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高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
关于高阶微分方程的解法微积分作为数学的一个分支，是许多领域不可或缺的基础学科。
其中微分方程作为微积分的重要内容，在自然科学和工程技术领域中应用广泛。
高阶微分方程是微分方程理论中最基本的部分之一，它的解法十分重要。
一阶微分方程的解法较为简单，但是对于高阶微分方程，往往需要更多的数学工具和技巧才能解决。
常见的高阶微分方程有二阶、三阶和四阶，其解法常常依据微分方程的特点来进行分类。
一、二阶微分方程的解法：在二阶微分方程中，方程中最高阶的导数项是二阶导数，通常表示为y''。
二阶微分方程的解法分为三类：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程和变系数线性齐次方程。
（1）常系数线性齐次方程y''+by'+cy=0其中，b和c为常数。
这类方程的特征方程为λ^2+bλ+c=0特征方程的两个根分别为：λ1=(-b+√(b^2-4ac))/2aλ2=(-b-√(b^2-4ac))/2a考虑根的情况：①当根为实数且不相等时，方程的通解为y=c1e^λ1x+c2e^λ2x。
②当根为实数且相等时，方程的通解为y=(c1+c2x)e^λx。
③当根为虚数时，解可以表示为y=e^ax[c1cos(bx)+c2sin(bx)]，其中a 为实部，b为虚部。
（2）常系数线性非齐次方程y''+by'+cy=f(x)这类方程的通解由齐次方程的通解和非齐次线性方程的一个特解相加得到。
（3）变系数线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0这类方程的解法依赖于特殊函数及其性质，在现代数学中有广泛的应用。
例如，Bessel函数、Legendre函数以及超几何函数等。
二、三阶微分方程的解法：三阶微分方程是一种常见的高阶微分方程，由三个未知函数组成。
这种情况下，解决方程的方法可能涉及到不同变量的分离、非线性变换、特殊函数等方法。
（1）三阶常系数齐次方程y'''+by''+cy'+dy=0通常采用特征根法将此类方程转换成某种代数形式的方程和其解法。
高阶常系数齐次线性微分方程的解法凯歌【摘要】常微分方程是微积分学的重要组成部分，求解高阶微分方程是常微分方程的一难点问题，通常用适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
结合多年的教学经验，归纳总结给出高阶常系数齐次线性微分方程的一些求解方法，包括常系数齐次线性微分方程和欧拉方程以及可降阶的高阶微分方程等，并通过例题阐述各种方法。
%Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration. Solving Ordinary Differential equation of difficult prob-lem is the differential equations of high order. Generally, in order to achieve the purpose to solve problems, it uses an appropriate variable substitution. With many years of teaching experience, summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order, including homogeneous linear differential equation with constant coefficient, Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on, gives an example to explain a variety of methods.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-28,51)【关键词】微分方程;特征方程;欧拉方程;齐次方程【作者】凯歌【作者单位】内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特 010070【正文语种】中文求解常微分方程的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶微分方程则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
一般线性微分方程理论n阶标量的实系数线性微分方程,在变换下，化为n维矢量x的微分方程,其中是n阶实连续函数方阵，, ,;的其余元素全为零. 是实连续函数矢量.因此，利用n维矢量的线性方程一般理论给出标量的n阶线性微分方程的相应结论.(存在唯一性)定理1若, , 和在上连续，则对任何及n个数，n阶方程存在唯一满足初始条件，, 的解，它在区间上有定义.一、齐线性方程1．定理2(叠加原理) 如果, , 为齐次方程的k个解，则对任给的常数, ，线性组合也是齐次方程的解.2. 对于定义在区间上的n个函数，. 如果存在n个不全为零的常数,, 使得在上它们的线性组合，则称这n个函数在上线性相关，否则就称它们线性无关.3.设, , 是n个在上次连续可微的函数，那么行列式，(,.)称为这些函数的朗斯基行列式 (Wronskian),朗斯基行列式的值记作.定理3如果函数, . 在上线性相关，则在上它们的Wronskian 的值.定理4如果n阶齐次方程的解函数, , 在上线性无关，则它们的 Wronskian 在上无零点. 且满足关系式:.定理5n阶线性齐次方程存在n个实的线性无关解.定理6如果,, 是n个实的线性无关解，则它的通解为线性组合，其中, , 为任意实常数；而且这个通解包含了一切解.推论:n阶线性齐次方程的线性无关解的最大个数为n. 于是n阶线性齐次方程的解集构成一个n维实线性空间. 我们称任何n个实的线性无关解为它的一个基本解组. 二、非齐线性方程命题 1若为非齐次方程的解，为对应的齐次方程的解，则为非齐次方程的解.命题 2若和都是同一个非齐次方程的解，则差为对应的齐次方程的解.(非齐次方程的通解结构)定理设为非齐次线性方程的任一特解, 设,为对应的齐次方程的基本解组，则非齐次方程的通解为, 其中, 为任意常数. 且该通解包含了方程的一切解.常数变易公式: 设已知非齐次方程所对应的齐次方程的基本解为, ,则非齐次方程的一个特解可以表示为积分:，其中常(实)系数线性方程一、常(实)系数线性方程讨论n阶常(实)系数线性齐次微分方程.定义:记的多项式, 称为方程的特征多项式，特征多项式的根称为方程的特征值. 设, ，为的n个特征值(相同的根重复计算)，则.定理:方程的基本解组由以下n个解组成:若是特征多项式的k重根, 则：当时, 有形如,, , 的个解.当时, 有形如, , 的k个解.二、欧拉方程所谓 Euler 方程就是如下的线性齐次方程,其中均为实常数.解法是: 写出如下关于的n次方程(称为 Euler 方程的指数方程 (indicial equation):.求出它的所有的根, 若是k重虚根, 则有个解,, ; .若是k重实根, 则有k个解, ;这样一共可得n个线性无关实解, 即基本解组.(注意, 若时有意义, 则可将解中的绝对值号去掉, 对也一样).三、常系数线性非奇次方程求特解的比较系数法对于一般的常系数线性非齐次方程, 我们都可以用常数变易公式求特解. 但是对于一类特殊的非齐次项, 有简单的特殊方法求特解.这类非齐次项有如下一般形式:,其中和均为t的实系数多项式，是实常数. 由 Euler 公式：,这种非齐次项总可以写成某个复值函数的实部，其中，是t的复系数多项式. 实际上，.由于我们有定理：若复值函数是实常系数线性非齐次微分方程的解，则复值函数的实部是方程的解.因此，我们可以只考虑非齐次项为如下的拟多项式，(其中，是t的m次多项式)的方程.解法: 设为t的系数待定的m次多项式，若为(它也称为非齐次方程的特征方程)的k重根, 则特解有形式,(若不是特征方程的根，取, 即, 若,则.将代入方程,,两边消去得,通过比较方程两边多项式同次幂的系数求出待定的系数即得特解z. 当是虚数时,是原方程的一个特解; 当是实数时, 取z为x即可. 这就是所谓的比较系数法.高阶方程的降阶法一般非线性高阶方程或变系数线性方程都没有通用的解法，但设法降低其阶数却是一个基本原则；因为降低方程的阶数即可降低解题的难度；特别对于二阶线性变系数方程，若能找出其对应齐次方程的一个特解，则可将它降低一阶，从而求出对应齐次方程的通解，然后利用常数变易法而得到原方程的通解.1. n阶方程中不显含的情形考虑形为的方程. 若令，则降为关于y的阶方程.于是若求出通解,则经过k次积分即得通解,其中为任意常数.2. 不显含自变量t的方程考虑方程. 若以x为自变量，令为新的未知函数, 则可将它降低一阶. 实际上，这时, ,,….利用数学归纳法可以证明，可用来表示. 将这些表达式代入可得,从而把方程降低了一阶.3. 高阶齐次方程的降阶先考虑二阶变系数线性齐次方程,如果知道它的一个解，作未知函数的变换, 即变成关于z的一阶方程,由此解得,其中为任意常数. 于是原方程的通解为.因为容易看出与是两个线性无关解.一般来说，只要知道关于x的n阶线性齐次方程的k个线性无关解，.令之后即可把原方程化成一个关于z的阶的线性齐次方程, 若, 则, ,是这个z的齐次方程的个已知的线性无关解(本讲复习思考题 3). 用同样的方法, 作未知函数的变换可以把它变成一个阶的关于u的齐次方程；依次类推, 最后可得一个阶的线性齐次方程.。
