四川高三数学理大一轮复习练习12.5二项分布及其应用
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二项分布及其应用要求层次重难点条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B(一) 知识内容条件概率对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =).(二)典例分析:【例1】 在10个球中有6个红球,4个白球(各不相同),不放回的依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率是( )A .35B .23C .59D .13知识框架例题精讲高考要求条件概率事件的独立性独立重复实验二项分布二项分布及其应用板块一:条件概率【例2】某地区气象台统计,该地区下雨的概率是415,刮风的概率是215,既刮风又下雨的概率是110,设A=“刮风”,B=“下雨”,求()()P B A P A B,.【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4,求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率.【例4】把一枚硬币抛掷两次,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现反面”,则()_____P B A=.【例5】抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为.【例6】设某批产品有4%是废品,而合格品中的75%是一等品,任取一件产品是一等品的概率是_____.【例7】掷两枚均匀的骰子,记A=“点数不同”,B=“至少有一个是6点”,求(|)P A B与(|)P B A.【例8】甲、乙两班共有70名同学,其中女同学40名.设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率?【例9】从1~100个整数中,任取一数,已知取出的—数是不大于50的数,求它是2或3的倍数的概率.【例10】 袋中装有21n -个白球,2n 个黑球,一次取出n 个球,发现都是同一种颜色的,问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回)⑴已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; ⑵已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率; ⑶已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的是白球的概率.【例12】 有两箱同类零件,第一箱内装50件,其中10件是一等品;第二箱内装30件,其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:⑴先取出的零件是一等品的概率;⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率.(保留三位有效数字)【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份,⑴求先抽到的一份是女生表的概率p .⑵己知后抽到的一份是男生表,求先抽到的是女生的概率q .(一) 知识内容事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立.(二)典例分析:板块二:事件的独立性cba【例14】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.⑵一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子,再从筐子中任意取出1个,取出的是梨”.⑶甲组3名男生、2名女生;乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.【例15】 从甲口袋摸出一个红球的概率是13,从乙口袋中摸出一个红球的概率是12,则23是( )A .2个球不都是红球的概率B .2个球都是红球的概率C .至少有一个红球的概率D .2个球中恰好有1个红球的概率【例16】 猎人在距离100m 处射击一只野兔,其命中率为12.如果第一次射击未命中,则猎人进行第二次射击,但距离为150m ;如果第二次又未命中,则猎人进行第三次射击,但在射击瞬间距离野兔为200m .已知猎人命中率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率.【例17】 如图,开关电路中,某段时间内,开关a b c 、、开或关的概率均为12,且是相互独立的,求这段时间内灯亮的概率.【例18】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.【例19】椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012,,的概率分别为0.4,0.5,0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.【例20】某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、2 5、15,且各轮问题能否正确回答互不影响.⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率.【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.⑴求再赛2局结束这次比赛的概率;⑵求甲获得这次比赛胜利的概率.【例22】纺织厂某车间内有三台机器,这三台机器在一天内不需工人维护的概率:第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.85,问一天内:⑴3台机器都要维护的概率是多少?⑵其中恰有一台要维护的概率是多少?⑶至少一台需要维护的概率是多少?【例23】为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12,13,16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率;⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为13和14,求:⑴两个人都译出密码的概率;⑵两个人都译不出密码的概率;⑶恰有1个人译出密码的概率;⑷至多1个人译出密码的概率;⑸至少1个人译出密码的概率.【例25】从10位同学(其中6女,4男)中,随机选出3位参加测验,每位女同学能通过测验的概率均为45,每位男同学能通过测验的概率均为35,试求:⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率;⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到,且三人中恰有二人通过测验的概率.【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为12与p,且乙投球2次均未命中的概率为116.⑴求乙投球的命中率p;⑵求甲投球2次,至少命中1次的概率;⑶若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.【例27】一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红绿灯的路口,每个信号灯彼此独立工作,且红绿灯信号显示时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数,求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率.【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:⑴2人都射中的概率?⑵2人中有1人射中的概率?⑶2人至少有1人射中的概率?⑷2人至多有1人射中的概率?【例29】(07福建)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:⑴甲试跳三次,第三次才成功的概率;⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;⑶甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.【例30】A、B两篮球队进行比赛,规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束(七局四胜制),A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为12,X为比赛需要的场数,求X的分布列及比赛至少要进行6场的概率.【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率.【例32】为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表:预防措施甲乙丙丁P 0.90.80.70.6费用(万元)90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.【例33】某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c,,,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)板块三:独立重复试验与二项分布(一)知识内容1.独立重复试验如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A 及A ,并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =.2.二项分布若将事件A 发生的次数设为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==,其中0,1,2,,k n =.由于表中的第二行恰好是二项展开式0()C C C C n n n n n n q p p q p q p q p q +=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,记作~(,)X B n p .(二)典例分析:【例1】 某人参加一次考试,4道题中解对3道则为及格,已知他的解题正确率为0.4,则他能及格的概率为_________(保留到小数点后两位小数)【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12,他投球10次,恰好投进3个球的概率 .(用数值表示)【例3】 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80,现有5人接种了该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为 .(精确到0.01)【例4】 甲乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A .827B .6481C .49D .89【例5】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( ) A .0.1536 B .0.1808 C .0.5632 D .0.9728【例6】 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元. ⑴ 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;⑵ 求3位位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.【例7】某万国家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费1000元,便可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖,则家具城返还顾客现金200元.某顾客消费了3400元,得到3张奖券.⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率;⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.【例8】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:⑴至少有1株成活的概率;⑵两种大树各成活1株的概率.【例9】一个口袋中装有n个红球(5n≥且*n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p;⑵若5n=,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;⑶记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P.当n取多少时,P最大?【例10】已知随机变量ξ服从二项分布,1~(4)3Bξ,,则(2)Pξ=等于____【例11】已知随机变量ξ服从二项分布,1~(6)3Bξ,,则(2)Pξ=等于()A.316B.4243C.13243D.80243【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率(结果保留2位有效数字).【例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是13,从B中摸出一个红球的概率为p.⑴从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.①求恰好摸5次停止的概率;②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,求随机变量ξ的分布.⑵若A B,两个袋子中的球数之比为1:2,将A B,中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是25,求p的值.【例14】设在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若已知事件A至少发生一次的概率等于6581,求事件A在一次试验中发生的概率.【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰,至少有2枚鱼雷击中敌舰时,敌舰才被击沉.如果每枚鱼雷的命中率都是0.6,当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后,求敌舰被击沉的概率(结果保留2位有效数字).【例16】某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续取出2件,求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率.【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.求:⑴该公司的资助总额为零的概率;⑵该公司的资助总额超过15万元的概率.【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8,他射击3次,恰好2次击中目标的概率是多少?【例19】设飞机A有两个发动机,飞机B有四个发动机,如有半数或半数以上的发动机没有故障,就能够安全飞行,现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-,其中t为发动机启动后所经历的时间,λ为正的常数,试讨论飞机A与飞机B哪一个安全?(这里不考虑其它故障).【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-,且各发动机互不影响.如果至少50%的发动机能正常运行,飞机就可以顺利地飞行.问对于多大的P而言,四发动机飞机比二发动机飞机更安全?【例21】一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数,求ξ的分布列;⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数,求η的分布列;⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求i j.【例23】某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位)⑴5次预报中恰有2次准确的概率;⑵5次预报中至少有2次准确的概率;⑶5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率;【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920,,层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13,求至少有两位乘客在20层下的概率.【例25】10个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取一球,求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率.【例26】某车间为保证设备正常工作,要配备适量的维修工.设各台设备发生的故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01.试求:⑴若由一个人负责维修20台,求设备发生故障而不能及时维修的概率;⑵若由3个人共同负责维修80台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率,并进行比较说明哪种效率高.【例27】A B,是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为23,服用B有效的概率为12.观察3个试验组,求至少有1个甲类组的概率.(结果保留四位有效数字)【例28】已知甲投篮的命中率是0.9,乙投篮的命中率是0.8,两人每次投篮都不受影响,求投篮3次甲胜乙的概率.(保留两位有效数字)【变式】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=,求投篮n次甲胜乙的概率.(1n n∈N,≥)【例29】省工商局于某年3月份,对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查,结果显示,某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%,现有甲,乙,丙3人聚会,选用6瓶x饮料,并限定每人喝2瓶,求:⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率;⑵甲,乙,丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率(精确到0.01).【例30】在一次考试中出了六道是非题,正确的记“√”号,不正确的记“×”号.若某考生随手记上六个符号,试求:⑴全部是正确的概率;⑵正确解答不少于4道的概率;⑶至少答对2道题的概率.【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛,校队的实力比系队强,当一个校现在校、系双方商量对抗赛的方式,提出了三种方案:⑴双方各出3人;⑵双方各出5人;⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利. 问:对系队来说,哪一种方案最有利?(一) 知识内容二项分布的均值与方差:若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.(二)典例分析:【例32】 一盒子内装有10个乒乓球,其中3个旧的,7个新的,每次取一球,取后放回,取4次,则取到新球的个数的期望值是______.【例33】 同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是( )A .20B .25C .30D .40【例34】 已知~()X B n p ,,()8E X =,() 1.6D X =,则n 与p 的值分别为( )A .10和0.8B .20和0.4C .10和0.2D .100和0.8【例35】 某服务部门有n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ,则该部门一天中平均需要服务的对象个数是( )A .(1)np p -B .npC .nD .(1)p p -【例36】 已知随机变量X 服从参数为60.4,的二项分布,则它的期望()E X =_______,方差()D X =_____.【例37】 已知随机变量X 服从二项分布,且() 2.4E ξ=,() 1.44D ξ=,则二项分布的参数n ,p的值分别为__________、_________.【例38】 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答)板块四:二项分布的期望与方差【例39】已知(100.8)X B,,求()E X与()D X.【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是()A.20B.25C.30D.40【例41】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是121 352,,.⑴现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望.【例42】抛掷两个骰子,当至少有一个2点或3点出现时,就说这次试验成功.⑴求一次试验中成功的概率;⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.【例43】某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问:寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品?【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10件,X为所含次品的个数,求()E X.【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有%60,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.⑴任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;⑵任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布和期望.【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布及期望.【例47】某班级有n人,设一年365天中,恰有班上的m(m n≤)个人过生日的天数为X,求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.【例48】购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410-.10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p;⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01).⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率;⑵平均有多少家煤矿必须整改;⑶至少关闭一家煤矿的概率.个工作日里均无故障,可获利润10万元;发生一次故障可获利润5万元,只发生两次故障可获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?(精确到0.001)【例51】 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是23.⑴求油罐被引爆的概率;⑵如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及E ξ.【例52】 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率; ⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12,请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?【例53】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12.⑴ 求小球落入A 袋中的概率()P A ;⑵ 在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A 袋中的小球个数,试求3ξ=的概率和ξ的数学期望.。
§12.5二项分布及其应用1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=P(AB)P(A)(P(A)>0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=n(AB) n(A).(2)条件概率具有的性质:①0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).2.相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(3)若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.3.二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有__两__种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.(×)(2)相互独立事件就是互斥事件.(×)(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(×)(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b =1-p . ( × )2.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )等于( )A.12B.14C.16D.18答案 A解析 P (B |A )=P (AB )P (A )=1412=12.3.某一批花生种子,如果每粒发芽的概率都为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.16625 B.96625C.192625D.256625答案 B解析 独立重复试验B (4,45),P (k =2)=C 24(45)2(15)2=96625. 4.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 0.128解析 依题意可知,该选手的第二个问题必答错,第三、四个问题必答对,故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P =1×0.2×0.8×0.8=0.128. 5. 如图所示的电路,有a ,b ,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是12,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为_______________________.答案 18解析 理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件A ,“b 闭合”为事件B ,“c 闭合”为事件C ,则灯亮应为事件AC B ,且A ,C ,B 之间彼此独立,且P (A )=P (B )=P (C )=12.所以P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=18.题型一 条件概率例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次再取到不合格品的概率为________. 思维启迪 直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型.答案4 99解析方法一设A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品},则P(AB)=C25C2100,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=5×4100×995100=499.方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品,其中有4件不合格品,故第二次取到不合格品的概率为499.思维升华条件概率的求法:(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=P(AB)P(A).这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=n(AB) n(A).从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于() A.18 B.14 C.25 D.12答案 B解析P(A)=C23+C22C25=25,P(AB)=C22C25=110,P(B|A)=P(AB)P(A)=14.题型二相互独立事件的概率例2(2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.思维启迪将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和,再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解.解设A k、B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则P(A k)=13,P(B k)=12(k=1,2,3).(1)记“乙获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(A1B1)+P(A1B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)·P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)=23×12+⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫123=1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ,则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )=P (A 1 B 1 A 2B 2)+P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3)=P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)+P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)·P (A 3) =⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122×13=427.思维升华 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查,这类问题具有一个明显的特征,那就是在题目的条件中已经出现一些概率值,解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立),再选择相应的公式计算求解.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,计算:(1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率.解 记“甲射击一次,击中目标”为事件A ,“乙射击一次,击中目标”为事件B .“两人都击中目标”是事件AB ;“恰有1人击中目标”是A B ∪A B ;“至少有1人击中目标”是AB ∪A B ∪A B .(1)显然,“两人各射击一次,都击中目标”就是事件AB ,又由于事件A 与B 相互独立,∴P (AB )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64.(2)“两人各射击一次,恰好有一次击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即A B ),另一种是甲未击中乙击中(即A B ).根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件A B 与A B 是互斥的,所以所求概率为P =P (A B )+P (A B )=P (A )·P (B )+P (A )·P (B )=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.(3)“两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概率为P =P (AB )+[P (A B )+P (A B )]=0.64+0.32=0.96.题型三 独立重复试验与二项分布例3 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率; (3)求比赛局数的分布列.思维启迪 本题主要考查独立重复试验及二项分布,解题关键是正确判断是不是独立重复试验及正确应用概率计算公式.解 (1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A ,则P (A )=C 34(12)3(12)4-3·12=18. (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .乙以4比2获胜的概率为P 1=C 35(12)3(12)5-3·12=532, 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 36(12)3(12)6-3·12=532, 所以P (B )=P 1+P 2=516.(3)设比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7.P (X =4)=2C 44(12)4=18, P (X =5)=2C 34(12)3(12)4-3·12=14, P (X =6)=2C 35(12)3(12)5-3·12=516, P (X =7)=2C 36(12)3(12)6-3·12=516. 比赛局数的分布列为思维升华 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P n (k )=C k n p k (1-p )n -k 的三个条件:①在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;③该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.(2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望. 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ,B ,C ,则P (A )=23×23×23=827,P (B )=C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1-23×23=827, P (C )=C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1-232×12=427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3.则P (X =0)=P (A )+P (B )=1627,P (X =1)=P (C )=427,P (X =2)=C 24×⎝⎛⎭⎫1-232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1-12=427, P (X =3)=⎝⎛⎭⎫133+C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13=19. ∴X 的分布列为∴E (X )=0×1627+1×427+2×427+3×19=79.对二项分布理解不准致误典例:(12分)一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X 的分布列; (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y 的分布列.易错分析 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立,可以利用二项分布解决,二项分布模型的建立是易错点;另外,对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当,将“没有遇上红灯的概率也当成13”.规范解答解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为13,且每次试验结果是相互独立的, 故X ~B ⎝⎛⎭⎫6,13.[2分] 所以X 的分布列为P (X =k )=C k 6⎝⎛⎭⎫13k ·⎝⎛⎭⎫236-k ,k =0,1,2,3,4,5,6.[5分](2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然Y 是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中:{Y =k }(k =0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯,但在第k +1个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算. [7分]P (Y =k )=(23)k ·13(k =0,1,2,3,4,5),而{Y =6}表示一路没有遇上红灯.故其概率为P (Y =6)=(23)6, [9分][12分]温馨提醒 (1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型,是近几年高考非常注重的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”,事件的发生都是独立的、相互之间没有影响,事件又在相同的条件之下重复发生.(2)独立重复试验中的概率公式P n (k )=C k n p k (1-p )n -k 表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率,p 与(1-p )的位置不能互换,否则该式子表示的意义就发生了改变,变为事件A 有k 次不发生的概率了.方法与技巧1.古典概型中,A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )=P (AB )P (A )=n (AB )n (A ),其中,在实际应用中P (B |A )=n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法.2.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为P (AB )=P (A )P (B ).互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P (A ∪B )=P (A )+P (B ). 3.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和,其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与n -k 个A 事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是p k (1-p )n -k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1-p )n -k. 失误与防范1.运用公式P (AB )=P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A 、B 相互独立时,公式才成立.2.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.A 组 专项基础训练一、选择题1.已知A ,B 是两个相互独立事件,P (A ),P (B )分别表示它们发生的概率,则1-P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( )A .事件A ,B 同时发生 B .事件A ,B 至少有一个发生C .事件A ,B 至多有一个发生D .事件A ,B 都不发生 答案 C解析 P (A )P (B )是指A ,B 同时发生的概率,1-P (A )·P (B )是A ,B 不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.2.设随机变量X ~B (2,p ),Y ~B (4,p ),若P (X ≥1)=59,则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681 答案 B解析 P (X ≥1)=P (X =1)+P (X =2)=C 12p (1-p )+C 22p 2=59,解得p =13.(0≤p ≤1,故p =53舍去).故P (Y ≥2)=1-P (Y =0)-P (Y =1)=1-C 04×(23)4-C 14×13×(23)3=1127. 3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34 答案 D解析 甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得冠军,概率为12,也可以乙队先胜一局,甲队再胜一局,概率为12×12=14,故甲队获得冠军的概率为14+12=34.4.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125 B .C 25⎝⎛⎭⎫125 C .C 35⎝⎛⎭⎫123 D .C 25C 35⎝⎛⎭⎫125答案 B5.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B解析 设事件A :甲实习生加工的零件为一等品; 事件B :乙实习生加工的零件为一等品,则P (A )=23,P (B )=34,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B )+P (A B )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=23×(1-34)+(1-23)×34=512.二、填空题6.明天上午李明要参加校运动会,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 答案 0.98解析 1-0.20×0.10=1-0.02=0.98.7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为________.答案 35解析 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0<p <1),则依题意有1-p 2=1625,p 2=925.又0<p <1,因此有p =35.8.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论: ①3位病人都被治愈的概率为0.93; ②3人中的甲被治愈的概率为0.9;③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1; ④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12; ⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1. 其中正确结论的序号是________.(把正确的序号都填上) 答案 ①②④ 三、解答题9. 如图,一圆形靶分成A ,B ,C 三部分,其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖,每次1枚.假设他每次投掷必定会中靶,且投中靶内各点是随机的. (1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率;(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数,求X 的分布列; (3)若该同学投中A ,B ,C 三个区域分别可得3分,2分,1分,求他投掷3次恰好得4分的概率.解 (1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A ),依题意,P (A )=14.(2)依题意知,X ~B (3,1),从而X 的分布列为(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时,击中B 区域”,C i 表示事件“第i 次击中目标时,击中C 区域”,i =1,2,3.依题意知P =P (B 1C 2C 3)+P (C 1B 2C 3)+P (C 1C 2B 3)=3×14×12×12=316.10.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为12与p ,且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ;(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(3)若甲、乙两人各投球2次,求共命中2次的概率.解 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件A ,“乙投一次球命中”为事件B .由题意得(1-P (B ))2=(1-p )2=116,解得p =34或p =54(舍去),所以乙投球的命中率为34.方法二 设“甲投一次球命中”为事件A ,“乙投一次球命中”为事件B .由题意得:P (B )P (B )=116,于是P (B )=14或P (B )=-14(舍去).故p =1-P (B )=34.所以乙投球的命中率为34.(2)方法一 由题设知,P (A )=12,P (A )=12.故甲投球2次,至少命中1次的概率为1-P (A ·A )=34.方法二 由题设知,P (A )=12,P (A )=12.故甲投球2次,至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )+P (A )P (A )=34. (3)由题设和(1)知,P (A )=12,P (A )=12,P (B )=34,P (B )=14.甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次. 概率分别为C 12P (A )P (A )C 12P (B )P (B )=316, P (A )P (A )P (B )P (B )=164,P (A )P (A )P (B )P (B )=964.所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为 316+164+964=1132.B 组 专项能力提升1.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A .0.3B .0.5C .0.6D .1答案 B解析 设事件A 为“该元件的使用寿命超过1年”,B 为“该元件的使用寿命超过2年”,则P (A )=0.6,P (B )=0.3.因为B ⊆A ,所以P (AB )=P (B )=0.3,于是P (B |A )=P (AB )P (A )=0.30.6=0.5. 2. 如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( ) A .0.960B .0.864C .0.720D .0.576 答案 B解析 方法一 由题意知K ,A 1,A 2正常工作的概率分别为P (K )=0.9,P (A 1)=0.8,P (A 2)=0.8,∵K ,A 1,A 2相互独立,∴A 1,A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)+P (A 1A 2)+P (A 1A 2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.∴系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)+P (A 1A 2)+P (A 1A 2)]=0.9×0.96=0.864. 方法二 A 1,A 2至少有一个正常工作的概率为1-P (A 1 A 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系统正常工作的概率为P (K )[1-P (A 1 A 2)]=0.9×0.96=0.864.3.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________.答案 0.665解析 记A =“甲厂产品”,B =“合格产品”,则P (A )=0.7,P (B |A )=0.95.∴P (AB )=P (A )·P (B |A )=0.7×0.95=0.665.4. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12,则小球落入A 袋中的概率为________.答案 34解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ,“小球落入B 袋中”为事件B ,则事件A 的对立事件为B ,若小球落入B 袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,故P (B )=⎝⎛⎭⎫123+⎝⎛⎭⎫123=14,从而P (A )=1-P (B )=1-14=34. 5.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①P (B )=25;②P (B |A 1)=511;③事件B 与事件A 1相互独立;④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件;⑤P (B )的值不能确定,因为它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.答案 ②④解析 P (B )=P (BA 1)+P (BA 2)+P (BA 3)=5×510×11+2×410×11+3×410×11=922,故①⑤错误; ②P (B |A 1)=5×510×1112=511,正确; ③事件B 与A 1的发生有关系,故错误;④A 1,A 2,A 3不可能同时发生,是互斥事件,正确.6.(2013·辽宁)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.解 (1)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A =“张同学所取的3道题都是甲类题”.因为P (A )=C 36C 310=16,所以P (A )=1-P (A )=56. (2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X =0)=C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15=4125; P (X =1)=C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15+C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45=28125;P (X =2)=C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15+C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45=57125;P (X =3)=C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45=36125. 所以X 的分布列为4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.所以E(X)=0×。
12.5 二项分布及其应用一、选择题1.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ). A.12 B.512 C.14 D.16 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A , 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=23×14+13×34=512.答案 B2.箱内有大小相同的6个红球和4个黑球,从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中,则前3次恰有1次取到黑球的概率为( ) A.12 B.36125C.310D.54125解析 每一次取到黑球的概率均为410=25,则前3次恰有1次取到黑球的概率为 C 31(25)·(35)2=54125.故选D. 答案 D3.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ). A .[0.4,1] B .(0,0.4] C .(0,0.6] D .[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ,则C 14p (1-p )3≤C 24p 2(1-p )2,解得p ≥0.4,故选A. 答案 A4.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( ).A .p 1=p 2B .p 1<p 2C .p 1>p 2D .以上三种情况都有可能 解析 p 1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-110010=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫9910010=1-⎝⎛⎭⎪⎫9 80110 0005, p 2=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫C 299C 21005=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫981005则p 1<p 2.答案 B5.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ). A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B .C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C .C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D .C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析 由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动两次,向上移动三次, 故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122=C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125=C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125,故选B.答案 B6.一袋中装着5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止,停止时,取球的次数为ξ,ξ是一个随机变量,则P(ξ=12)=( ) A.C 1210(38)10(58)2 B.C 119(38)10(58)2C.C 1110(38)10(58)2D.C 129(38)10(58)2解析ξ=12证明前11次中取到9个红球,2个白球,第12次取到的是红球.∴P(ξ=12)=C 119(38)9·(58)2·38=C 119(38)10·(58)2.答案 B7.一个电路如图所示,A 、B 、C 、D 、E 、F为6个开关,其闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).A.164B.5564C.18D.116 解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ,E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ,则P (T )=P (R )=1-12×12=34, 所以灯亮的概率P =1-P (T )P (R )P (C )P (D )=5564. 答案 B 二、填空题8.在一段时间内,甲去某地的概率是14,乙去此地的概率是15,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 . 【解题指南】至少有1人去此地的对立事件是两个人都不去此地,求出两个人都不去此地的概率,再根据对立事件的概率得到结果.解析 由题意知,本题是一个相互独立事件同时发生的概率问题,两个人都不去此地的概率是(1-14)×(1-15)=35,∴至少有一个人去此地的概率是1-35=25.答案 259.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.解析 设种子发芽为事件A ,种子成长为幼苗为事件B (发芽,又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为:P (B |A )=0.8,P (A )=0.9.根据条件概率公式P (AB )=P (B |A )·P (A )=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.7210.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 解析 设A =“两个闹钟至少有一个准时响”. ∴P (A )=1-P (A )=1-(1-0.80)(1-0.90) =1-0.2×0.1=0.98. 答案 0.9811.如果在一次试验中,某事件A 发生的概率为p ,那么在n 次独立重复试验中,这事件A 发生偶数次的概率为________.解析 由题意,X ~B (n ,p ),且X 取不同值时事件互斥. 设p +q =1,∴P =P (X =0)+P (X =2)+P (X =4)+… =C n 0p 0q n +C n 2p 2q n -2+C n 4p 4q n -4+… =12[(q +p )n +(q -p )n ] =12[1+(1-2p )n ] 答案 12[1+(1-2p )n ]12.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.解析 由已知条件第2个问题答错,第3、4个问题答对,记“问题回答正确”事件为A ,则P (A )=0.8, P =P [](A ∪A )A AA=(1-P (A )] P (A ) P (A )=0.128. 答案 0.128 三、解答题13.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:(1)4吨的频率; (2)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求: ①4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率; ②该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.解析 (1)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2、0.5和0.3. (2)①P 1=1-0.74=0.7599.②P 2=C 43×0.5×0.33+0.34=0.0621.故4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率为0.7599;该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率为0.0621.14.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P =C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23+C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:P (A )=C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=27,P (B )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19,P (C )=C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133=29,P (D )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19.∵A 、B 、C 、D 互斥,∴P (A +B +C +D )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=1327. 15.根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如下图. (1)求直方图中x 的值;(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知57=78 125,27=128,31 825+2365+71 825+31 825+89 125=1239 125,365=73×5)解析 (1)x =150-⎝ ⎛⎭⎪⎫31 825+2365+71 825+31 825+89 125=11918 250.(2)⎝⎛⎭⎪⎫11918 250+2365×50×365=219. (3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为P ,则P =219365=35,设X 是一周内空气质量为良或轻微污染的天数 则X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7,35,P (X =0)=C 07⎝ ⎛⎭⎪⎫257,P (X =1)=C 17⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫256,P =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫257-7×3×2657=78 125-128-1 34478 125=76 65378 125.16.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中, (ⅰ)摸出3个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ).解析 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i =0,1,2,3), 则P (A 3)=C 23C 25·C 12C 23=15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则B =A 2∪A 3.又P (A 2)=C 23C 25·C 22C 23+C 13C 12C 25·C 12C 23=12,且A 2,A 3互斥,所以P (B )=P (A 2)+P (A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. 由于X 服从二项分布,即X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,710.∴P (X =0)=⎝⎛⎭⎪⎫1-7102=9100,P (X =1)=C 12710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-710=2150, P (X =2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫7102=49100.所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )=0×100+1×50+2×100=5.。
§12.5 二项分布及其应用解密考纲:对事件的独立性与条件概率、独立重复试验与二项分布的考查在高考中三种题型均有呈现. 一、选择题1.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位:分). 甲组:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ;“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ,则P (AB ),P (A |B )的值分别是( ) A .14,59B .14,49C .15,59D .15,492.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A .0.85 B .0.819 2 C .0.8D .0.753.从甲袋中摸出1个红球的概率为13,从乙袋中摸出1个红球的概率为12,从两袋中各摸出一个球,则23等于( )A .2个球都不是红球的概率B .2个球都是红球的概率C .至少有1个红球的概率D .2个球中恰有1个红球的概率4.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A .310B .29C .78D .795.袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中摸出一个红球的概率是13,从B 中摸出一个红球的概率为p .若A ,B 两个袋子中的球数之比为1∶2,将A ,B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是25,则p 的值为( )A .13B .1330C .1730D .126.将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面向上的概率等于出现k +1次正面向上的概率,那么k 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3二、填空题7.如图所示的电路有a ,b ,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是12,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为 .8.一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球,2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是 .9.设事件A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A 至少发生一次的概率为6364,则事件A 恰好发生一次的概率为 .三、解答题10.某中学为丰富教职工生活,国庆节举办教职工趣味投篮比赛,有A ,B 两个定点投篮位置,在A 点投中一球得2分,在B 点投中一球得3分.规则是:每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次,教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13,且在A ,B 两点投中与否相互独立.(1)若教师甲投篮三次,求教师甲投篮得分X 的分布列;(2)若教师乙与教师甲在A ,B 点投中的概率相同,两人按规则各投三次,求甲胜乙的概率.11.甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个(其中“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”各一个),现以投掷一个骰子的方式进行游戏,规则如下:当出现向上的点数是奇数时,甲赢得一个福娃;否则乙赢得甲一个福娃,规定掷骰子的次数达9次时,或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止.记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ. (1)求掷骰子的次数为7的概率; (2)求ξ的分布列及数学期望E (ξ).12.(在一种电脑屏幕保护画面中,符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为p ,出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”,则记a k =1;出现“×”,则记a k =-1,令S n =a 1+a 2+…+a n . (1)当p =q =12时,记ξ=|S 3|,求ξ 的分布列;(2)当p =13,q =23时,求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.参考答案一、选择题 1.【答案】A【解析】 ∵P (A )=12,P (B )=920,P (AB )=14,∴P (A |B )=P (AB )P (B )=59.2.【答案】B【解析】 P =C 340.83·0.2+C 440.84=0.819 2.3.【答案】C【解析】 因为从两个袋中各摸出一个球都不是红球的概率为⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-12=13, 所以至少有1个红球的概率为1-13=23.4.【答案】D【解析】 设事件A 为“第1次抽到的螺口灯泡”,事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”, 则P (A )=310,P (AB )=310×79=730,则所求概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=730310=79.5.【答案】B【解析】 设A 中有x 个球,B 中有y 个球,则因为A ,B 两个袋子中的球数之比为1∶2,将A ,B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是25,所以13x +py x +y =25且x y =12,解得p =1330.6.【答案】C【解析】 C k 5⎝⎛⎭⎫125=C k +15⎝⎛⎭⎫125,∴k +(k +1)=5,k =2. 二、填空题 7.【答案】18【解析】 ∵a ,c 闭合,b 断开,灯泡甲亮,∴概率为18.8.【答案】1528【解析】 记事件“甲取到2个黑球”为A ,“乙取到2个黑球”为B , 则有P (B |A )=P (AB )P (A )=C 26C 28=1528,即所求事件的概率是1528.9.【答案】964【解析】 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p ,由题意得,事件A 发生的次数X ~B (3,p ),则有1-(1-p )3=6364,得p =34,则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1-342=964. 三、解答题10.解:(1)设“教师甲在A 点投中”的事件为A ,“教师甲在B 点投中”的事件为B . 依题可知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7.P (X =0)=P (A ·B ·A )=⎝⎛⎭⎫1-122×⎝⎛⎭⎫1-13=16, P (X =2)=P (A ·B ·A +A ·B ·A )=C 12×12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-12=13, P (X =3)=P (A ·B ·A )=⎝⎛⎭⎫1-12×13×⎝⎛⎭⎫1-12=112, P (X =4)=P (A ·B ·A )=12×⎝⎛⎭⎫1-13×12=16, P (X =5)=P (A ·B ·A +A ·B ·A )=C 12×12×13×⎝⎛⎭⎫1-12=16, P (X =7)=P (A ·B ·A )=12×13×12=112.则教师甲投篮得分X 的分布列为(2)这五种情形之间彼此互斥,因此所求事件的概率为P =13×16+112×⎝⎛⎭⎫16+13+16×⎝⎛⎭⎫16+13+112+16×⎝⎛⎭⎫16+13+112+16+112×⎝⎛⎭⎫1-112=1948. 11.解:(1)当ξ=7时,“甲赢”即“第七次甲赢,前6次赢5次,且前5次中必输1次”,依题意,每次甲赢或乙赢的概率均为12,∴P (ξ=7)=2×C 15×12×⎝⎛⎭⎫124×12×12=564. (2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m ,向上的点数是偶数出现的次数为n ,则由⎩⎪⎨⎪⎧|m -n |=5,m +n =ξ,5≤ξ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧|m -n |<5,m +n =9得: 当m =5,n =0或m =0,n =5时,ξ=5; 当m =6,n =1或m =1,n =6时,ξ=7; 当m =7,n =2或m =2,n =7时,ξ=9; 当m =5,n =4或m =4,n =5时,ξ=9; 当m =6,n =3或m =3,n =6时,ξ=9; ∴ξ的可能取值是5,7,9.每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同,其概率都是12.P (ξ=5)=2×⎝⎛⎭⎫125=116,P (ξ=7)=564,P (ξ=9)=1-P (ξ=5)-P (ξ=7)=5564, ∴ξ的分布列是E (ξ)=5×116+7×564+9×5564=27532.12.解:(1)因为ξ=|S 3|的取值为1,3,又p =q =12,所以P (ξ=1)=C 13⎝⎛⎭⎫12×⎝⎛⎭⎫122×2=34, P (ξ=3)=⎝⎛⎭⎫123+⎝⎛⎭⎫123=14. 所以ξ的分布列为(2)当S 8=2时,即前八秒出现“○”5次,“×”3次,又已知S i ≥0(i =1,2,3,4),若第一、三秒出现“○”,则其余六秒可任意出现“○”3次;若第一、二秒出现“○”,第三秒出现“×”,则后五秒可任意出现“○”3次. 故所求的概率P =(C 36+C 35)×⎝⎛⎭⎫135×⎝⎛⎭⎫233=30×838=8037⎝⎛⎭⎫或802 187.。
§12.5 二项分布及其应用1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18答案 A解析 由古典概型知P (A )=12,P (AB )=14,则由条件概率知P (B |A )=P (AB )P (A )=1412=12.2.(2018·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A .0.8 B .0.75 C .0.6 D .0.45 答案 A解析 已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P =0.60.75=0.8.3.(2017·武昌模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p 等于( ) A.110 B.215 C.16 D.15答案 B解析 由题意得18(1-p )+⎝⎛⎭⎫1-18p =940, ∴p =215,故选B.4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A .0.648 B .0.432 C .0.36 D .0.312 答案 A解析 3次投篮投中2次的概率为P (k =2)=C 23×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P (k =3)=0.63,所以通过测试的概率为P (k =2)+P (k =3)=C 23×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.5.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P (X =12)等于( )A .C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B .C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C .C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D .C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 答案 D解析 “X =12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球,2次取到白球, 因此P (X =12)=38C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582=C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.6.甲射击命中目标的概率是12,乙命中目标的概率是13,丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710答案 A解析 设“甲命中目标”为事件A ,“乙命中目标”为事件B ,“丙命中目标”为事件C ,则击中目标表示事件A ,B ,C 中至少有一个发生.又P (A B C )=P (A )P (B )P (C ) =『1-P (A )』·『1-P (B )』·『1-P (C )』 =⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-14=14. 故目标被击中的概率P =1-P (A B C )=34.7.(2017·德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是________. 答案1528解析 记事件“甲取到2个黑球”为A ,“乙取到2个黑球”为B ,则有P (B |A )=P (AB )P (A )=C 26C 28=1528,即所求事件的概率是1528. 8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.答案 38解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12,∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B +A B +AB )C , ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P =⎝⎛⎭⎫12×12+12×12+12×12×12=38.9.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________. 答案516解析 由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122=C 35⎝⎛⎭⎫125=C 25⎝⎛⎭⎫125=516. 10.(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),甲在每局比赛获胜的概率都为23,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是________. 答案1927解析 乙队3∶0获胜的概率为13,乙队3∶1获胜的概率为23×13=29,乙队3∶2获胜的概率为⎝⎛⎭⎫232×13=427. ∴最后乙队获胜的概率为P =13+29+427=1927.11.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要五关:目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75,能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率; (2)设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数X 的分布列.解 (1)设A ,B ,C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”,则所求概率P =P (A B C )+P (A B C )+P (A B C )=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲=0.5×0.6=0.3, 同理P 乙=0.6×0.5=0.3,P 丙=0.75×0.4=0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3,故可看成是独立重复试验,即X ~B (3,0.3),X的可能取值为0,1,2,3,其中P (X =k )=C k 3(0.3)k ·(1-0.3)3-k . 故P (X =0)=C 03×0.30×(1-0.3)3=0.343, P (X =1)=C 13×0.3×(1-0.3)2=0.441, P (X =2)=C 23×0.32×(1-0.3)=0.189, P (X =3)=C 33×0.33=0.027,故X 的分布列为12.张先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1,L 2两条路线(如图),L 1路线上有A 1,A 2,A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L 2路线上有B 1,B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的分布列. 解 (1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件, 则P (A )=C 03×⎝⎛⎭⎫123+C 13×12×⎝⎛⎭⎫122=12. 所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意,X 的可能取值为0,1,2. P (X =0)=⎝⎛⎭⎫1-34×⎝⎛⎭⎫1-35=110, P (X =1)=34×⎝⎛⎭⎫1-35+⎝⎛⎭⎫1-34×35=920, P (X =2)=34×35=920.所以随机变量X 的分布列为13.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①P (B )=25;②P (B |A 1)=511;③事件B 与事件A 1相互独立; ④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件;⑤P (B )的值不能确定,它与A 1,A 2,A 3中哪一个发生都有关. 答案 ②④解析 由题意知A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件, P (A 1)=510=12,P (A 2)=210=15,P (A 3)=310,P (B |A 1)=12×51112=511,P (B |A 2)=411,P (B |A 3)=411,而P (B )=P (A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)+P (A 3)P (B |A 3) =12×511+15×411+310×411=922.14.(2017·兰州模拟)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?解 (1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A 1,则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P (A 1)=C 44⎝⎛⎭⎫234=1681. 所以P (A 1)=1-P (A 1)=1-1681=6581.所以甲连续射击4次,至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A 2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B 2,则P (A 2)=C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1-232=827, P (B 2)=C 34⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫1-341=2764. 由于甲、乙射击相互独立, 故P (A 2B 2)=P (A 2)P (B 2)=827×2764=18.所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A 3,“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i =1,2,3,4,5),则A 3=D 5D 4D 3(D 2 D 1∪D 2D 1∪D 2D 1), 且P (D i )=14.由于各事件相互独立,故 P (A 3)=P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D2D 1+D 2D 1+D 2D 1)=14×14×34×⎝⎛⎭⎫1-14×14=451 024. 所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为451 024.15.设随机变量X ~B (2,p ),随机变量Y ~B (3,p ),若P (X ≥1)=59,则P (Y ≥1)=________.答案1927解析 ∵X ~B (2,p ),∴P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-C 02(1-p )2=59, 解得p =13.又Y ~B (3,p ),∴P (Y ≥1)=1-P (Y =0)=1-C 03(1-p )3=1927.16.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X ,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X -Y |,求随机变量ξ的分布列.解 (1)依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人去参加甲游戏”为事件A k (k =0,1,2,3,4).则P (A k )=C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234-k . 故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)=C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232=827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ,则B =A 3∪A 4. 由于A 3与A 4互斥,故P (B )=P (A 3)+P (A 4)=C 34⎝⎛⎭⎫133×23+C 44⎝⎛⎭⎫134=19. 所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥,A 0与A 4互斥,故 P (ξ=0)=P (A 2)=827,P (ξ=2)=P (A 1)+P (A 3) =C 14⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫233+C 34⎝⎛⎭⎫133×23=4081, P (ξ=4)=P (A 0)+P (A 4) =C 04⎝⎛⎭⎫234+C 44⎝⎛⎭⎫134=1781. 所以ξ的分布列是。
概率与统计 专题一:二项分布一、知识储备一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为()(1)k k n kn P X k C p p -==-(0,1,2,k n =)如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomial distribution ),记作(,)XB n p 。
二、例题讲解1.(2022·全国高三其他模拟)羽毛球是一项隔着球网,使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目.羽毛球比赛的计分规则:采用21分制,即双方分数先达21分者胜,3局2胜.每回合中,取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜,否则继续比赛;若双方打成29平后,一方领先1分,即算该局取胜.某次羽毛球比赛中,甲选手在每回合中得分的概率为34,乙选手在每回合中得分的概率为14.(1)在一局比赛中,若甲、乙两名选手的得分均为18,求在经过4回合比赛甲获胜的概率; (2)在一局比赛中,记前4回合比赛甲选手得分为X ,求X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】(1)81256;(2)分布列见解析;期望为3. 【分析】(1)可知甲在第4回合胜,前3回合胜2场,进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果; (2)求出X 的取值,进而求出对应的概率,列出分布列,利用二项分布的期望即可求出结果. 【详解】(1)记在经过4回合比赛,甲获胜为事件A ,可知甲在第4回合胜,前3回合胜2场,所以22333181()C 444256P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)易知X 的取值为0,1,2,3,4,且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,40411(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,314133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 444381(4)C 4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以X 的分布列为:数学期望3()434E X np ==⨯=. 2.(2022·青铜峡市高级中学高三开学考试(理))设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)记“上学期间的某周的五天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多3天”为事件M ,求事件M 发生的概率. 【答案】(1)分布列答案见解析,数学期望:103;(2)802187.【分析】 (1)由题意可得2(5,)3XB ,然后利用二项分布的概率公式求对应的概率,从而可列出分布列,(2)设乙同学上学期间的五天中7:30之前到校的天数为Y ,由题意可知2(5,)3YB ,且{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======,再利用相互独立事件的概率公式求解即可【详解】解:(1)因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率为23,所以2(5,)3XB ,从而5521()()()33k k kP X k C -==,0,1,2,3k =,所以,随机变量X 的分布列为:所以210()533E X =⨯=; (2)设乙同学上学期间的五天中7:30之前到校的天数为Y ,则2(5,)3Y B ,且事件{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======,由题意知,事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥, 且X 与Y 相互独立, 由(1)可得8018010324080()2432432432432432432187P M =⨯+⨯+⨯=. (,)B n p 表示发生的概率为p ;3.(2021·全国高三专题练习(理))一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X 的分布列、期望、方差; (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】(1)分布列见解析,5()3E X =,1(0)9D X =;(2)分布列见解析;(3)211243.【分析】(1)由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布,进而求得分布列,期望及方差; (2)Yk =(0,1,2,3,4k =),表示前k 个是绿灯,第1k +个是红灯,5Y =表示5个均为绿灯,则21()()33k P Y k ==⨯,0,1,2,3,4k =,由此可求这名学生在首次停车前经过的路口数的分布列;(3)利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 【详解】(1)由题意可知,X 可取0、1、2、3、4、5,服从二项分布1~(5)3X B ,, 则0551232(0)()()33243P X C ==⋅⋅=,11451280(1)()()33243P X C ==⋅⋅=, 22351280(2)()()33243P X C ==⋅⋅=,33251240(3)()()33243P X C ==⋅⋅=,44151210(4)()()33243P X C ==⋅⋅=,5505121(5)()()33243P X C ==⋅⋅=,∴X 的分布列为:∴()533E X =⨯=,()5339D X =⨯⨯=; (2)由题意可知,Y 可取0、1、2、3、4,5 则0211(0)()333P Y ==⨯=,1212(1)()339P Y ==⨯=,2214(2)()3327P Y ==⨯=, 3218(3)()3381P Y ==⨯=,42116(4)()33243P Y ==⨯=,5232(5)()3243P Y ===,∴Y 的分布列为:(3)设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A , 所求概率32211()1(0)1243243P A P X =-==-=.(,)B n p (,)B n p 表示次实验都完成了,每次实验发生的概率为p ,至于这n 次实验成功了几次,后一次实验做完才知道;而此题首次成功,续的实验。
【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 12.4 二项分布及其应用高效作业 理 新人教A 版时间:45分钟 满分:100分 班级:________ 姓名:________ 学号:________得分:________一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分,在下列四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·泉州二模)关于事件的独立性,下列说法错误的是( ) A .若事件A ,B 满足P (B |A )=P (B ),则事件A ,B 独立B .若事件A ,B 独立,则事件B ,A 也独立,即A 与B 独立是相互的C .若事件A 与B 相互独立,则事件A 与B 也相互独立D .若事件A 与B 相互独立,事件B 与C 相互独立,事件C 与A 相互独立,则事件A ,B ,C 相互独立答案:D2.(2014·黄山一模)如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49 B.29 C.23D.13解析:选A.由独立事件发生的概率得P =C 14C 16·C 14C 16=49.答案:A3.(2014·泰州模拟)市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A .0.665B .0.56C .0.24D .0.285解析:选A.记A 为事件“甲厂产品”,B 为事件“合格产品”, 则P (A )=0.7,P (B |A )=0.95.∴P (AB )=P (A )·P (B |A )=0.7×0.95=0.665. 答案:A4.(2014·天门模拟)在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A .[0.4,1)B .(0,0.6]C .(0,0.4]D .[0.6,1)解析:选A.C 14p (1-p )3≤C 24p 2(1-p )2, 4(1-p )≤6p ,p ≥0.4, 又0<p <1,∴0.4≤p <1. 答案:A5.(2014·东营质检)箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B .(59)3×49C.35×14D .C 14×(59)3×49解析:选 B.由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次取的球是白球的情况,此事件发生的概率为(59)3×49.答案:B6.(2014·昆明一模)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{a n }:a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球,如果S n 为数列{a n }的前n 项和,那么S 7=3的概率为( )A .C 57(13)2·(23)5B .C 27(23)2·(13)5C .C 47(23)2·(13)5D .C 37(13)2·(23)5解析:选B.S 7=3说明摸取2个红球,5个白球,故S 7=3的概率为C 27(23)2·(13)5.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上) 7.(2014·襄樊一模)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.解析:记事件A 为“甲闹钟准时响”,事件B 为“乙闹钟准时响”.P =1-P (A B )=1-(1-0.8)×(1-0.9)=0.98.答案:0.988.(2014·武汉一模)某篮球运动员在三分线投球的命中率是12,他投球10次,恰好投进3个球的概率为________(用数值作答).解析:P =C 310(12)3(1-12)7=15128.答案:151289.(2014·保定一模)有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是________.解析:设“任取一书是文科书”的事件为A ,“任取一书是精装书”的事件为B ,则A 、B 是相互独立的事件,所求概率为P (AB ).据题意可知P (A )=40100=25,P (B )=70100=710,∴P (AB )=P (A )P (B )=25×710=725.答案:72510.(2014·扬州模拟)已知P (AB )=310,P (A )=35,则P (B |A )等于________.解析:P (B |A )=P AB P A =310×53=12.答案:12三、解答题(本大题共3小题,共40分,11、12题各13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11.(2014·白山一模)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:(1)4吨的频率; (2)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求: ①4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率; ②该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.解:(1)周销售量为2吨、3吨和4吨的频率分别为0.2、0.5和0.3. (2)①P 1=1-0.74=0.7599; ②P 2=C 34×0.5×0.33+0.34=0.0621.故4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率为0.7599;该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率为0.0621.12.(2014·平顶山一模)某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐,采用七场四胜制,即有一队胜四场,则此队获胜,且比赛结束.在每场比赛中,甲队获胜的概率是23,乙队获胜的概率是13,根据以往资料统计,每场比赛组织者可获门票收入为30万元,两队决出胜负后,问:(1)组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少? (2)组织者在总决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少? 解:(1)门票收入为120万元的概率为:P 1=(23)4+(13)4=1781.(2)门票收入为180万元的概率为:P 2=C 35(23)3(13)2×23+C 35(13)3(23)2×13=200729. 门票收入为210万元的概率为:P 3=C 36(23)3(13)3×23+C 36(13)3(23)3×13=160729. 门票收入不低于180万元的概率是:P =P 2+P 3=4081.13.(2014·常州一模)甲、乙两人玩投篮游戏,他们每次投进的概率都是12,现甲投3次,记下投进的次数为m ;乙投2次,记下投进的次数为n .现在规定:若m >n ,则甲获胜;若n ≥m ,则乙获胜,你认为这样规定甲、乙获胜的机会相等吗?请说明理由.解:这样规定甲、乙获胜的机会相等,这是因为甲获胜,则m >n ,即: 当m =3时,n =2,1,0,其概率为18×(14+12+14)=18;当m =2时,n =1,0,其概率为38×(12+14)=932;当m =1时,n =0,其概率为38×14=332;∴甲获胜的概率为18+932+332=12.从而乙获胜的概率也为12.甲和乙获胜的概率都是12,所以甲、乙获胜的机会相等.。
12.5 二项分布及其应用一、选择题1.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为( ) A .0.6 B .0.7 C .0.8 D .0.66解析 甲市为雨天记为事件A ,乙市为雨天记为事件B ,则P (A )=0.2,P (B )=0.18,P (AB )=0.12,∴P (B |A )=P AB P A =0.120.2=0.6.答案 A2. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A ,B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.34解析 本题涉及古典概型概率的计算.本知识点在考纲中为B 级要求.由题意得P(A)=12,P(B)=16,则事件A ,B 至少有一件发生的概率是1-P(A )·P(B )=1-12×56=712.答案 C3.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ). A .[0.4,1] B .(0,0.4] C .(0,0.6] D .[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ,则C 14p (1-p )3≤C 24p 2(1-p )2,解得p ≥0.4,故选A. 答案 A4.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( ). A .p 1=p 2 B .p 1<p 2C .p 1>p 2D .以上三种情况都有可能 解析 p 1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-110010=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫9910010=1-⎝⎛⎭⎪⎫9 80110 0005, p 2=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫C 299C 21005=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫981005 则p 1<p 2. 答案 B5.位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为23,向右移动的概率为13,则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( ) A.4243 B.8243 C.40243 D.80243解析 左移两次,右移三次,概率是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133=40243.答案 C6.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( ). A.35 B.34 C.12 D.310解析 在第一次取到白球的条件下,在第二次取球时,袋中有2个白球和2个黑球共4个球,所以取到白球的概率P =24=12,故选C.答案 C7.一个电路如图所示,A 、B 、C 、D 、E 、F为6个开关,其闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).A.164B.5564C.18D.116 解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ,E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ,则P (T )=P (R )=1-12×12=34,所以灯亮的概率P =1-P (T )P (R )P (C )P (D )=5564.答案 B 二、填空题8.有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是________.解析 设“任取一书是文科书”的事件为A ,“任取一书是精装书”的事件为B ,则A 、B 是相互独立的事件,所求概率为P (AB ). 据题意可知P (A )=40100=25,P (B )=70100=710,∴P (AB )=P (A )·P (B )=25×710=725.答案 7259.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.解析 设种子发芽为事件A ,种子成长为幼苗为事件B (发芽,又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为:P (B |A )=0.8,P (A )=0.9.根据条件概率公式P (AB )=P (B |A )·P (A )=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.7212.三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局胜者对第一局的败者,第四局是第三局胜者对第二局败者,则乙队连胜四局的概率为________.解析 设乙队连胜四局为事件A ,有下列情况:第一局中乙胜甲(A 1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A 2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A 3),其概率为0.6;第四局中乙胜丙(A 4),其概率为0.50,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为:P(A)=P(A 1A 2A 3A 4)=0.62×0.52=0.09. 答案 0.0911.将一枚硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 解析 由题意知,正面可以出现6次,5次,4次,所求概率P =C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126+C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126+C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126 =1+6+1564=1132.答案113212.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 解析 由已知条件第2个问题答错,第3、4个问题答对,记“问题回答正确”事件为A ,则P(A)=0.8,P=P[]A∪A A AA=(1-P(A)] P(A) P(A)=0.128. 答案0.128三、解答题13.某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).解析 (1)依题意X的分布列为X 0 1 2 3 4P 168132812481881181(2)设A i表示事件”第一次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.B i表示事件”第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2,所求的概率为P(A)=P(A1B1)+P(A1B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.14.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P =C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23+C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:“同意”票张数“中立”票张数 “反对”票张数 事件A 0 0 3 事件B 1 0 2 事件C 1 1 1 事件D12P (A )=C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=27, P (B )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19, P (C )=C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133=29, P (D )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19. ∵A 、B 、C 、D 互斥,∴P (A +B +C +D )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=1327.15.根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: API0~5051~100101~150151~200201~250251~>300300级别ⅠⅡⅢ1Ⅲ2Ⅳ1Ⅳ2Ⅴ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如下图.(1)求直方图中x的值;(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示.已知57=78 125,27=128,31 825+2365+71 825+31 825+89 125=1239 125,365=73×5)解析(1)x=150-⎝⎛⎭⎪⎫31 825+2365+71 825+31 825+89 125=11918 250.(2)⎝⎛⎭⎪⎫11918 250+2365×50×365=219.(3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为P,则P=219365=35,设X是一周内空气质量为良或轻微污染的天数则X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7,35, P (X =0)=C 07⎝ ⎛⎭⎪⎫257,P (X =1)=C 17⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫256,P =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫257-7×3×2657=78 125-128-1 34478 125=76 65378 125. 16.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中, (ⅰ)摸出3个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ).解析 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i =0,1,2,3), 则P (A 3)=C 23C 25·C 12C 23=15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则B =A 2∪A 3. 又P (A 2)=C 23C 25·C 22C 23+C 13C 12C 25·C 12C 23=12,且A 2,A 3互斥,所以P (B )=P (A 2)+P (A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. 由于X 服从二项分布,即X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,710.∴P (X =0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-7102=9100, P (X =1)=C 12710×⎝⎛⎭⎪⎫1-710=2150, P (X =2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫7102=49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )=0×9100+1×50+2×100=5.。
12.5 二项分布及其应用一、选择题1.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为( ) A .0.6 B .0.7 C .0.8D .0.66解析 甲市为雨天记为事件A ,乙市为雨天记为事件B ,则P (A )=0.2,P (B )=0.18,P (AB )=0.12, ∴P (B |A )=P AB P A =0.120.2=0.6.答案 A2. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A ,B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.34解析 本题涉及古典概型概率的计算.本知识点在考纲中为B 级要求.由题意得P(A)=12,P(B)=16,则事件A ,B 至少有一件发生的概率是1-P(A )·P(B )=1-12×56=712. 答案 C3.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ). A .[0.4,1] B .(0,0.4] C .(0,0.6] D .[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ,则C 14p (1-p )3≤C 24p 2(1-p )2,解得p ≥0.4,故选A. 答案 A4.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( ).A .p 1=p 2B .p 1<p 2C .p 1>p 2D .以上三种情况都有可能 解析 p 1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-110010=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫9910010=1-⎝⎛⎭⎪⎫9 80110 0005, p 2=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫C 299C 21005=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫981005则p 1<p 2. 答案 B5.位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为23,向右移动的概率为13,则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( ) A.4243 B.8243 C.40243 D.80243解析 左移两次,右移三次,概率是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133=40243. 答案 C6.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( ). A.35 B.34C.12D.310解析 在第一次取到白球的条件下,在第二次取球时,袋中有2个白球和2个黑球共4个球,所以取到白球的概率P =24=12,故选C.答案 C7.一个电路如图所示,A 、B 、C 、D 、E 、F为6个开关,其闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).A.164B.5564C.18D.116 解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ,E 与F 至少有一个不闭合的事件为R , 则P (T )=P (R )=1-12×12=34,所以灯亮的概率P =1-P (T )P (R )P (C )P (D )=5564. 答案 B 二、填空题8.有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是________.解析 设“任取一书是文科书”的事件为A ,“任取一书是精装书”的事件为B ,则A 、B 是相互独立的事件,所求概率为P (AB ). 据题意可知P (A )=40100=25,P (B )=70100=710, ∴P (AB )=P (A )·P (B )=25×710=725.答案7259.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.解析 设种子发芽为事件A ,种子成长为幼苗为事件B (发芽,又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为:P (B |A )=0.8,P (A )=0.9.根据条件概率公式P (AB )=P (B |A )·P (A )=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.7212.三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局胜者对第一局的败者,第四局是第三局胜者对第二局败者,则乙队连胜四局的概率为________.解析 设乙队连胜四局为事件A ,有下列情况:第一局中乙胜甲(A 1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A 2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A 3),其概率为0.6;第四局中乙胜丙(A 4),其概率为0.50,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为:P(A)=P(A 1A 2A 3A 4)=0.62×0.52=0.09. 答案 0.0911.将一枚硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.解析 由题意知,正面可以出现6次,5次,4次,所求概率P =C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126+C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126+C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126=1+6+1564=1132.答案 113212.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.解析 由已知条件第2个问题答错,第3、4个问题答对,记“问题回答正确”事件为A ,则P (A )=0.8, P =P ⎣⎡⎦⎤ A ∪A A AA=(1-P (A )] P (A ) P (A )=0.128. 答案 0.128 三、解答题13.某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.(1)设X 表示目标被击中的次数,求X 的分布列;(2)若目标被击中2次,A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P (A ).解析 (1)依题意X 的分布列为(2)设A i 表示事件”第一次击中目标时,击中第i 部分”,i =1,2. B i 表示事件”第二次击中目标时,击中第i 部分”,i =1,2.依题意知P(A 1)=P(B 1)=0.1,P(A 2)=P(B 2)=0.3,A =A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2, 所求的概率为P(A)=P(A 1B 1)+P(A 1B 1)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)=P(A 1)P(B 1)+P(A 1)P(B 1)+P(A 1)P(B 1)+P(A 2)P(B 2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.14.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为 P =C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23+C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:P (A )=C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=27,P (B )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19,P (C )=C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133=29,P (D )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19.∵A 、B 、C 、D 互斥,∴P (A +B +C +D )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=1327. 15.根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如下图. (1)求直方图中x 的值;(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知57=78 125,27=128,31 825+2365+71 825+31 825+89 125=1239 125,365=73×5)解析 (1)x =150-⎝⎛⎭⎪⎫31 825+2365+71 825+31 825+89 125=11918 250. (2)⎝⎛⎭⎪⎫11918 250+2365×50×365=219. (3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为P ,则P =219365=35,设X 是一周内空气质量为良或轻微污染的天数 则X ~B ⎝⎛⎭⎪⎫7,35,P (X =0)=C 07⎝ ⎛⎭⎪⎫257,P (X =1)=C 17⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫256,P =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫257-7×3×2657=78 125-128-1 34478 125=76 65378 125. 16.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中, (ⅰ)摸出3个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ).解析 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i =0,1,2,3), 则P (A 3)=C 23C 25·C 12C 23=15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则B =A 2∪A 3.又P (A 2)=C 23C 25·C 22C 23+C 13C 12C 25·C 12C 23=12,且A 2,A 3互斥,所以P (B )=P (A 2)+P (A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. 由于X 服从二项分布,即X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,710.∴P (X =0)=⎝⎛⎭⎪⎫1-7102=9100,P (X =1)=C 12710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-710=2150, P (X =2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫7102=49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )=0×100+1×50+2×100=5.。