沪教版初中总复习专题训练中考总复习：一次方程及方程组--巩固练习

第三章《一次方程与方程组》单元测试一、选择题1. 与方程x +2=0的解相同的方程是( )A. 2x −3=0B. 2(x +2)=0C. 2(x −2)=4D. 2x −2(2−2x)2. 下列是一元一次方程的是( )A. 2x +y =1B. x 2+1=0C. 2x =1D. xy =13. 如果x =2是方程12x +a =−1的解，那么a 的值是A. 0B. 2C. −2D. −64. 已知二元一次方程2x −7y =5，用含x 的式子表示y ，正确的是A. y =2x+57B. x =5+7y 2C. y =2x−57D. x =5−7y 25. 若方程组{4x +3y =14kx +(k −1)y =6的解中x 与y 的值相等，则k 为( )A. 4B. 3C. 2D. 16. 二元一次方程组{x +y =5kx −y =9k的解是二元一次方程2x +3y =8的解，则k 的值为( )A. −1B. 1C. −2D. 27. 一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为每件360元，则每件服装获利( )A. 168元B. 108元C. 60元D. 40元8.一件商品按成本价提高40%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为240元.设这件商品的成本价为x元，根据题意，列方程正确的是( )A. x⋅40%×80%=240B. x(1+40%)×80%=240C. 240×40×80%=xD. x⋅40%=240×80%9.在排成每行七天的月历表中取下一个3×3方块(如图所示).若所有日期数之和为108，且n所在的是星期四，则2n+5是星期几？( )A. 星期四B. 星期六C. 星期日D. 星期一10.下列等式变形：①若a=b，则ax =bx；②若ax=bx，则a=b；③若4a=7b，则ab=74；④若ab =74，则7a=4b.其中一定正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题11.已知方程4x+5y=8，用含x的代数式表示y为______ ．12.当m=______ 时，代数式2m−13+2的值是−1．13.关于x的方程(k+1)x2+4kx−5k=0是一元一次方程，则方程的解是______ ．14.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了1.5小时.已知水流的速度是4km/ℎ，设船在静水中的平均速度为x km/ℎ，可列方程为______ ．15.若|x|=5，|y|=12，且x>y，则x+y的值为______ ．三、解答题第2页，共8页16. 为了积极开展“阳光一小时”课外活动，学校购买了一批篮球和排球，已知每个排球比篮球便宜5元，各年级分配的金额和数量如表：(1)求篮球和排球的单价及a 的值； (2)求b 、c 的值．17. 解方程组{ax +5y =15(1)4x −by =−2(2)甲由于看错了方程(1)中的a ，得到方程组的解为{x =−3y =−1；乙看错了方程(2)中的b ，得到方程组的解为{x =5y =4.求3a −√6+b的值．18.数学迷小虎在解方程2x−13=x+a3−1去分母时，方程右边的−1漏乘了3，因而求得方程的解为x=−2，请你帮小虎同学求出a的值，并且正确求出原方程的解．19.已知关于x的方程6x+2a−1=5x和方程4x+2a=7x+1的解相同，求：(1)a的值；(2)代数式(a+3)2012×(2a−97)2013的值．第4页，共8页20.列一元一次方程解应用题某自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/ℎ的速度前进，突然，1号队员以45km/ℎ的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以45km/ℎ的速度往回骑，直到与其他队员汇合，1号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了15分钟，问1号队员掉转车头时离队的距离是多少km？第6页，共8页【答案】1. B2. A3. C4. C5. C6. B7. C8. B 9. C10. A11. y =8−4x 512. −4 13. x =5414. 3(x +4)=(3+1.5)(x −4) 15. −7或−1716. 解：(1)设篮球x 元/个，排球y 元/个，根据题意，得：{y =x −53x +4y =190，解得：{x =30y =25，∴4×30+25a =220， 解得：a =4，答：篮球30元/个，排球25元/个，a =4；(2)由题意知，30b +25c =325，即b =65−5c 6，∵b 、c 均为非负整数， ∴当c =1时，b =10； 当c =7时，b =5．17. 解：将{x =−3y =−1代入方程(2)得：−12+b =−2，即b =10；将{x =5y =4代入方程(1)得：5a +20=15，即a =−1， 则3a −√6+b =−1−4=−5．18. 解：按小虎的解法，解方程得x =a ，又因为小虎解得x =−2， 所以a =−2．把a =−2代入原方程得到方程：2x−13=x−23−1，解得x =−4.即正确解方程得到x =−4．19. 解：(1)由6x +2a −1=5x 得x =−2a +1①由4x +2a =7x +1得x =2a−13②，∵关于x 的方程6x +2a −1=5x 和方程4x +2a =7x +1的解相同， ∴−2a +1=2a−13，解得：a =12； (2)当a =12时，(a +3)2012×(2a −97)2013=(12+3)2012×(2×12−97)2013 =(72)2012×(−27)2013=[72×(−27)]2012×(−27) =−27． 20. 解：设1号队员掉转车头时独自前进的时间为x 小时，则回走用的时间为(0.25−x)小时，由题意，得(45−35)x =(45+35)(0.25−x)， 解得：x =29．∴1号队员掉转车头时离队的距离是：(45−35)×29=209km．答：1号队员掉转车头时离队的距离是209km．第8页，共8页。

《一次方程与方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．理解方程，等式及一元一次方程、二元一次方程组的概念，并掌握它们的区别和联系；2．会解一元一次方程及二元一次方程组，并理解每步变形的依据；3．会根据实际问题列方程或方程组解应用题．【知识网络】【要点梳理】要点一、方程及方程组的相关概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．3．二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“一元”就是指方程中只含有一个未知数；“二元”就是指方程中有且只有两个未知数．（2）无论是一元一次方程还是二元一次方程，未知数的次数都为1，是指含有未知数的项（单项式）的次数是1．（3）未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数，二元一次方程的左边和右边都必须是整式．4．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式．5．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩．6． 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解．（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个．7．三元一次方程组：由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．要点诠释：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组． 要点二、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式． 2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式，即：如果，那么,a c b c a c b c +=+-=-等式的性质2：等式的两边都乘同或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即：如果，那么；(0)c ≠．等式的性质3：如果，那么b a =．（对称性） 等式的性质4：如果，b c =，那么a c =．（传递性） 要点诠释：（1）根据等式的性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立；（3）等式的性质4中一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．3．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边．这种变形过程叫做移项． 要点诠释：移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项． 要点三、方程及方程组的解法 1．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解．要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法．如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法．整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率．（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可．要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单．3．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点四、方程及方程组的应用 1．常见类型：行程问题：路程＝速度×时间和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+ 2．实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、方程及方程组的相关概念1．已知方程(3m-4)x 2-(5-3m)x-4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】解：因为方程(3m-4)x 2-(5-3m)x-4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程， 所以3m-4＝0且5-3m ≠0． 由3m-4＝0解得43m =，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，解得83x =-．所以43m =，83x =-．【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x 2-(5-3m)x-4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m-4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三：【变式】如果5(x+2)＝2a+3与(31)(53)35a x a x +-=的解相同，那么a 的值是________． 【答案】711提示 ：由5(x+2)＝2a+3，解得275a x -=． 由(31)(53)35a x a x +-=，解得95x a =-． 所以27955a a -=-，解得711a =．2．在下列方程中，只有一个解的是（ ）A ． 1330x y x y +=⎧⎨+=⎩B ． 1332x y x y +=⎧⎨+=-⎩C ． 1334x y x y +=⎧⎨-=⎩D ． 1333x y x y +=⎧⎨+=⎩【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C ．【解析】选项A 、B 、D 中，将方程1x y +=，两边同乘以3得333x y +=，从而可以判断A 、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C ． 【总结升华】在111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 均不为零），（1）当121222a a c a b c =≠时，方程组无解；（2）当121222a a c a b c ==，方程组有无数组解； （3）当1222a a ab ≠，方程组有唯一解． 举一反三： 【变式】已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩有无数多个解，则a 、b 的值等于 ．【答案】a ＝﹣3，b ＝﹣14． 类型二、方程及方程组的解法3．解关于x 的方程：11()(2)34m x n x m -=+ 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系． 【答案与解析】解：原方程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+当34m ≠时，原方程有唯一解：4643mn m x m +=-； 当33,42m n ==-时，原方程无数个解；当33,42m n =≠-时，原方程无解；【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax b =，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明． 举一反三：【变式】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则,,m n k 的大小关系为 ( )A ． m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>【答案】A提示：方程无解m ＞0，只有一个解n=0，有两个解k ＜0.4．解方程：|x-1|+|x-3|=3【思路点拨】分别讨论①x＜1，②1＜x ＜3，③x＞3，根据x 的范围去掉绝对值符号，解方程即可．【答案与解析】解：当x ＜1时，原方程就可化简为：1-x+3-x=3，解得：x=0．5； 第二种：当1＜x ＜3时，原方程就可化简为：x-1-x+3=3，不成立； 第三种：当x ＞3时，原方程就可化简为：x-1+x-3=3，解得：x=3．5； 故x 的解为0．5或3．5．【总结升华】解含绝对值的方程的关键，就是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，化它为一般的方程，从而解决问题，注意讨论x 的取值．5．解方程组2()5335()322x y y x y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩①②【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关于y 的一元一次方程．【答案与解析】解：由①×9得：6(x-y)+9y ＝45 ③ ②×4得：6(x-y)-10y ＝-12 ④ ③-④得：19y ＝57， 解得y ＝3．把y ＝3代入①，得x ＝6．所以原方程组的解是63x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果． 举一反三：【变式】方程2311x y x y --+++=的整数解的个数是 ． 【答案】2组提示：把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是1与0，于是一个方程裂变为多个方程组，通过解方程组来求解的个数． 类型三、方程及方程组的应用6．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变． 【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为y 千米，则有：151530601860y y +=-，解得：452y =由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为4515213060+=(小时)．李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千米/时, 则有：452271010116060y x ===--(千米/时)答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．7． 已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案与解析】 解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨， 依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩答：1辆A 型车装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨．（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31， ∴3143ba -=∵a 、b 都是正整数 951147a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆； 方案二：A 型车5辆，B 型车4辆； 方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．（3）∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次，∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元） 方案二需租金：5×100+4×120=980（元） 方案三需租金：1×100+7×120=940（元） ∵1020＞980＞940∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元． 【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数． 举一反三：【变式】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克.(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】解：（1）18970249-⨯= （元） 答：乙班比甲班少付出49元．（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果x 、y 千克，则依据题意得：①当030x ≤≤，3050y ≤≤，则有：703 2.5189x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2842x y =⎧⎨=⎩，经检验满足题意； ②当030x ≤≤，50y >，则有：7032189x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：4921x y =⎧⎨=⎩，经检验不满足题意；③当3050x ≤≤，3050y ≤≤，则有：2.570175189⨯=≠，不满足题意． 答：甲班第一次购买苹果28千克，第二次购买42千克．。

・沪科版七年级上册数学第三单元一次方程与方程组专项训练.doc1、方程2 （x +1）二4x-8的解是（）答案C 解析2、足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分, 了 14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（A. 3场B. 4场 答案C 解析Jx+y = 43、如果lx-（^-l>y = 6中的解％、 A. 1B. - 1答案B 解析C. 5场D. 6场y 相同, 则m 的值是（) C. 2D. —2x+w =4,4、・由方程组b = 可得出X 与F 的关系是（ A.兀+3=1 B.C.兀+[=7答案C 解析5、代数式与代数式k +3的值相等时，k 的值为（ 答案B解析6、 若关于x 的方程2x —4=3m 和x+2二m 有相同的根，则m 的值是（）B. -3C. 5D. -5负一场得0分，一队打 ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10A. 10B. -8C. -10D. 8答案B解析（3x+5y = w + 27、若方程组〔2x+3y = w的解*与$的和为0,则的的值为（）A. —2B. 0C. 2D. 4答案C 解析x —v = 5•r8、.用加减法解方程组1x- V = - 1中，消x用法，消y用法()A.力n,力nB.加, 减C.减，加D.减，减答案c解析2—1 、------- =1 —3-x9、把方程48去分母后，正确的结果是()A. 2x-l = l-(3-x)B.心》亠（3-力C 2(2x-l)=8-3-x D. 2(2—)二= 8-(3-x)答案【）解析:ax+by=4\=210、方程组］bx+ay=5的解是卜勻, 则a+b=O 答案3解析11、•若5x —5的值与2x —9的值互为相反数，则x= __________________ o答案2解析考点：解一元一次方程；相反数.分析：由5x-5的值与2x-9的值互为相反数可知：5x-5+2x-9=0,解此方程即可求得答案.解答：解：由题意可得：5x-5+2x-9=0,・・・7x二14,/. x=2.点评：本题比较简单，考查了相反数的性质以及一元一次方程的解法.12、关于*的方程2(—1)-° = °的解是3,则。

二元一次方程组专题训练知识目标：1、掌握三元一次方程组、轮换对称形的方程组的解法2、掌握同解问题、错解问题、整数解问题的解法3、灵活运用分类讨论思想、还原思想1、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程。

例如.，x ＋2y ＝5，u －2v ＝0,3m ＝21n 等,都是二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，例如.⎩⎨⎧=-=+5322y x y x ，⎩⎨⎧==+123x y x 等都是二元一次方程组。

3、二元一次方程组的基本解法方法1：代入消元法： 方法2：加减消元法：巩固练习：解基本二元一次方程组 解下列二元一次方程组： （1）⎩⎨⎧=+=7212y -x y x （2）⎩⎨⎧=--=+89413t 2s t s（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-120944151)2(3.0-1x y x y （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y例1：解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-35232123z x z y y x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++123272y x 13z 2y x 3z y x z练习： 解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==++=+1z -y -57x z y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++13398245c b a c b a c b a例2:解方程组：（1）⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++623632632z y x z y x z y x练习： 解方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+673317831733y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+92827y x 2x z z y例3已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+87ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==32y x ，那么关于m 、n 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-++=-++8)()(7)()(n m a n m b n m b n m a 的解是 。

中考总复习一次方程及方程组--巩固练习一次方程及方程组是中学数学中的重要内容，也是中考考查的重点之一、巩固练习是学好这一部分知识的关键。

下面给出一些中考总复习一次方程及方程组的巩固练习题，供同学们参考。

一、选择题1.以下哪个是方程y＝3x-2的解？A.(1,1)B.(2,4)C.(-1,2)D.(-2,8)2.若一次函数y＝3x＋1，求使y＞0的x的取值范围。

A.x＞－1/3B.x＜－1/3C.x＞1/3D.x＜1/33.解一元一次方程2x-5＝3(x-1)，得到x＝？A.-1B.2C.4D.54.解一元一次方程3(2x-5)+4＝8x-3(2x+1)，得到x＝？A.2B.3C.4D.55.解一元一次方程9-(5-3x)=3(2+x)-2，得到x＝？A.-2/7B.-3/5C.-7/2D.-5/3二、填空题1.解一元一次方程3x-2=4x-1，得到x＝____。

2.解一元一次方程3(x-1)-2(x-3)=4-2x，得到x＝____。

3.解一元一次方程5-(2x-3)=3-(4-2x)，得到x＝____。

4.解下列方程组，求得(x,y)的值：3x+5y=154x-3y=6三、解答题1.解方程3(2m＋1)+4＝5(2m-1)。

2.学校三年级共有学生x人，四年级共有学生y人，已知两个年级总共有300人，且四年级比三年级多9人。

求解这个方程组并判断它的解的情况。

x+y=300y=x+9四、综合题商场为了促销，打算对衣服进行特价处理，每件衣服减价a元。

已知原来一件衣服的价格是70元，打折后一个人花b元就可以买到一件衣服。

小明和小红两人一起买了这件衣服，小明给出了70元，小红还交了c元。

如果我们假设一共有d个人买了这件衣服，解下列方程组求a、b、c、d的值。

70-ad=b(70-ad)+c=(d-1)(b-a)这些习题涵盖了一次方程及方程组的常见题型，通过仔细分析题意、运用解方程的方法，可以解出每道题目。

第3章一次方程及方程组专题汇编知识链接举一反三考点1：等式的性质【例1】下列等式变形：①若a=b，则ax =bx；②若ax=bx，则a=b；③若4a=7b，则ab=74；④若ab =74，则7a=4b．其中一定正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式1-1】观察图1，若天平保持平衡，在图2天平的右盘中需放入（）个○才能使其平衡．A. 5B. 6C. 7D. 8 【变式1-2】下列式子正确的是（）A. 若xa <ya，则x<y B. 若bx>by，则x>yC. 若xa =ya，则x=y D. 若mx=my，则x=y【变式1-3】下列结论错误的是( )A.若a=b，则am2+2=bm2+2B. 若am−1=bm−1，则a=bC. 若x=3，则x2=3xD. 若ax+2=bx+2，则a=b 考点2：一元一次方程的定义【例2】已知下列方程：①x−2=1x ；②0.2x=1；③x3=x−3；④x2−4−3x；⑤x=0；⑥x−y=6.其中一元一次方程有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【变式2-1】若方程（m-3）x2|m|-5+2x-3=0（m≠±52）是关于x的一元一次方程，则该方程的解为（）A. 3或−3B. −34C. −3 D. 32或−34【变式2-2】要使关于x的方程3（x-2）+b=a（x-1）是一元一次方程，必须满足（）A. a≠0B. b≠0C. a≠3D. a、b为任意有理数【变式2-3】若（|m|-1）x2-（m-1）x-8=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A.−1B. 1C. ±1D. 不能确定考点3：一元一次方程的解【例3】若关于x 的一元一次方程1-x+4a 6=5x+a 4的解是x =2，则a 的值是（ ）A. 2B. −2C. 1D. −1【变式3-1】已知关于x 的一元一次方程199x +3=2x +b 的解为x =−2，那么关于y 的一元一次方程199（y +1）+3=2(y +1)+b 的解为（ ）.A. y =3B. y =1C. y =−1D. y =−3【变式3-2】已知关于x 的方程2x ＋a ＝0的解比方程3x －a ＝0的解大5，则a 的值为（）A. 5B. −5C. 6D. −6【变式3-3】若关于x 的方程mx +23=n3−x 有无数解，则3m +n 的值为（ ）A. −1B. 1C. 2D. 以上答案都不对考点4：解一元一次方程【例4】解方程（1）3（x +1）-2（x +2）=2x +3 （2）43[32(x2−1)−3]−2x =3 （3）x -1−x 3=x+26-1 （4）0.8−9x 1.2−1.3−3x 0.2=5x+10.3．【变式4-1】解关于x 的方程：34[43（12x -14）-8]=32x +1．【变式4-2】解方程：342161152-+=+-x x x ．【变式4-3】解方程：0.1x−0.20.02−2x+10.2=0.5．考点5：解二元一次方程组【例5】解方程组：（1）{4x −3y =112x +y =13（用代入消元法） （2）{3x −4y =75x +2y =3（用加减消元法）【变式5-1】解方程组：{2x −y =57x −3y =20．【变式5-2】解方程组： {x−12+y+13=1x +y =4．【变式5-3】解方程组：{x−13−y+24=0x−32−y−13=16考点6：二元一次方程组的解【例6】王明和李亮解同一个方程组{ax +2y =1,(1)4x −by =9,(2) 急性子的王明把方程(1)中的 a 看错了，得到方程组的解为{x =11y =7 而马虎的李亮把方程(2)中的 b 看错了，得到方程组的解为 {x =3y =−4学习委员张丽说，她可以根据王明和李亮的计算结果算出这个方程组的解．你能知道张丽求出的方程组的解是多少吗？【变式6-1】已知两个方程组⎩⎨⎧-=-=+452by ax y x 和⎩⎨⎧=+=23264-5by ax y x 有公共解，求a ,b 的值.【变式6-2】已知关于x ，y 的方程组{ax +by =10mx −ny =8的解是{x =1y =2，求关于x,y 的方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=---+=--++0831210103121y x n y x m y x b y x a 的解．【变式6-3】已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=-+=+34231232k y x k y x 的解x ，y 的值满足x +y ＝6，求k ．考点7：一元一次方程之销售问题【例7】儿童商店举办庆“六⋅一”大酬宾打折促销活动，某商品若按原价的七五折出售，要亏25元；若按原价的九折出售，可赚20元.设该商品的原价为x 元．(1)若将该商品按原价的八折出售，则售价为______ 元；(用含x 的代数式表示) (2)求出x 的值．【变式7-1】华润万家商场将购进的甲商品打零售价的9折后再优惠40元，仍可获利10%，已知甲的进价为700元，则甲原来的售价为多少元？【变式7-2】某社区小型便利超市第一次用3000元购进甲、乙两种商品，两种商品都销售完以后获利500元，其进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍；乙种商品按第一次的售价销售，而甲种商品降价销售．若第二次两种商品都销售完以后获利700元，求甲种商品第二次的售价．【变式7-3】某企业生产一种产品，每件的成本为392元，售价为500元．为进一步扩大市场，该企业决定在降低成本的同时，将这种产品每件售价降低5%，这样销售量可提高8%．（1）设每件成本降低x元，则降价后每件产品的销售利润为元（用含x的代数式表示）；（2）该产品每件成本降低多少元时，能使企业在降价前后的销售利润保持不变．考点8：一元一次方程之行程问题【例8】甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．（1）甲，乙两人的速度分别是多少？（2）两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？【变式8-1】甲、乙两地相距217.5km，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两地出发，相向而行.已知慢车每小时行35km，快车每小时行65km，如果慢车先开0.5ℎ，问慢车开出后几小时两车相遇？【变式8-2】列方程解应用题．沈丹高铁于2015年9月1日正式开通，小明美滋滋的坐上漂亮的和谐号列车从本溪去丹东游玩，大约8点半途径沈丹线最长的南芬隧道.列车进入和驶出隧道用时2.5分钟，已知隧道全长7300米.隧道顶部的灯光照在列车上的时间是4秒.请你帮助小明算出列车的长度是多少？列车的行驶速度是多少？【变式8-3】已知甲、乙两人均从400米的环形跑道的A处出发，各自以每秒6米和每秒8米的速度在跑道上跑步。

备战中考数学（沪科版）巩固复习第三章一次方程与方程组（含解析）一、单选题1.假如x=2是方程x+a=﹣1的解，那么a的值是（）A.0B.2C.﹣2D.﹣62.下列方程变形正确的是（）A.将方程3x﹣2=2x﹣1移项，得3x﹣2x=﹣1﹣2B.将方程3﹣x=2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1C.将方程去分母，得2（x+1）﹣4=8+（2﹣x）D.将方程化系数为1，得x=﹣13.若方程组的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范畴是（）A.k＞4B.k＞﹣4C.k＜4D.k＜﹣44.若关于y的方程2m+y=1与3y﹣3=2y﹣1的解相同，则m的值为（）A.2B.-C.-2D.05.假如一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么如此的两位数的个数是（）A.3B.6C.5D.46.已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=-m，则m的值是（）A.2B.–2C.D.7.二元一次方程组的解为（）A.B.C.D.8.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有l20张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，得方程组（）A.B.C. D.9.已知是二元一次方程组的解，则a-b的值为（）A.-1B.1C.2D.310.方程2x-12=24-（x-1）的解为（)A.B.C.D.11.解方程组，由①②得正确的方程是（）A.3x=1B.-x=-5C.3x=-5D.x=-512.用代入法解方程组有以下步骤：①：由（1），得y=（3）；②：由（3）代入（1），得7x-2×=3；③：整理得3=3；④：∴x可取一切有理数，原方程组有许多个解以上解法，造成错误的一步是（）A.①B.②C.③D.④二、填空题13.若是方程x﹣ky=0的解，则k=________．14.写出一个一元一次方程，使得它的解为2,你写出的方程是________。

15.已知等式是关于x的一元一次方程，则m=________。

沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平方根和开平方（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】（2015•凉山州）的平方根是．【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.3、使代数式有意义的的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.举一反三：【变式】代数式＝有意义，则的取值范围是．【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 16的平方根是（）A.－4B.4C.±4D. 2562．下列各数中没有平方根的是（）A．B．0 C．D．3．下列说法正确的是（）A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3C．的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根4. 要使代数式有意义，则的取值范围是( )A．B．C．D．5.（2015•江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（）A．﹣=﹣3 B．±=3C．（）2=﹣3 D．=±36.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（）A．＋8B．－4C．－8 D．＋8二.填空题7．计算：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______；（6）______．8.的算术平方根的相反数是________.9.的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______．10．的算术平方根是______：的算术平方根的相反数是______．11．（2015春•丹江口市期末）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a= ，这个正数是．12．表示3的______；表示3的______．三.解答题13．求下列各式中的．（1）；（2）；（3）．14．（2015春•福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．15.思考题：估计与最接近的整数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2. 【答案】D；【解析】负数没有平方根.3. 【答案】B；【解析】169的平方根是，的平方根是.4. 【答案】B；【解析】被开方数为非负数.5. 【答案】A；【解析】解：A、﹣=﹣3，故A正确；B、3，故B错误；C、被开方数是非负数，故C错误；D、=3，故D错误；故选：A．6. 【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是.二.填空题7. 【答案】11；－16；；9；3；.8. 【答案】；9. 【答案】；0.01；0.10.【答案】2；－3；【解析】＝4，＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】﹣1，9；【解析】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0，解得：a=﹣1．则这个数是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9．故答案为：﹣1，9.12.【答案】算术平方根；平方根.三.解答题13.【解析】解：（1）（2）（3）14.【解析】解：原绿化带的面积：102=100（m2），后绿化带的面积：4×100=400（m2），则扩大后绿化带的边长是=20（m），答：扩大后绿化带的边长为20m．15.【解析】解：∵25＜35＜36∴即5＜＜6∵35比较接近36，∴最接近的整数是6.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】【：立方根、实数，知识要点】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.要点五、次方根如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.要点诠释：实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零，表示为.【典型例题】类型一、立方根的概念【：立方根实数，例1】1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D．【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.举一反三：【变式】（2015春•滑县期末）我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1﹣的值．【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0，而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，∴x=4，∴1﹣=1﹣2=﹣1．类型二、立方根的计算【：立方根实数，例2】2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.类型三、利用立方根解方程3、（2015春•罗平县期末）求下列各式中x的值：（1）3（x﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．【答案与解析】解：（1）3（x﹣1）3=24，（x﹣1）3=8，x﹣1=2，x=3．（2）开立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5．【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便．举一反三：【变式】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长4 .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。

沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习一次函数单元复习与巩固（提高）1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图像法），能利用图像数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图像及性质1、函数的图像如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.要点诠释：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化.2、一次函数性质及图像特征掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）要点诠释：理解、对一次函数的图像和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图像的联系与区别一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像.【典型例题】类型一、函数的概念1、（1）（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量可得y是x的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．【答案与解析】解：（1）y是x的函数，当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】解：（1）设所求一次函数的解析式为，则解得＝，＝16000．∴所求的函数关系式为＝＋16000．（2）∵48000＝＋16000．∴＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图像和性质3、若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（）A.＞0,＜0B.＞0,≤0C.＜0,＜0D.＜0,≤0【思路点拨】根据一次函数的图像与系数的关系解答.图像不经过第一象限，则k＜0，此时图像可能过原点，也可能经过二、三、四象限.【答案】D；【解析】当图像过原点时，＜0，＝0，当图像经过二、三、四象限时，＜0且＜0.【总结升华】图像不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.举一反三：【变式】一次函数与在同一坐标系内的图像可以为（）A. B. C. D.【答案】D；提示：分为＜0；0＜＜2；＞2分别画出图像，只有D答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式4、如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的解集为．【答案】；【解析】从图像上看，的图像在轴下方，且在上方的图像为画红线的部分，而这部分的图像自变量的范围在.【总结升华】也可以先求出的解析式，然后解不等式得出结果.举一反三：【变式】（2016春•抚州校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，直线与轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及的值；（2）求直线、直线与轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．【答案】解：（1）当=﹣2时，=﹣2×（﹣2）+1=5，则B（﹣2，5）．把B（﹣1，5）代入得﹣1+=5，解得=6；（2）当=0时，=1，则C（0，1）；当=0时，=+6=6，则A（0，6）所以AC=6﹣1=5，所以S△ABC=×5×2=5；（3）＜﹣2．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3，∴当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，．∴当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴，解得．即服药后得到为治病的有效时间，这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与直线关于轴对称，且与轴交于点C．已知直线的解析式为．(1)求直线的解析式；(2)D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案与解析】解： (1)由直线可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC解析式为：，则解得．∴直线BC解析式为：．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．∴，∴ OP＋PD＝PD′＋OP．∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵ OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠＝90°，∴，∴．由得∴当点P坐标为时，OP＋PD的值最小．【总结升华】(1)由直线的解析式得到A、B点的坐标，进一步得到C点的坐标，然后利用B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD值最小的点P的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线交轴于点A，交轴于点B，过B作BD⊥AB交轴于D．(1)求直线BD的解析式；(2)若点C是轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．∵ BD⊥AB，∴∠DBO＝45°，△ABD为等腰直角三角形．∴ OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)．设BD的解析式为．∵过B(8，0)，D(0，－8)∴，解得．∴ BD的解析式为(2)AC＝CE；过点C作CM⊥AB于M，作⊥BD于点N．∵ BC为∠ABD的平分线，∴ CM＝．∵∠ACE＝90°，∠M =90°∴∠ACM＝∠E ．在△ACM和△E 中∴△ACM≌△E (ASA)．∴ AC＝CE．。

沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．已知函数，当时的函数值为1，则的值为（）A．3 B．－1 C．－3 D．12.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是（）A． B． C． D．3. 下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．中，取全体实数B．中，取≠－1的实数C．中，取≥2的实数D．中，取≥－3的实数4. 若直线经过点A(2，0)、B(0，2)，则、的值是 ( )A．＝1，＝2 B．＝1，＝－2C．＝－1，＝2 D．＝－1，＝－25．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图像，下面描述符合小红散步情景的是（）A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.6. 一次函数，若＝1，则它的图像必经过点（）A、(－1,－1)B、(－1, 1)C、(1, －1)D、(1, 1)7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解为（）A． B． C． D．无法确定8.（2016春•宜阳县期中）已知正比例函数，函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（）A．B． C． D．二.填空题9. 汇通公司销售人员的个人月收入 (元)与其每月的销售量 (千件)成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元．10．观察下列各正方形图案，每条边上有 (＞2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．按此规律推断出S与的关系式为．11.（2016春•石景山区期末）已知一次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是．12.若函数的图像过第一、二、三象限，则____________.13.若一次函数中，，则它的图像不经过第________象限.14．已知直线和的交点在第三象限，则的取值范围是__________．15.已知一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________．16．一次函数图像经过原点,则的值为________.三.解答题17. 如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图像，根据图像回答问题．(1)分析图像，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；(2)指出轮船和快艇的行驶速度；(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?18．某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速平均每小时增加4千米/时，后来一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题：(1)在轴（）内填入相应的数值；(2)沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？(3)求出当≥25时，风速 (千米/时)与时间 (小时)之间的函数关系式.(4)若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？19．（2015春•高新区期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=6，O 为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=6时，求P点坐标．20.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元．小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为张. （1）写出零星租碟方式应付金额 (元)与租碟数量（张）之间的函数关系式；（2）写出会员卡租碟方式应付金额 (元 )与租碟数量 (张)之间的函数关系式；（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；2. 【答案】B；【解析】，即．3. 【答案】D；【解析】一般地，在一个函数关系式中，自变量的取值必须使函数解析式有意义；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义，选D．4. 【答案】C；【解析】将点A、B的坐标代入求得＝－1，＝2.5. 【答案】C；6. 【答案】D；【解析】当＝1时，＝1，故它的图像过点（1，1）.7. 【答案】B；【解析】当＜－1时，直线在直线的上方.8. 【答案】A；【解析】∵正比例函数，函数值随的增大而增大∴＞0，∵，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选A.二.填空题9. 【答案】1550；【解析】．当＝3.5时，＝300×3.5＋500＝1550(元)10.【答案】S＝4－4 （≥2）；11.【答案】＞﹣2；【解析】∵函数的值随值的增大而增大∴+2＞0∴＞﹣2．12．【答案】；【解析】由题意，＞0，且.13.【答案】一；14．【答案】；【解析】求出交点坐标,因为交点在第三象限，故＜0.15.【答案】；【解析】由题意：.16.【答案】－2；【解析】由题意需，，解得＝－2.三.解答题17.【解析】解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为．∵其过(8，160)可得160＝8，∴＝20．即轮船的路程和时间的函数解析式为 (0≤≤8)．设快艇的路程和时间的解析式为了∵点(2，0)，(6，160)在图像上，∴，解得．∴快艇的路程与时间的关系式为．(2)轮船的速度为20千米/时，快艇的速度为40千米/时．(3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等．∴，解得．∵ 4－2＝2，∴快艇出发2小时后赶上轮船．18.【解析】解：（1）开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，风速达到8千米/时；沙尘暴经过开阔荒漠地，风速平均每小时增加4千米/时，6小时后，风速为8＋6×4＝32千米/时，所以在轴（）内填8，32.（2）风速由32千米/时减小到0，花了32个小时沙尘暴从发生到结束，共经过25＋32＝57 小时（3）将（25，32），（57，0）代入，解得（4）从第7个小时到37个小时这30个小时都是属于强沙尘暴持续的时间 .19.【解析】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（4，0）、（x，y），∴S=×4×y=2y．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：S=﹣2x+12．（2）由（1）得S=﹣2x+12＞0，解得：x＜6；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得x的范围为：0＜x＜6．（3）∵S=6，∴﹣2x+12=6，解得x=3．∵x+y=6，∴y=6﹣3=3，即P（3，3）．20.【解析】解：（1）（2），所以，当租碟少于20张时，选零星租碟方式合算；当租碟20张时，两种方式一样；当租碟大于20张时，选会员卡租碟合算．。