当1x x >时，2212e a ex ea >-；再令1)(2=-e a e x ，解得e a e x +=22，如此当2x x >时，1)(2>-e a e x ．取),max(210x x x =，如此当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立〞矛盾． 综上所述，0≤a ．…12分22.(I )证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.〔第21题〕又BGC BAC ∠=∠，EBCBGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠=,∴90GBC EBC ∠+∠=,∴OB BE ⊥. ……………5分∴BE 是圆O 的切线.〔II 〕由〔1〕可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分 由切割线定理得：2BE DE AE =⋅278DE ∴=. ……………10分 23.由223sin 10ρρθ--=，得222310x y +--=，即(2234x y +=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2333⎛-- ⎝＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩,…………6分 12t 2,t 4.==解得〔I 〕1232t t +=，∴33,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴点M 的极坐标为3,6π⎫⎪⎭. ………………8分 〔II 〕又直线l 过点，故由上式与参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分 24.(I )(1)0f x +≥，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时， ①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立. ③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x . 综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x.由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m，1=∴m . ……………………………5分(II )222x a ax +≥,222y b by +≥,222z c cz +≥,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤…………………………10分。

2014年黑龙江省大庆实验中学高考数学最后一卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，x∈A，且x∉B，则x=（）A.1B.2C.3D.9【答案】B【解析】解：∵x∈A，∴x的可能取值是1，2，3．∵x∉B，∴x的值不能取1，3，9，∴x=2．故选B．先由x∈A，确定出x的取值范围，再由x∉B，去掉不满足条件的x，从而得到x的值．本题考查元素与集合的关系，解题时要注意全面考虑，不重复，不遗漏．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：∵复数===+，它对应的点的坐标为（，），此点位于第二象限，故选B．利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为+，可得它的坐标，从而得出结论．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.已知0＜a＜1，log a（1-x）＜log a x，则（）A.0＜x＜1B.x＜C.0＜x＜D.＜x＜1【答案】C【解析】解：由题意0＜a＜1，log a（1-x）＜log a x可知1-x＞x＞0，解得＜＜．故选C．通过对数函数的单调性，转化不等式为一次不等式，然后求解即可．本题考查对数函数的单调性的应用，注意对数函数的定义域，考查计算能力．4.函数y=cos2x+sin2x，x∈R的值域是（）A.[0，1]B.，C.[-1，2]D.[0，2]【答案】A【解析】解：因为函数y=cos2x+sin2x=cos2x+-cos2x=cos2x．因为x∈R，所以cos2x∈[-1，1]，所以cos2x∈[0，1]．故选A．利用二倍角的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数的值域．本题考查三角函数的恒等变换，二倍角的余弦函数的应用，值域三角函数的值域是解题的关键，考查计算能力．5.在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A.20B.-20C.10D.-10【答案】D【解析】解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是1×+（-2）•=-10，故选D．根据二项式的结构特征可得x3的系数是1×+（-2）•，运算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为2的圆锥，下部是半径为1的球，所以圆锥的高为：，所以组合体的体积为：=．故选A．通过三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图与组合体的关系，判断组合体的是由那些简单几何体构成是解题的关键，考查计算能力与空间想象能力．7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=（b-c，cos C），n=（a，cos A），A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵∥∴（b-c）cos A-acos C=0，再由正弦定理得sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A∴sin B cos A=sin（C+A）=sin B，即cos A=．故选C根据两个向量平行的条件，写出坐标形式的表达式，得到关于三角形角和边的关系，再由正弦定理变化整理，逆用两角和的正弦公式，得到角A的余弦值．通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．8.设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A.[2，2]B.（2，3]C.（3，2]D.（0，2）∪（2，+∞）【答案】D【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M（1，1），N（2，2），P（1，3）∵圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0），表示以C（-1，-1）为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM==2，CP==2∴当0＜r＜2或r＞2时，圆C不经过区域D上的点故选：D作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（-1，-1）为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．9.若a，b表示直线，α表示平面，且b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件D【解析】解：因为a，b表示直线，α表示平面，且b⊂α，当a∥b时，若a⊂α，则不能推出a∥α；反之，当a∥α时，a，b可能平行也可能异面，故“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件．故选D在题目的前提下，a∥b时，若a⊂α，则不能推出a∥α；当a∥α时，a，b可能平行也可能异面，由充要条件的定义可得答案．本题考查充要条件的判断，涉及直线和平面平行的性质和判定，属基础题．10.已知，圆x2+y2=π2内的曲线y=-sinx，x∈[-π，π]与x轴围成的阴影部分区域记为Ω（如图），随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域Ω的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=-sinx与x轴围成的区域为Ω，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=-2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域Ω内的概率P=．故选A．先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx 与x轴围成的区域的面积，从而可求概率．本题考查利用积分求解曲面的面积，几何概型的计算公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11.已知点P是双曲线C：＞，＞左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率为，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①由①②消去t，得，又c2=a2+b2，∴a2=（b-a）2，即b=2a，∴双曲线的离心率是=，故选A．在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF1，从而得到∠PF1F2正切值，可设PF2=bt．PF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于基础题．12.已知方程在（0，+∞）有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，要使方程＞在（0，+∞）有两个不同的解，则y=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|sinx|在，内相切，且切于点（β，-sinβ），由，，故选C．利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，直线与曲线相切的转化，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，则a5= ______ ．【答案】81【解析】解：由数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，可知数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数∴=81．故答案为81．由已知可得数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．14.若某程序框图如图所示，则运行结果为______ ．【答案】5【解析】解：框图首先给循环变量i和累加变量S分别赋值1和0，然后执行S=0+；判断1＜，执行i=1+1=2，S=1+；判断＜，执行i=2+1=3，S=；判断＜，执行i=3+1=4，S=；判断＜，执行i=4+1=5，S=；判断＞，不满足判断框中的条件，输出i=5，算法结束．故答案为5．算法在给出循环变量i和累加变量S分别赋值1和0的基础上，首先执行了依次运算，然后逐次判断执行，直到不再满足判断框中的条件结束算法，输出i的值．本题考查了程序框图中的循环结构，虽先执行了一次运算，实则是当型结构，当型结构是满足条件执行循环，不满足条件，算法结束，是基础题．15.甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为______ ．【答案】【解析】解：乙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成3人一团，从五个位置中选3个相邻的位置共有3种方法，而甲乙可互换又有两种，则有2×3×2=12，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，其余的三个位置随便排A33种结果根据分步计数原理知共有2×2×1×2×3=24根据分类计数原理知有12+24=36，故答案为：36．本题限制条件比较多，可以分类解决，乙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成3人一团，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，根据分类和分步原理得到结果．站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先排限制条件多的元素，本题解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．16.已知点A（-3，0）和圆O：x2+y2=9，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P（异于A，B）是圆O上的动点，PD⊥AB于D，＞，直线PA与BE交于C，则当λ= ______ 时，|CM|+|CN|为定值．【答案】【解析】解：由题意可得B（3，0），M（-1，0）、N（1，0），设点P（x0，y0），则点E（x0，）．故PA的方程为y=•（x+3）…①，BE的方程为y=（x-3）…②．由①②联立方程组可得y2=（x2-9）．把=9-代入化简可得+=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．此时，a=3，c=1，b=，由a2-b2=c2可得9-=1，求得λ=，故答案为．设点P（x0，y0），则点E（x0，），用点斜式求出PA、BE的方程，联立方程组求得点C满足的关系式，为+=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．再根据a2-b2=c2可得λ的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，椭圆的定义和简单性质的应用，求两条直线的交点坐标，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：=，化简得a2+b2-ab=c2，即a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵C为三角形的内角，∴C=；（Ⅱ）==[sin A+sin（-A）]=2sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，则的取值范围是（1，2]．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cos C，将得出的关系式变形后代入求出cos C的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；（Ⅱ）所求式子利用正弦定理变形，将sin C的值代入，整理为一个角的正弦函数，由A 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域求出范围即可．此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．18.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X为取出3球中白球的个数，已知．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及其数学期望．解：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则，即，解得n=6．故袋中白球的个数为6；（Ⅱ）由（I）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．随机变量X的取值为0，1，2，3．则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=．随机变量X的分布列如下：．【解析】（I）设袋中有白球n个，利用古典概型的概率计算公式即可得到P（X=3）=，解出即可；（II）由（I）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．随机变量X的取值为0，1，2，3．利用超几何分布P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即可得出．熟练掌握古典概型的概率计算公式和超几何分布的概率计算公式是解题的关键．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB丄平面PAD，PD=AD，E为PB的中点，向量，点H在AD上，且（Ⅰ）EF∥平面PAD．（Ⅱ）若PH=，AD=2，AB=2，CD=2AB，（1）求直线AF与平面PAB所成角的正弦值．（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点Q，连结EQ、DQ，则∵E是PB的中点，∴EQ∥AB，且，又∵，∴DF∥AB，且，∴EQ∥DF，且EQ=DF，∴四边形EQDF为平行四边形，∴EF∥QD，又∵EF⊄平面PAD，且DQ⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（1）由，得PH⊥AD，（Ⅱ）解：∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PH，又AD∩AB=A，∴PH⊥平面ABCD，在平面ABCD内过点H作HG∥AB，∴HG⊥平面PAD，以H为原点，分别以HA，HG，GP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系H-xyz，∵PD=AD=2，∴在R t△PHD中，，∴H为AD中点，则A（1，0，0），，，，B（1，2，0），，，，F（-1，1，0），∴，，，设平面PAB的一个法向量为，，，∵，，，，，，由，得，∴，令，得x=3，y=0．∴，，设直线AF与平面PAB所成的角为θ，则＜，＞==∴直线AF与平面PAB所成角的正弦值为．设平面PBC的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），，，，，，，由，得到由，得到-2x1+2y1=0，令x1=1，则，，所以，，，∴＜，＞=，所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为．【解析】（Ⅰ）证明EF∥平面PAD，是证线面平行，可想到在平面PAD内找到一条与EF平行的直线，由E为PB的中点，想到取PA的中点Q，通过三角形的中位线知识证明四边形EFDQ为平行四边形，从而证出EF∥DQ，则证出EF∥平面PAD．（Ⅱ）（1）由已知条件证出PH⊥平面ABCD，在平面ABCD内过H作AB的平行线后得到三条两两互相垂直的线段，然后以H为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量，则向量与平面PAB的法向量所成角的余弦值的绝对值为直线AF与平面PAB所成角的正弦值．（2）求出平面PAD与平面PBC的法向量，由两个法向量所成角的余弦值求平面PAD 与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值．本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面所成角的求法，考查了二面角的平面角的求法，利用空间向量求线面角时，平面的斜线上任一向量与平面的任意一法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线和平面所成角的正弦值，此题是中档题．20.如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=x2+1上，点P是抛物线C1上的动点．（Ⅰ）求抛物线C1的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P作抛物线C2的两条切线，M、N分别为两个切点，设点P到直线MN的距离为d，求d的最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C1的方程为x2=2py，∴抛物线的焦点为，，…（2分）∵抛物线：的焦点在抛物线C2上∴，可得p=2．…（4分）故抛物线C1的方程为x2=4y，其准线方程为y=-1．…（6分）（Ⅱ）设P（2t，t2），，，，，可得PM的方程：，∴点P坐标代入，化简得，即．同理可得PN：，得．…（8分）由得x1、x2是方程的两个实数根，∴x1+x2=4t，x1x2=2t2-2．…（*）∵MN的方程：，∴化简整理，得代入（*）式，可得MN的方程为y=2tx+2-t2．…（12分）于是，点P到直线MN的距离．令s=1+4t2（s≥1），则（当s=3时取等号）．由此可得，当P坐标为（，）时，点P到直线MN的距离d的最小值为．…（15分）【解析】（I）由题意抛物线C1的焦点为抛物线C2的顶点（0，1），由此算出p=2，从而得到抛物线C1的方程，得到C1的准线方程；（II）设P（2t，t2），，，，，用直线方程的点斜式列出直线PM方程并将点P坐标代入，化简可得，同理得到．然后利用一元二次方程根与系数的关系，算出x1+x2=4t，x1x2=2t2-2，将直线MN的两点式方程化简并代入前面算出的式可得MN的方程为y=2tx+2-t2．最后利用点到直线的距离公式列式，采用换元法并且运用基本不等式求最值，即可算出P到直线MN的距离d的最小值为．本题给出抛物线C1的焦点为抛物线C2的顶点，求抛物线C1的方程并讨论过抛物线C1上动点P作抛物线C2的两条切线的问题．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．21.已知a∈R，函数f（x）=lnx-a（x-1）．（Ⅰ）若a=，求函数y=|f（x）|的极值点；（Ⅱ）若不等式f（x）≤-恒成立，求a的取值范围．（e为自然对数的底数）【答案】解：（Ⅰ）若，则，．当x∈（0，e-1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e-1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．又因为f（1）=0，f（e）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0；当x∈（1，e-1）时，f（x）＞0；当x∈（e-1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f（x）＜0．故y=|f（x）|的极小值点为1和e，极大值点为e-1．（Ⅱ）不等式，整理为．…（*）设，则（x＞0）==．①当a≤0时，2ax-e＜0，又x＞0，所以，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减．从而g（x）max=g（e）=0．故，g（x）≤0恒成立．②当a＞0时，=．令，解得，则当x＞x1时，＞；再令，解得，则当x＞x2时，＞．取x0=max（x1，x2），则当x＞x0时，g'（x）＞1．所以，当x∈（x0，+∞）时，g（x）-g（x0）＞x-x0，即g（x）＞x-x0+g（x0）．这与“g（x）≤0恒成立”矛盾．综上所述，a≤0．【解析】本题（1）先求f（x）的导函数，利用导函数值的正负得到f（x）的单调性，通过特殊点（1，0），（e，0）得出函数f（x）值的正负情况，根据绝对值函数的特征，求出|f（x）|的极值点；（2）将原关系式转化为恒成立问题，利用导函数求最值，解不等式得到本题结果．本题考查了导函数的综合应用，还考查了分类讨论的数学思想．本题思维质量高，计算量大，属于难题．22.如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE交AD延长线于E，使BD平分∠EBC．（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．【答案】（1）证明：连接BO并延长交圆O于G，连接GC，∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，∴∠EBC=∠BAC．又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，∵∠GBC+∠BGC=90°，∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．∴BE是圆O的切线．…（5分）（2）由（1）知△BDE∽△ABE，，∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，∴．…（8分）由切割线定理得BE2=DE•AE，∴．…（10分）【解析】（1）连接BO并延长交圆O于G，连接GC，由已知条件推导出∠GBC+∠EBC=90°，从而得到OB⊥BE．由此能证明BE是圆O的切线．（2）由（1）知△BDE∽△ABE，从而得到AE•BD=AB•BE，由此利用切割线定理能求出DE．本题考查圆的切线的证明，考查线段长的求法，是非曲直中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ2-2ρsinθ-1=0）．设圆C与直线l交于点A，B，且P（0，-）．（1）求AB中点M的极坐标；（2）求|PA|+|PB|的值．【答案】解：由，得，即．将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得+=4，即t2-6t+8=0，△=4＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，解得t1=2，t2=4．（1），∴，，∴点M的极坐标为，．（2）又直线l过点（0，-），故由上式及参数t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=6．【解析】运用x=ρcosθ，y=ρsinθ化简圆C的方程：ρ2-2ρsinθ-1=0，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，求出两根的关系，解出t，由中点得到（1）的直角坐标，再化为极坐标；由直线的参数的几何意义，即可得（2）．本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程中的参数的含义，属于基础题．24.已知函数f（x）=m-|x-1|-|x-2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集为[0，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m，求证：ax+by+cz≤1．【答案】解：（1）由f（x+1）≥0得|x|+|x-1|≤m．若m＜1，∵|x|+|x-1|≥1恒成立，∴不等式|x|+|x-1|≤m的解集为∅，不合题意．若m≥1，①当x＜0时，得，∴＜；②当0≤x≤1时，得x+1-x≤m，即m≥1恒成立；③当x＞1时，得，∴1＜，综上可知，不等式|x|+|x-1|≤m的解集为[，]．由题意知，原不等式的解集为[0，1]，∴解得m=1．（2）证明：∵x2+a2≥2xa，y2+b2≥2yb，z2+c2≥2zc，以上三式相加，得x2+y2+z2+a2+b2+c2≥2xa+2yb+2zc．由题设及（1），知x2+y2+z2=a2+b2+c2=m=1，∴2≥2（xa+yb+zc），即ax+by+cz≤1，得证．【解析】第（1）问中，分离m，由|x|+|x-1|≥1确定将m分“m＜1”与“m≥1”进行讨论；（2）中，可利用重要不等式将x2+a2与ax联系，y2+b2与by联系，z2+c2与cz联系．本题难度与高考相当，第（1）问考查了分段讨论法解绝对值不等式，对参数的讨论是前提；第（2）问要求学生掌握不等式的基本性质，关键是联系第一问求解．。