2016年四川省高考数学试卷理科【2020新】.pdf

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ð1.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则(A∪B)＝UA.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－10，2，3}2.若α为第四象限角，则A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为6.数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：的两条渐近线分别交22221(0,0)x y a b a b-=>>于D ，E 两点。

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix43．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）﹣=．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•游仙区校级月考）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．3．（5分）（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）（2016秋•通渭县期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选：D．5．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．6．（5分）（2016春•平罗县校级期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．7．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．9．（5分）（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．10．（5分）（2016秋•汕头期末）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013秋•南开区期末）﹣=．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：12．（5分）（2016秋•大连月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．13．（5分）（2016秋•汕头期末）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，故答案为：14．（5分）（2016春•陕西校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（），利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，求出f（﹣），再求出f（1），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案为：﹣215．（5分）（2016秋•江西月考）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016秋•博野县校级期中）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨17．（12分）（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．18．（12分）（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD ﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM ∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB ∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=，根据e2==，求得q的值，可得{a n}的解析式，再利用放缩法可得∴e n=＞，从而证得不等式成立．=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相减可【解答】解：（Ⅰ）∵S n+1得a n=q•a n，+1即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2 =a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3 =2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．20．（13分）（2016秋•路南区校级月考）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代入椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，又，当a时，F′（x）=2a+≥+e1﹣x，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a ﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

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一、选择题(本大题共12小题，共60。

0分)1。

已知z=（m+3)+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（—3,1）B。

(—1，3） C.（1，+∞) D.（-∞，—3）2.已知集合A=｛1，2,3｝,B=｛x｜（x+1）（x-2）＜0，x∈Z｝，则A∪B=（)A。

｛1} B.{1,2｝C.{0，1,2，3｝D.｛—1，0,1，2,3}3.已知向量=（1,m），=（3，—2），且(+）⊥，则m=（)A.-8 B。

-6 C.6 D.84.圆x2+y2-2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1，则a=（)A.-B。

-C。

D。

25。

如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24 B。

18 C。

12 D。

96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC。

28π D.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A。

x=-(k∈Z)B。

x=+（k∈Z）C。

x=—（k∈Z) D.x=+(k∈Z）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A。

2016年省市高考数学一诊试卷〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．〔5分〕〔2016•模拟〕集合A={x∈Z|〔x+1〕〔x﹣2〕≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，那么A∩B=〔〕A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}2．〔5分〕〔2016•模拟〕在△ABC中，“A=〞是“cosA=“的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．〔5分〕〔2016•模拟〕如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，那么剩余局部与挖去局部的体积之比为〔〕A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：24．〔5分〕〔2016•模拟〕设a=〔〕，b=〔〕，c=log2，那么a，b，c的大小顺序是〔〕A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．〔5分〕〔2016•模拟〕m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，以下命题中正确的选项是〔〕A．假设m∥α，m∥β，那么α∥βB．假设m⊥α，m⊥n，那么n∥αC．假设m∥α，m∥n，那么n∥αD．假设m⊥α，m∥β，那么α⊥β6．〔5分〕〔2016•模拟〕执行如下图程序框图，假设使输出的结果不大于50，那么输入的整数k的最大值为〔〕A．4 B．5 C．6 D．77．〔5分〕〔2016•模拟〕菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，假设•=﹣3，那么λ的值为〔〕A． B．﹣C． D．﹣8．〔5分〕〔2016•模拟〕过双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．假设，那么双曲线的离心率是〔〕A． B． C． D．9．〔5分〕〔2016•模拟〕设不等式组示的平面区域为D．假设指数函数y=a x〔a＞0且a≠1〕的图象经过区域D上的点，那么a的取值围是〔〕A．[，3] B．[3，+∞〕C．〔0，] D．[，1〕10．〔5分〕〔2016•模拟〕如果数列{a n}中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，那么称{a n}为“亚三角形〞数列；对于“亚三角形〞数列{a n}，如果函数使得y=f〔x〕仍为一个“亚三角形〞数列，那么称y=f〔x〕是数列{a n}的一个“保亚三角形函数〞〔n∈N*〕．记数列{a n}的前项和为S n，c1=2016，且5S n+1﹣4S n=10080，假设g〔x〕=lgx是数列{c n}的“保亚三角形函数〞，那么数列{c n}的项数的最大值为〔〕〔参考数据：lg2≈0.30，lg2016≈3.304}．A．33 B．34 C．35 D．36二、填空题：本大题共5小题，每题5分，总分值25分。

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2},Z为整数集,则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）设i为虚数单位,则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix43．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度4．（5分）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）设p:实数x,y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2,q:实数x,y满足,则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．（5分）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．（0,+∞）D．（1,+∞）10．（5分）在平面内,定点A,B,C,D满足==,•=•=•=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．（5分）﹣=．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f （x）=4x,则f（﹣）+f（1）=．15．（5分）在平面直角坐标系中,当P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P′（,）；当P是原点时,定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）,一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5）分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）,估计x的值,并说明理由．17．（12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=．（Ⅰ）证明:sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．18．（12分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD．E 为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q＞0,n∈N*．（Ⅰ）若2a2,a3,a2+2成等差数列,求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．（13分）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P．证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|•|PB|,并求λ的值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值,使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1,+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•游仙区校级月考）设集合A={x|﹣2≤x≤2},Z为整数集,则A ∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与Z,求出两集合的交集,即可作出判断．【解答】解:∵A={x|﹣2≤x≤2},Z为整数集,∴A∩Z={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩Z中元素的个数是5,故选:C．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•甘肃一模）设i为虚数单位,则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解:（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4,故选:A．【点评】本题考查二项式定理,深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键,属于中档题．3．（5分）（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,可得结论．【解答】解:把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象,故选:D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,属于基础题．4．（5分）（2016秋•通渭县期末）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数,可以看作是填5个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3个奇数中任选1个填入,其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解:要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排1,3,5中的一个数,共有3种排法,然后还剩4个数,剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列,共有=24种排法．由分步乘法计数原理得,由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选:D．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题,此题是有条件限制排列,解答的关键是做到合理的分布,是基础题．5．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×（1+12%）n﹣2015＞200,两边取对数即可得出．【解答】解:设第n年开始超过200万元,则130×（1+12%）n﹣2015＞200,化为:（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3,n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选:B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．6．（5分）（2016春•平罗县校级期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【分析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的i,v的值,当i=﹣1时,不满足条件i≥0,跳出循环,输出v的值为18．【解答】解:初始值n=3,x=2,程序运行过程如下表所示:v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环,输出v的值为18．故选:B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的i,v的值是解题的关键,属于基础题．7．（5分）（2017•甘肃一模）设p:实数x,y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2,q:实数x,y满足,则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】画出p,q表示的平面区域,进而根据充要条件的定义,可得答案．【解答】解:（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1,1）为圆心,以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示,故p是q的必要不充分条件,故选:A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用,圆的标准方程,充要条件,难度中档．8．（5分）（2017•甘肃一模）设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px （p＞0）上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】由题意可得F（,0）,设P（,y0）,要求k OM的最大值,设y0＞0,运用向量的加减运算可得=+=（+,）,再由直线的斜率公式,结合基本不等式,可得最大值．【解答】解:由题意可得F（,0）,设P（,y0）,显然当y0＜0,k OM＜0；当y0＞0,k OM＞0．要求k OM的最大值,设y0＞0,则=+=+=+（﹣）=+=（+,）,可得k OM==≤=,当且仅当y02=2p2,取得等号．故选:C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用,考查直线的斜率的最大值,注意运用基本不等式和向量的加减运算,考查运算能力,属于中档题．9．（5分）（2016•四川）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．（0,+∞）D．（1,+∞）【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解:设P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（0＜x1＜1＜x2）,当0＜x＜1时,f′（x）=,当x＞1时,f′（x）=,∴l1的斜率,l2的斜率,∵l1与l2垂直,且x2＞x1＞0,∴,即x1x2=1．直线l1:,l2:．取x=0分别得到A（0,1﹣lnx1）,B（0,﹣1+lnx2）,|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=,∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0,1）上为减函数,且0＜x1＜1,∴,则,∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0,1）．故选:A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题．10．（5分）（2016秋•汕头期末）在平面内,定点A,B,C,D满足==,•=•=•=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】由==,可得D为△ABC的外心,又•=•=•,可得可得D为△ABC的垂心,则D为△ABC的中心,即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,求得B,C的坐标,再设P（cosθ,sinθ）,（0≤θ＜2π）,由中点坐标公式可得M的坐标,运用两点的距离公式可得BM的长,运用三角函数的恒等变换公式,结合正弦函数的值域,即可得到最大值．【解答】解:由==,可得D为△ABC的外心,又•=•=•,可得•（﹣）=0,•（﹣）=0,即•=•=0,即有⊥,⊥,可得D为△ABC的垂心,则D为△ABC的中心,即△ABC为正三角形．由•=﹣2,即有||•||cos120°=﹣2,解得||=2,△ABC的边长为4cos30°=2,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,可得B（3,﹣）,C（3,）,D（2,0）,由=1,可设P（cosθ,sinθ）,（0≤θ＜2π）,由=,可得M为PC的中点,即有M（,）,则||2=（3﹣）2+（+）2=+==,当sin（θ﹣）=1,即θ=时,取得最大值,且为．故选:B．【点评】本题考查向量的定义和性质,以及模的最值的求法,注意运用坐标法,转化为三角函数的最值的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题．二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．（5分）（2013秋•南开区期末）﹣=．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值,即可得到所求式子的值．【解答】解:cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为:【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2016秋•大连月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率,从而得到在2次试验中成功次数X～B（2,）,由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解:∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=,∴在2次试验中成功次数X～B（2,）,∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为:．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用．13．（5分）（2016秋•汕头期末）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图,可得:三棱锥的底面是底为2,高为1,棱锥的高为1,进而得到答案．【解答】解:∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,结合给定的三棱锥的正视图,可得:三棱锥的底面是底为2,高为1,棱锥的高为1,故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=,故答案为:【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．14．（5分）（2016秋•红塔区校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f（x）=4x,则f（﹣）+f（1）=﹣2．【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）,利用当0＜x＜1时,f（x）=4x,求出f（﹣）,再求出f（1）,即可求得答案．【解答】解:∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数,∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0,1）时,f（x）=4x,∴f（﹣）=﹣2,∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数,∴f（﹣1）=f（1）,f（﹣1）=﹣f（1）,∴f（1）=0,∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案为:﹣2【点评】考查周期函数的定义,奇函数的定义,学会这种将自变量的值转化到函数解析式f（x）所在区间上的方法．15．（5分）（2016秋•江西月考）在平面直角坐标系中,当P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P′（,）；当P是原点时,定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【分析】利用新定义,对4个命题分别进行判断,即可得出结论．【解答】解:①若点A（x,y）的“伴随点”是点A′（,）,则点A′（,）的“伴随点”是点（﹣x,﹣y）,故不正确；②由①可知,单位圆的“伴随曲线”是它自身,故正确；③若曲线C关于x轴对称,点A（x,y）关于x轴的对称点为（x,﹣y）,“伴随点”是点A′（﹣,）,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称,故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0）,点A（x,y）的“伴随点”是点A′（m,n）,则∵点A（x,y）的“伴随点”是点A′（,）,∴,∴x=﹣,y=∵m=,∴代入整理可得n﹣1=0表示圆,故不正确．故答案为:②③．【点评】此题考查点的坐标规律,读懂题目信息,理解“伴随点”的定义是解题的关键．三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016秋•江岸区校级期末）我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）,一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5）分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）,估计x的值,并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1,构造方程,可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率,进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率,进而可得x值．【解答】解:（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1,∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为:0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12,由30×0.12=3.6得:全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为:0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为:0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,用样本估计总体,难度不大,属于基础题．17．（12分）（2016•四川）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=．（Ⅰ）证明:sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值,利用（Ⅰ）的条件,求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明:在△ABC中,∵+=,∴由正弦定理得:,∴=,∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得:sinAsinB=sinC,（Ⅱ）解:b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=．sinA=,=+==1,=,tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD．E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点,可得AE=ED=AD,由BC=CD=AD,可得ED=BC,已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形,即EB ∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示,由∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M,可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD,PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1．可得P（0,0,2）,E（0,1,0）,C （﹣1,2,0）,利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解:（I）延长AB交直线CD于点M,∵点E为AD的中点,∴AE=ED=AD,∵BC=CD=AD,∴ED=BC,∵AD∥BC,即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD．∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,∵BE⊂平面PBE,∴CM∥平面PBE,∵M∈AB,AB⊂平面PAB,∴M∈平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD）,使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示,∵∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°,AB∩CD=M,∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD,PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1．∴P（0,0,2）,E（0,1,0）,C（﹣1,2,0）,∴=（﹣1,1,0）,=（0,1,﹣2）,=（0,0,2）,设平面PCE的法向量为=（x,y,z）,则,可得:．令y=2,则x=2,z=1,∴=（2,2,1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ,则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q ＞0,n∈N*．（Ⅰ）若2a2,a3,a2+2成等差数列,求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质,求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列,再根据2a2,a3,a2+2成等差数列求得公比q的值,可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=,根据e2==,求得q 的值,可得{a n}的解析式,再利用放缩法可得∴e n=＞,从而证得不等式成立．=qS n+1 ①,∴当n≥2时,S n=qS n﹣1+1 ②,两式相减可得【解答】解:（Ⅰ）∵S n+1a n+1=q•a n,即从第二项开始,数列{a n}为等比数列,公比为q．当n=1时,∵数列{a n}的首项为1,∴a1+a2=S2=q•a1+1,∴a2 =a1•q,∴数列{a n}为等比数列,公比为q．∵2a2,a3,a2+2成等差数列,∴2a3 =2a2+a2+2,∴2q2=2q+q+2,求得q=2,或q=﹣．根据q＞0,故取q=2,∴a n=2n﹣1,n∈N*．（Ⅱ）证明:设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列,∴e2===,q=,∴a n=,∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==,原不等式得证．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,用放缩法进行数列求和,数曲线的简单性质,属于难题．20．（13分）（2016秋•路南区校级月考）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P．证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|•|PB|,并求λ的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形,结合直线l与椭圆E只有一个交点,利用判别式△=0,即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′=y,把椭圆E变为圆E′,利用圆幂定理求出λ的值,从而证明命题成立．【解法二】设出点P的坐标,根据l′∥OT写出l′的参数方程,代入椭圆E的方程中,整理得出方程,再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|,由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解:（Ⅰ）设短轴一端点为C（0,b）,左右焦点分别为F1（﹣c,0）,F2（c,0）,其中c＞0,则c2+b2=a2；由题意,△F1F2C为直角三角形,∴=+,解得b=c=a,∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l:y=﹣x+3,可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0,又直线l与椭圆E只有一个交点,则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0,解得b2=3,∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3,解得x=2,则y=﹣x+3=1,所以点T的坐标为（2,1）；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′=y,则椭圆E变为圆E′:x′2+y′2=6,设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′,如图所示；则==,==,两式相比,得:=,由圆幂定理得,|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|,所以=,即λ=,原命题成立．【解法二】设P（x0,3﹣x0）在l上,由k OT=,l′平行OT,得l′的参数方程为,代入椭圆E中,得+2=6,整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A,t B,则有t A•t B=；而|PT|2==2,|PA|==|t A|, |PB|==|t B|,且|PT|2=λ|PA|•|PB|,∴λ===,即存在满足题意的λ值．【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题,也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题,考查了参数方程的应用问题,是难题．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值,使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1,+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x）,通过对a分类讨论,利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a,可得g（1）=0,从而g′（1）≥0,解得得a,又,当a时,F′（x）=2a+≥+e1﹣x,可得F′（x）在a时恒大于0,即F（x）在x∈（1,+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0,可得g （x）也在x∈（1,+∞）单调递增,进而利用g（x）＞g（1）=0,可得g（x）在x ∈（1,+∞）上恒大于0,综合可得a所有可能取值．【解答】解:（Ⅰ）由题意,f′（x）=2ax﹣=,x＞0,①当a≤0时,2ax2﹣1≤0,f′（x）≤0,f（x）在（0,+∞）上单调递减．②当a＞0时,f′（x）=,当x∈（0,）时,f′（x）＜0,当x∈（,+∞）时,f′（x）＞0,故f（x）在（0,）上单调递减,在（,+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立,一方面,令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a,只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可,又∵g（1）=0,故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x,g′（1）≥0,可得a．另一方面,当a时,F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x,∵x∈（1,+∞）,故x3+x﹣2＞0,又e1﹣x＞0,故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时,F（x）在x∈（1,+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0,故g（x）也在x∈（1,+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0,即g（x）在x∈（1,+∞）上恒大于0．综上,a．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用,考查了计算能力和转化思想,熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn；wfy814；caoqz；lcb001；沂蒙松；w3239003；豫汝王世崇；双曲线；sxs123；zlzhan；qiss；742048（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

专题10 概率与统计【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====2.（2020·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种D. 30种3.（2020·山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6.（2020·浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．7.（2020·江苏卷）已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.8.（2020·江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.9.（2020·新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【2019年】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.82．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是（ ）则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【2018年】1．【2018·全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．1182．【2018·全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【2018·全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.34．【2018·浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P12p- 122p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小5．【2018·全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 36．【2018·江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．7．【2018·江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【2017年】1．【2017·全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳2．【2017·全国Ⅰ卷】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．【2017·山东卷】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49 C ．59D ．7912．【2017·浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ4．【2017·山东卷】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160 B ．163 C ．166D ．1705．【2017·全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______________．6．【2017·江苏卷】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．7．【2017·江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A ）56（B ）60（C ）120（D ）1404.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n5.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .7.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .328.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.10.【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22x y相交”发生(5)9的概率为.。

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【2016四川（理）】设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，【2016四川（理）】设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【答案】A【解析】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，【2016四川（理）】（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin （2x﹣）的图象，【2016四川（理）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【答案】D【解析】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．【2016四川（理）】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【答案】B【解析】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．【2016四川（理）】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【答案】B【解析】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．【2016四川（理）】设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，【2016四川（理）】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．【2016四川（理）】（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【答案】A【解析】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．【2016四川（理）】在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【2016四川（理）】（2013秋•南开区期末）﹣=．【答案】【解析】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：【2016四川（理）】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【答案】【解析】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【答案】【解析】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，【2016四川（理）】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f （x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．【答案】﹣2【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．【答案】②③【解析】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【2016四川（理）】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅱ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【2016四川（理）】（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【解析】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【2016四川（理）】已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【解析】解：（Ⅰ）∵S n+1=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相加你可得a n+1=q•a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2=q=a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【解析】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代人椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．【2016四川（理）】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【解析】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【2016四川（理）】设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．【2016四川（理）】设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix43．【2016四川（理）】为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．【2016四川（理）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．【2016四川（理）】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．【2016四川（理）】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．【2016四川（理）】设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．【2016四川（理）】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．【2016四川（理）】设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．【2016四川（理）】在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．【2016四川（理）】﹣=．12．【2016四川（理）】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．【2016四川（理）】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【2016四川（理）】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．17．【2016四川（理）】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．【2016四川（理）】已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．【2016四川（理）】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。